q2 4R 2
12-4电势梯度
2 1
d
1 2 E dl
E dl d
静电力从1到2作功 电势增量
d E cos dl
dl

q E
积分的逆运算是求导
E在dl上的分量=电势在l 方向上的变化率 电势梯度 E i j k x y z
r R2

Q1 Q2
Q1 Q2 Q1 Q2 3 E3 dr dr 2 4 0 r 4 0 r r r
R1 r R2 Q1 Q2 2 Edr dr dr 2 2 4 0 r 4 0 r r r R2 Q1 Q2 4 0 r 4 0 R2 r R1 Q1
+ +
例4两导体球半径分别为R1 R2 ，用导线将两 球连接后使其带电。求两球上的电荷密度 1和2 与其半径R1 R2 的关系。 导线相连=电势相等
4 0 R1 q1 4 0 R2 q2
q1 q2 R1 R2
q1 4R 1
2 1 2 2
1R1 2 R2

2

rR rR
W wdV
R
R
0
2 4r dr 2 2 4 0 r Q
2
12-1 方法一
E1 0 r R1 Q1 E2 R r R 1 2 2 4 0 r Q1 Q2 E3 r R 2 2 4 0 r
方向导数（xyz为完整分量）
12-5 点电荷在外电场中的静电势能
W q 其中φ是场源电荷的电场,对q是外电场
例:电子与原子核的静电势能 电子处在Ze正电荷的电场中

Ze 4 0 r
Ze
+
-e
Ze 2 W e 4 0 r
12-6 静电场的能量 有电场就有能量 Q2 F QE Q 2 0 2 S 0 2 Q F QE Q 2 0 2 S 0 极板移动,释放电场能量
A
AAB表示单位正电荷q0在Q的电场中从A到B 做的功势能 不完全反映场自身特性（与q0有关）。
电势差（单位正电荷从P到Q所作功）
AB
AAB E dr Edr q0 A A
B
B
电势
点电荷的电势：
P0定义为电势零点 P E dl 参考位置 P 0 ground 0
2
l/2

2 2 4 x b l / 2 0

dx
p x r
dq x o
Q2 4r 0
r <R1 R1<r <R2 r >R2
R2
r <R1

4 0 R1
Q1

4 0 R2
Q2
R1<r <R2 Q1 Q2 4 0 r 4 0 R2 r >R2
Q1 Q2 4 0 r
电势连续
R1 R2
12-4
y
y: -a ~ a
dq
P R R
R

Q Q 0dr dr 2 4 0 R 4r P R 电势的连续性 ROut RIn
12-4 等势面
dA qE dl 0 1、等势面与电力线正交；
电势相等的点组成的面
2、等势面之间的距离近场强大，距离远场 强小。
+
+
2
2
+Q
++++++++++
2
-Q
-
E合
Q E合 0 S 0
0E Q l 0E Sl V W Fl 2 2 2S 0
可以证明适用一般情况 dW wdV 非均匀电场 2 0E 能量密度与电场强度有关 w 也与介质有关 2 例:带电球(Q R)的静电能
0 E Q 4 0 r
r
P
r
*任意带电体的电势：
1
dQ dQ dl , ds , d v 4 0 Q r
r q l q x P x 电荷分布
Q
例2. 均匀带电圆 环轴线上的电势d 1dldq2
R
x
r
2 2
4 0 r
r x R
r是常数
q d dl 4 0 r L 4 0 r
O
x
dq=dy
r= y2+x2 )1/2 df = dq/40 r
a
p

a
4
dy
0
y x
2
2
12-5
l
dq x
dq 4 0 ( x a ) 0 4 0 ( x a )

l/2
x dx
o p x+a
l / 2 4 0 x b 2

dq
B
A A, B q E dr q Edr
二、静电场的环路定理
E d r 0
L
静电力是保守力，静电场是保守场
12-2 电势差和电势 一、电势差（单位伏特V） 静电力做功：AAB B AAB F dr q0 Edr
A
B E q dr
A B
B
A
B
r是矢径方向
q
B E
dr
dr
A
rA dr cos dr
静电场力是有心力---保守力（径向力） 对运动电荷做功与电荷运动路线 无关；如果运动电荷绕一闭合路 Q 线运动，它做的功为零。
Qdr Qq 1 1 q 2 4 0 r 4 0 rA rB A A A, B q E dr 0
注意：用点电荷的库仑定律求电势叠加时， 不需要投影（与求电场强度不同）
例3.均匀带电球面R激发的电势 场强 0 rR (从高斯定 E Q r R 2 理中获得) 4 0 r 电势 Q r R : Edr V 4 0 r p
r
P
R
r R : Edr Edr
第十二章 电势
12-1 静电场的保守性
12-2 电势差和电势
12-3 电势迭加原理 12-4 电势梯度 12-5 点电荷在外电场中的静电势能 12-6 静电场的能量
12-1 静电场的保守性 一、静电场力：对运动电荷做功
A A, B qE dr l是实际路径
qE dr cos qE dr
Q1 Q2 1 0dr dr dr 2 2 4 0 r 4 0 r r R1 R2 Q1
R1 R2

R2


4 0 R1
Q1

4 0 R2
Q2
12-1 方法二：单独电势迭加
Q1 4R1 0
Q1 4r 0
Q1 Q2
R1
Q2 4R2 0
dr Q a 2 4 0 a r 4 0 r Q

P0
0
12-3 电势迭加原理
P
k
r
Q
单位正电荷做功叠加 标量相加，不须投影
k
例1. 电偶极子激发的电势
y

q 1 1 4 0 r r