第27章《相似》单元培优检测题一．选择题1．如图，线段BD，CE相交于点A，DE∥BC．若BC＝3，DE＝1.5，AD＝2，则AB的长为（）A．2 B．3 C．4 D．52．如图，点F是▱ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是（）A．B．C．D．3．我国古代数学《九章算术》中，有个“井深几何”问题：今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸（1尺＝10寸），问井深几何？其意思如图所示，则井深BD的长为（）A．12尺B．56尺5寸C．57尺5寸D．62尺5寸4．如图，以A，B，C为顶点的三角形与以D，E，F为顶点的三角形相似，则这两个三角形的相似比为（）A．2：1 B．3：1 C．4：3 D．3：25．如图，线段AB＝1，点P1是线段AB的黄金分割点（且AP1＜BP1，即P1B2＝AP1•AB），点P2是线段AP1的黄金分割点（AP2＜P1P2），点P3是线段AP2的黄金分割点（AP3＜P2P3），…，依此类推，则线段AP2017的长度是（）A．（）2017B．（）2017C．（）2017D．（﹣2）1008 6．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，若＝＝，DE＝3，则BC的值为（）A．6 B．8 C．9 D．107．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，则S△ABE ：S△ECF等于（）A．1：2 B．4：1 C．2：1 D．1：48．如图，在△ABC中，点D为AB上一点，过点D作BC的平行线交AC于点E，过点E 作AB的平行线交BC于点F，连接CD，交EF于点K，则下列说法正确的是（）A．B．C．D．9．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，则EF的长为（）A．B．C．D．10．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（2，2）、B（3，1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB扩大为原来的2倍后得到线段CD，则端点C的坐标分别为（）A．（4，4）B．（3，3）C．（3，1）D．（4，1）11．比例尺为1：800的学校地图上，某条路的长度约为5cm，它的实际长度约为（）A．400 cm B．40m C．200 cm D．20 m12．已知△ABC与△DEF是位似图形，且△ABC与△DEF的位似比为，则△ABC与△DEF 的周长之比是（）A．B．C．D．二．填空题13．△ABC 中，AB ＝12cm ，AC ＝8cm ，点P 是AC 的中点，过P 点的直线交AB 于点Q ，若以A 、P 、Q 为顶点的三角形与以A 、B 、C 为顶点的三角形相似，则线段AQ 的长度为 ．14．如图，已知△ABC 是等边三角形，点D 是AB 上一点，点E 为BC 上一点，∠CDE ＝60°，AD ＝3，BE ＝2，则△ABC 的边长为 ．15．如图，已知矩形ABCD 中，AB ＝2，在BC 上取一点，早BC 上取一点E ，沿AE 将△ABE 向上折叠，使B 点落在AD 上的F 点，若四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，则AD ＝ ．16．若，则的值为 ．17．如图，在▱ABCD 的对角线BD 上取一点E ．使得BE ＝BD ，延长AE 交BC 于G ，交DC 的延长线于F ，则S △CFG ：S △BEG 的值为 ．18．如图，在梯形ABCD 中，点E 、F 分别是腰AB 、CD 上的点，AD ∥EF ∥BC ，如果AD ：E F ：BC ＝5：6：9，那么＝ ．19．如图，AD与BC相交于点O，如果＝，那么当的值是时，AB∥CD．三．解答题20．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于E．求证：AD•BE＝BD•CE．21．如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E在边AD上，连接BE，在BE上取点F，连接AF并延长交BD于H，且∠AFE＝60°，过C作CG∥BD，直线CG、AF交于G．（1）求证：∠F AE＝∠EBA；（2）求证：AH＝BE；（3）若AE＝3，BH＝5，求线段FG的长．22．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是边BC，AB上的点，且，连接DE并延长至点F，使EF＝3DE，连接CE、AF．证明：AF＝CE．23．如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若AD⊥BC，BC＝3，AD＝2，EF＝EH．（1）求证：△AEH∽△ABC；（2）求矩形EFGH的面积．24．如图，一块直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的BC边上，并且使条直角边经过点D，另一条直角边与AB交于点Q．请写出一对相似三角形，并加以证明．（图中不添加字母和线段）25．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且＝．（1）求证：△ADF∽△ACG；（2）若＝，求的值．参考答案一．选择题1．解：∵DE∥BC，∴∠B＝∠D，∠C＝∠E，∴△ABC∽△ADE，∴＝，即＝，∴AB＝4．故选：C．2．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，AD∥BC，AD＝BC，∴，故A正确，，∵AD＝BC，∴，故B正确；∵DE∥BC，∴，∴，故C错误；∵DF∥AB，∴，故D正确．故选：C．3．解：∵BC∥DE，∴△ABC∽△ADE，∴AB：AD＝B C：DE，即5：AD＝0.4：5，解得AD＝62.5，BD＝AD﹣AB＝62.5﹣5＝57.5尺．故选：C．4．解：∵以A，B，C为顶点的三角形与以D，E，F为顶点的三角形相似，∴，故选：A．5．解：∵线段AB＝1，点P1是线段AB的黄金分割点（AP1＜BP1），∴BP1＝AB＝，∴AP1＝1﹣＝，∵点P2是线段AP1的黄金分割点（AP2＜P1P2），∴AP2＝×＝（）2，∴AP3＝（）3，∴AP n＝（）n．所以线段AP2017的长度是（）2017，故选：A．6．解：∵＝＝，∴＝，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∵DE＝3，∴BC＝9，故选：C．7．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°，AB＝BC＝CD，∵AE⊥EF，∴∠AEF＝∠B＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+∠FEC＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∴△BAE∽△CEF，∴S△ABE ：S△ECF＝AB2：CE2，∵E是BC的中点，∴BC＝2CE＝AB∴＝＝，即S△ABE ：S△ECF＝4：1故选：B．8．解：∵DE∥CF，∴△DEK∽△CFK，∴＝，∵EK∥AD，∴＝，∴＝，故选：C．9．解：如图，延长FE交AB于点D，作EG⊥BC于点G，作EH⊥AC于点H，∵EF∥BC、∠ABC＝90°，∴FD⊥AB，∵EG⊥BC，∴四边形BDEG是矩形，∵AE平分∠BAC、CE平分∠ACB，∴ED＝EH＝EG，∠DAE＝∠HAE，∴四边形BDEG是正方形，在△DAE和△HAE中，∵，∴△DAE≌△HAE（SAS），∴AD＝AH，同理△CGE≌△CHE，∴CG＝CH，设BD＝BG＝x，则AD＝AH＝6﹣x、CG＝CH＝8﹣x，∵AC＝＝＝10，∴6﹣x+8﹣x＝10，解得：x＝2，∴BD＝DE＝2，AD＝4，∵DF∥BC，∴△ADF∽△ABC，∴＝，即＝，解得：DF＝，则EF＝DF﹣DE＝﹣2＝，故选：C．10．解：∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB扩大为原来的2倍后得到线段CD，∴A点与C点是对应点，∵C点的对应点A的坐标为（2，2），位似比为1：2，∴点C的坐标为：（4，4）故选：A．11．解：设实际长度为xcm，则：＝，解得：x＝4000cm＝40m．则它的实际长度为40m．故选：B．12．解：∵△ABC与△DEF是位似图形，∴△ABC∽△DEF，且相似比为1：4，则△ABC与△DEF的周长之比是1：4，故选：B．二．填空题（共7小题）13．解：∵点P是AC的中点，∴AP＝AC＝4cm，当△AQP∽△ABC时，＝，即＝，解得，AQ＝6（cm），当△AQP∽△ACB时，＝，即＝，解得，AQ＝（cm），故答案为：6cm或cm．14．解：设AC＝x，∵△ABC是等边三角形，且AD＝3，∴BD＝x﹣3，∠A＝∠B＝60°，∴∠ACD+∠ADC＝120°，∵∠CDE＝60°，∴∠ADC+∠BDE＝120°，∴∠ACD＝∠BDE，∴△ACD∽△BDE，∴＝，即＝，解得：x＝9，即△ABC的边长为9，故答案为：9．15．解：∵AB＝2，设AD＝x，则FD＝x﹣2，FE＝2，∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，∴＝，＝，解得x1＝1+，x2＝1﹣（不合题意舍去），经检验x1＝1+是原方程的解．故答案为：1+．16．解：∵，∴2a＝3b，∴a＝1.5b，∴＝＝，故答案为：．17．解：∵BE＝BD，BE+DE＝BD，∴DE＝BD，∴＝＝．∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CF，BG∥AD，∴△BAG∽△CFG，△BEG∽△DEA，∴＝（）2＝，＝＝，∴＝＝，∴＝＝，即S △BEG ＝S △BAG ．∵△BAG ∽△CFG ，＝， ∴＝＝， ∴＝（）2＝4，即S △CFG ＝4S △BAG ， ∴＝＝16．故答案为：16．18．解：延长BA ，CD 交于G ，∵AD ∥EF ∥BC ，∴△GAD ∽△GEF ，△GEF ∽△GAB ， ∴＝＝，，∴设AG ＝5k ，EG ＝6k ，BG ＝9k ，∴AE ＝k ，BE ＝9k ﹣6k ＝3k ， ∴＝＝， 故答案为：．19．解：∵＝， ∴当＝时，＝，∴AB ∥CD ． 故答案为：．三．解答题（共6小题）20．证明：∵在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC又∵CE⊥AB，∴∠ADB＝∠CEB＝90°．又∵∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBE，∴，∴AD•BE＝BD•CE．21．解：（1）∵∠AFE＝∠BAE＝60°、∠AEF＝∠BEA，∴△AEF∽△BEA，∴∠F AE＝∠ABE；（2）∵四边形ABCD是菱形，且∠BAD＝60°，∴AB＝AD、∠BAE＝∠ADB＝60°，在△ABE和△DAH中，∵，∴△ABE≌△DAH（ASA），∴AH＝BE；（3）如图，连接AC交BD于点P，则AC⊥BD，且AC平分BD，∵△ABE≌△DAH，∴AE＝DH＝3，则BD＝BH+DH＝8，∴BP＝PD＝4，PH＝BH﹣BP＝1，∵AB＝BD＝8，∴AP＝＝4，则AC＝2AP＝8，∵CG∥BD，且P为AC中点，∴∠ACG＝90°，CG＝2PH＝2，∴AG＝＝14，BE＝AH＝AG＝7，∵△AEF∽△BEA，∴＝，即＝，解得：AF＝，∴FG＝AG﹣AF＝14﹣＝．22．证明：∵，∴△BDE∽△BCA，∴∠BDE＝∠BCA，AC＝3DE，∴DF∥AC．∵EF＝3DE，∴EF＝AC，∴四边形AFEC为平行四边形，∴AF＝CE．23．证明：∵四边形EFGH是矩形∴EH∥FG，EF⊥FG∵EH∥FG∴∠AEH＝∠ABC，∠A HE＝∠ACB∴△AEH∽△ABC（2）∵EF⊥FG，AD⊥BC∴AD∥EF∴∵EH∥BC∴∴，且BC＝3，AD＝2，EF＝EH．∴∴EH＝即EF＝1∴矩形EFGH的面积＝EF×EH＝24．解：△BPQ∽△CDP，证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°，∵∠QPD＝90°，∴∠QPB+∠BQP＝90°，∠QPB+∠DPC＝90°，∴∠DPC＝∠PQB，∴△BPQ∽△CDP．25．（1）证明：∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠CAB，∴∠ADF＝∠C．又∵＝，∴△ADF∽△ACG．（2）∵△ADF∽△ACG，∴＝．∵＝，∴＝，∴＝＝1．。