在许多工程应用中，仅有稳定性是不够的。
定义：如果某个平衡点0是稳定的，而且存在某一 r 0 ， 使得 x(0) r ，当 t 时，x(t ) 0 ，那么称平衡点是 渐近稳定的。 平衡点的吸引范围是指：凡是起始于某些点的轨线最终都收 敛于原点，这些点组成的最大集合所对应的区域。 注意：收敛并不意味着稳定。 （见图）
x(t ) x(0) e t
以速度 1 指数收敛于 x 0 。 例2：系统 x x 2 , x(0) 1它的解为 x 1 /(1 t )，是个慢于任 何指数函数 e t ( 0) 的函数。 3、局部与全部稳定性 定义：如果渐近（或指数）稳定对于任何初始状态都能 保持，那么就说平衡点是大范围渐近（或指数）稳定的， 也称为全局渐近（或指数）稳定的。李雅普Leabharlann 夫理论基础§2.1 稳定性概念
几个简化记法：令 B R 表示状态空间中由 x R 定义的球形 区域， S R 表示由 x R 定义的球面本身。 1、稳定性和不稳定性 定义：如果对于任何 R 0 ，存在 r 0 ，使得对于所有的 t 0 ，如果 x(0) r ，就有 x(t ) R ，则称平衡点 x 0 是 稳定的，否则，就称平衡点是不稳定的。
R a 1
x1
极限环
从任何一个非零初始状态开始的系统轨线都渐近地趋近 一个极限环。这意味着如果选择稳定性定义中的 R 为足够小，使得半径为 R 的圆完全落入极限环的封 闭曲线内，那么在靠近原点处开始的系统轨线最终将 越出这个圆,因此原点是不稳定的。
李雅普诺夫理论基础
2、渐近稳定性与指数稳定性
征值都在左半复平面内，但至少有一个在 j 轴上），那
么不能从线性近似中得出任何结论（其平衡点对于非线性 系统可能是稳定的，渐近稳定的，或者是不稳定的）。
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例：对于一阶系统
ax bx5 x
原点是这个系统的两平衡点之一。这个系统在原点附近的 线性化是： ax x 应用李雅普诺夫线性化方法，得出该非线性系统的下述稳 定性性质： （1）a 0 渐近稳定； （2）a 0 不稳定； （3）a 0 不能从线性化说明系统稳定性性质。 在第三种情况下，非线性系统为
3 1 2
( x 2 1) x x0 x
转换成状态方程描述
0
x ( 0) S ( r )
S ( R)
1 x2 x 2 x1 (1 x12 ) x2 x
图2-1 稳定性概念
很容易证明该系统在原点处有一个平衡点。 并且是不稳 定的。
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x2
轨迹
R 1
C
x2
x1
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定义：如果存在两个严格正数 和 ，使得围绕原点的某
个球内 B r，
t, x(t ) x(0) e t
那么称平衡点0是指数稳定的。 也就是说，一个指数稳定的系统的状态向量以快于指数函 数的速度收敛于原点，通常称正数 为指数收敛速度。 指数收敛性的定义在任何时候都为状态提供明显的边界。
f (x, u) x
f f x x u f h.o.t . (x, u) x ( x0,u0) u ( x0,u0)
有： 例2.2 考虑系统
Ax Bu x
对于闭环系统，同样可以得出上述结论。
2 1 x2 x x1 cos x2 2 x2 ( x1 1) x1 x1 sin x2 x
R 0, r 0, x(0) r t 0, x(t ) R
或者：R 0, r 0, x(0) Br t 0, x(t ) BR 对于线性系统，不稳定等于发散；对于非线性系统，不稳定 不等于发散。
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例2.1 范德堡振荡器的不稳定性 对于范德堡方程
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第二章 Lyapunov理论基础
稳定性是控制系统关心的首要问题。
稳定性的定性描述：如果一个系统在靠近其期望工作点的某 处开始运动，且该系统以后将永远保持在此点附近运动， 那么就把该系统描述为稳定的。 例如：单摆，飞行器 李雅普诺夫的著作《动态稳定性的一般问题》，并于1892 年首次发表。 1. 线性化方法：从非线性系统的线性逼近的稳定性质得出非 线性系统在一个平衡点附近的局部稳定性的结论。 2.直接法：不限于局部运动，它通过为系统构造一个“类能 量”标量函数并检查该标量函数的时变性来确定非线性系 统的稳定性质。
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§2.2 线性化和局部稳定性
李雅普诺夫线性化方法与非线性系统的局部稳定性有关。 Lyapunou线性化方法说明：在实际中使用线性控制方法基 本上是合理的。 f (x) ，如果 f (x) 是连续可微的,那 对于自治非线性系统 x 么系统的动态特性可以写成( f (0) 0 )：
在 x 0 处线性化。 线性化结果：
1 0 x x 1 1
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定理：（李雅普诺夫线性化方法）
1、如果线性化后的系统是严格稳定的（即如果 A 的所有特 征值都严格在左半复平面内），那么平衡点是渐近稳定的 （对实际的非线性系统）； 2、如果线性化后的系统是不稳定的（即如果 A的所有特征 值至少有一个严格在右半复平面内），那么平衡点是不稳 定的（对实际的非线性系统）； 3、如果线性化后的系统是临界稳定的（即如果 A 的所有特
把正常数 写成后 e ，不难看到，经过时间 0 (1 / )
0
后，状态向量的幅值减小到原值的 35%( e1 ) ，与线性 系统中的时间常数相似。
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例1：系统
(1 sin 2 x) x x
它的解是：x(t ) x(0) exp{ t [1 sin 2 ( x( ))]d } 0
f x f h.o.t . (x) x x x0
用 A 表示在 x 0 处 f 关于 x 的雅可比矩阵：
f A x x 0
原非线性系统在平衡点0处的线性化结果为：
Ax x
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对于一个具有控制输入 u 的自治非线性系统：