江苏省泰兴市黄桥教育联盟2020-2021学年九年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．关于x的方程2330ax x-+=是一元二次方程，则a的取值范围是( )A．a＞0 B．a≥0C．a=1 D．a≠02．如图，已知△ABC，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是( )A．B．C．D．3．如图，⊙O的弦AB=6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，⊙O的半径为（）A．5 B．4 C．3 D．24．已知，⊙O的半径是一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝4，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．平行5．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=12，则BC∶AC∶AB等于（）A．1∶2∶5 B．1∶√3∶√5C．1∶√3∶2 D．1∶2∶√36．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，4），B（﹣4，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为12，把△ABO缩小，则点A的对应点A’的坐标是（）A ．（1，﹣2）B ．（2，1）C ．（﹣2，﹣1）或（2，1）D ．（﹣1，2）或（1，﹣2）二、填空题7．若3a ＝2b ，则a b b+的值为__． 8．已知实数m 是关于x 的方程22310x x --=的一根，则代数式2322m m --值为 ．9．若A ∠为锐角，当tan 3A =时，cos A =______． 10．如图所示，ABC 外接圆的圆心坐标是________.11．如图，点A ，B ，C 在O 上，四边形OABC 是平行四边形，⊥OD AB 于点E ，交O 于点D ，则BAD ∠=__________度．12．如图，PA 与⊙O 相切，切点为A ，PO 交⊙O 于点C ，点B 是优弧CBA 上一点，若∠ABC=32°，则∠P 的度数为_______________．13．已知，如图，在矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，以点B 为圆心，r 为半径作圆，且B 与边CD 有唯一 公共点，则r 的取值范围是__________．14．根据图中的程序，当输入一元二次方程x 2﹣2x=0的解x 时，输出结果y=_____．15．如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，点D 是斜边AB 的中点，点G 是Rt △ABC 的重心，GE ⊥AC 于点E ．若BC ＝6cm ，则GE ＝__cm ．16．如图，已知∠AOB ＝60°，半径为的⊙M 与边OA 、OB 相切，若将⊙M 水平向左平移，当⊙M 与边OA 相交时，设交点为E 和F ，且EF ＝6，则平移的距离为____．三、解答题17．解方程和计算（1）解方程：x 2﹣+1＝0（2）计算：120122014|25-⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭． 18．先化简，再求值：21m 1m m 1m 1⎛⎫⎛⎫+÷- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭，其中实数m 使关于x 的一元二次方程x 2﹣4x ﹣m ＝0有两个相等的实数根．19．如图，ABC 中，点D 在AB 上，1AD =，点E 在AC 上，满足AED B ∠=∠，若:4:25A ADE BC S S =△△，求AC 的长．20．已知关于x 的一元二次方程22420x mx m -+=（1）求证：不论m 为何值，该方程总有两个实数根；（2）若x=1是该方程的根，求代数式22(1)3m -+的值．21．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的角平分线，以AB 上一点O 为圆心，AD 为弦作⊙O ．（1）用直尺和圆规在图中作出⊙O （不写作法，保留作图痕迹），判断直线BC 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（友情提醒：必须作在答题卷上哦！）（2）若AC ＝3，BC ＝4，求⊙O 的半径长．22．如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE=∠B（1）求证：△ADF ∽△DEC ；（2）若AB=8，AE 的长．23．“微公交”是国内首创的纯电动汽车租赁服务，它作为一种绿色出行方式，对缓解交通堵塞和停车困难，改善城市大气环境，都可以起到积极作用，某租赁点有“微公交”20辆，据统计，当每辆车的年租金为9千元时可全部租出，当每辆车的年租金为9.5千元，可租出19辆，且可租出电动汽车的辆数是年租金的一次函数．（1）当每辆车的年租金定为10.5千元时，能租出多少辆？（2）当每辆车的年租金为多少千元时，租赁公司的年收益（不计车辆维护等其它费用）可达到176千元？24．如图所示，AB 是半圆O 的直径，AC 是弦，点P 沿BA 方向，从点B 运动到点A ，速度为1cm/s ，若10AB cm =，点O 到AC 的距离为4cm ．（1）求弦AC 的长；（2）问经过多长时间后，△APC 是等腰三角形．25．如图，是一块含30°（即∠CAB ＝30°）角的三角板和一个量角器拼在一起，三角板斜边AB 与量角器所在圆的直径MN 恰好重合，其量角器最外缘的读数是从N 点开始（即N 点的读数为0°），现有射线CP 绕点C 从CA 的位置开始按顺时针方向以每秒2度的速度旋转到CB 位置，在旋转过程中，射线CP 与量角器的半圆弧交于E ．（1）当旋转7.5秒时，连接BE ，试说明：BE ＝CE ；（2）填空：①当射线CP 经过△ABC 的外心时，点E 处的读数是 ．②当射线CP 经过△ABC 的内心时，点E 处的读数是 ；③设旋转x 秒后，E 点出的读数为y 度，则y 与x 的函数式是y ＝ ．26．如图，在ABC 中，10AB AC ==，16BC =，点D 是边BC 上（不与B ，C 重合）一动点，ADE B ∠=∠，DE 交AC 于点E ．（1）求证：ABD DCE ∽△△；（2）若DCE 为直角三角形，求BD ．（3）若以AE 为直径的圆与边BC 相切，求AD ．参考答案1．D【解析】因为一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a，b，c是常数，且a≠0），所以要使ax2−3x+3=0是一元二次方程，必须保证a≠0.故选D.2．C【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理分别求出各个选项中三角形的每个角的度数，然后与题干中的三角形的度数相比较即可得出答案．【详解】∵由图可知，AB=AC=6，∠B=75°，∴∠C=75°，∠A=30°，A选项中三角形各角的度数分别为75°，52.5°，52.5°，B选项中三角形各角的度数都是60°，C选项中三角形各角的度数分别为75°，30°，75°，D选项中三角形各角的度数分别为40°，70°，70°，∴只有C选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等，故选：C．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理和相似三角形的判定，此题难度不大．3．A【分析】当OM⊥AB时值最小．根据垂径定理和勾股定理求解．【详解】解：根据直线外一点到直线的线段中，垂线段最短，知：当OM⊥AB时，为最小值4，连接OA，根据垂径定理，得：BM=12AB=3，根据勾股定理，得：=5，即⊙O的半径为5．故选：A．【点睛】本题考查了垂径定理，主要运用了垂径定理、勾股定理求得半径．特别注意能够分析出OM 的最小值．4．A【分析】先求方程的根，可得r的值，由直线与圆的位置关系的判断方法可求解．【详解】∵x2﹣5x﹣6＝0∴x1＝﹣1，x2＝6∵⊙O的半径为一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的根，∴r＝6∵d＜r∴直线l与⊙O的位置关系是相交故选A．【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．5．C【解析】【分析】根据三角函数的定义及特殊角度的三角函数值，可求出边长比．【详解】∵在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=BCAB =1 2，∴∠A=30°,cosA=AC AB =√32， ∴BC:AC:AB=1∶√3∶2.故选C.【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟练掌握三角函数是解题的关键.6．D【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．【详解】解：以原点O 为位似中心，相似比为12，把△ABO 缩小，点A 的坐标为（﹣2，4）， 则点A 的对应点A ′的坐标为（﹣2×12，4×12）或（2×12，﹣4×12）， 即（﹣1，2）或（1，﹣2），故选：D ．【点睛】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或﹣k ．7．53【分析】根据等式用b 表示出a ，然后代入比例式进行计算即可得解．【详解】解：∵3a ＝2b ，∴a ＝23b ， ∴2533b b a b b b ++==． 故答案为：53． 【点睛】本题考查了比例的性质，用b 表示出a 是解题的关键．8．112-．【解析】【详解】试题分析：∵m 是关于x 的方程22310x x --=的一根， ∴22310m m --=，∴2231m m -=， ∴23122m m -=， ∴2322m m --=112122-=-． 故答案为112-． 考点：1．一元二次方程的解；2．代数式求值．9【分析】由特殊角的三角形函数值先求出∠A 的度数，即可求得cosA 的值.【详解】∵∠A 为锐角，且 ∴∠A=30°，∴cosA=cos30°【点睛】 熟记特殊角的三角函数值是正确解答本题的关键.10．()5,2【分析】作AB 和BC 的垂直平分线，它们的交点P 为△ABC 外接圆圆心，然后写出P 点坐标即可．【详解】解：作AB和BC的垂直平分线，它们的交点P为△ABC外接圆圆心，∵ P点坐标是P（5，2），∴ABC外接圆的圆心坐标是（5，2）．故答案为（5，2）．【点睛】本题考查三角形外接圆．解此类题目时要注意运用三角形的外接圆圆心到三角形三点的距离相等这一性质．11．15【分析】根据平行四边形的性质和OC=OA得出OA=AB，根据垂径定理求出OA=2AE，求出∠AOD 度数，即可求出答案．【详解】∵四边形OABC是平行四边形，OC=OA，∴OA=AB，∵OD⊥AB，OD过O，∴AE=BE，AD BD，即OA=2AE，∴∠AOD=30°，∴AD和BD的度数是30°∴∠BAD=15°，故答案为：15．【点睛】本题主要考查了垂径定理、圆周角定义、平行四边形的性质和判定，能求出∠AOD=30°是解此题的关键．12．26°【分析】连接OA ，则△PAO 是直角三角形，根据圆周角定理即可求得∠POA 的度数，进而根据直角三角形的性质求解．【详解】解：连接OA ．∴∠PAO=90°，∵∠O=2∠B=64°，∴∠P=90°-64°=26°．故答案为：26°．【点睛】本题主要考查了切线的性质，以及圆周角定理，正确利用定理，作出辅助线求得∠POA 的度数是解题的关键．13．35r ≤≤【分析】由于BD ＞AB ＞BC ，根据点与圆的位置关系得到35r ≤≤．【详解】∵矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，∴5BD AC ====，AD=BC=3，CD=AB=4，∵以点B 为圆心作圆，⊙B 与边CD 有唯一公共点，∴⊙B 的半径r 的取值范围是：35r ≤≤．故答案为：35r ≤≤．【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系以及矩形的性质．注意若半径为r ，点到圆心的距离为d ，则有：当d ＞r 时，点在圆外；当d=r 时，点在圆上，当d ＜r 时，点在圆内．14．﹣4或2【分析】先求出x 的值，再根据程序代入求出即可．【详解】x 2-2x=0，解得：x 1=0，x 2=2，当x=0≤1时，y=x-4=-4；当x=2＞1时，y=-x+4=2；故答案为-4或2．15．2【分析】根据在直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半得到AB ＝2BC ＝12cm ，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半CD ＝12AB ＝6cm ，根据重心的性质得到CG ＝23CD ＝4cm ，根据30°所对的直角边是斜边的一半得到答案．【详解】解：在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，∴AB ＝2BC ＝12cm ，在Rt △ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，∴CD ＝12AB ＝6cm ， ∵点G 是Rt △ABC 的重心， ∴CG ＝23CD ＝4cm ， ∵CD ＝AD ，∴∠DCA ＝∠A ＝30°，∴GE ＝12CG ＝2cm ， 故答案为：2．【点睛】本题考查的是三角形的重心的性质和直角三角形的性质，掌握重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键，注意在直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半、直角三角形斜边上的中线是斜边的一半．16．2或6【分析】分类讨论：当将⊙M 水平向左平移，当点M 运动到M ′位置时，作MC ⊥OA 于C 点，M ′H ⊥OA于H ，M ′Q ⊥MC 于Q ，连结M ′E ，根据切线的性质得MM ′∥OB ，MC ＝定理得EH ＝12EF ＝3，在Rt △EHM ′中利用勾股定理计算出HM ′则CQ ＝M ′H所以MQ ＝30°的直角三角形三边的关系可得到MM ′；当将⊙M 水平向左平移，当点M 运动到M ″位置时，作MC ⊥OA 于C 点，M ″H ⊥OA 于H ，M ″M 交OA 于D 点，同理得到MC ＝M ′H ，利用平行线的性质得∠MDC ＝∠M ″DH ＝∠AOB ＝60°，则∠HM ″D ＝30°，∠CMD ＝30°，根据含30°的直角三角形三边的关系可得到M ″D 和MD ，则可得到MM ″＝6．【详解】解：当将⊙M 水平向左平移，当点M 运动到M ′位置时，如图，作MC ⊥OA 于C 点，M ′H ⊥OA 于H ，M ′Q ⊥MC 于Q ，连结M ′E ，∵⊙M 与边OB 、OA 相切，∴MM ′∥OB ，MC ＝，∵M ′H ⊥OA ，∴EH＝CH＝12EF＝12×6＝3，在Rt△EHM′中，EM′＝，∴HM′，∵M′Q⊥MC，∴四边形M′QCH为矩形，∴CQ＝M′H∴MQ＝∵∠QM′M＝∠AOB＝60°，∴∠QM′M＝30°，∴M′Q1，∴MM′＝2；当将⊙M水平向左平移，当点M运动到M″位置时，如图2，作MC⊥OA于C点，M″H⊥OA于H，M″M交OA于D点，易得MC＝M′H，∵∠MDC＝∠M″DH＝∠AOB＝60°，∴∠HM″D＝30°，∠CMD＝30°，在Rt△HM″D中，M″D，则DH＝1，∴M″D＝2DH＝2，在Rt△CDM中，CM＝，则DC2，∴DM＝2DC＝4，∴MM″＝2+4＝6，综上所述，当⊙M平移的距离为2或6．故答案为：2或6．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了垂径定理以及含30°的直角三角形三边的关系．17．（1）x2；（2）﹣【分析】（1）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；（2）根据实数的混合运算顺序和运算法则计算可得．【详解】解：（1）∵x2﹣＝﹣1，∴x2﹣+5＝﹣1+5，即（x2＝4，则x±2，所以x2；（2）原式＝﹣4+5﹣＝﹣．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力和实数的混合运算，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．18．11m-，﹣15【分析】先利用分式的运算法则化简，再根据方程根的情况求出m的值，代入m的值进行计算即可．【详解】解：原式＝221 (1)(1)m mm m m+ +-＝11m -， ∵实数m 使关于x 的一元二次方程x 2﹣4x ﹣m ＝0有两个相等的实数根，∴△＝16+4m ＝0，∴m ＝﹣4，∴原式＝141--＝﹣15． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握因式分解和一元二次方程根的判别式是解题的关键． 19．52AC =【分析】由∠AED=∠B 、∠DAE=∠CAB 可证出△ADE ∽△ACB ，根据相似三角形的性质可得出2ADE ACB SAD S AC ⎛⎫= ⎪⎝⎭，代入数值即可求出AC 的长． 【详解】∵∠AED=∠B ，∠DAE=∠CAB ，∴△ADE ∽△ACB ，∴2ADE ACB 425S AD S AC ⎛⎫== ⎪⎝⎭， ∴5522AC AD ==． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，由两角相等证出△ADE ∽△ACB 是解题的关键． 20．（1）见解析；（2）4．【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式得到△=8m 2，从而可判断△≥0，于是得到结论；（2）利用一元二次方程根的定义得到2m 2-4m=-1，再利用完全平方公式得到22(1)3m -+=2m 2-4m+2+3，然后利用整体代入的方法计算．【详解】（1）证明：∵∆=（-4m ）2-4•2m 2=8m 2≥0，∴不论m 为何值，该方程总有两个实数根；（2）解：把x=1代入方程得1-4m+2m 2=0，则2m 2-4m=-1，∴22(1)3m -+=2m 2-4m+2+3=-1+2+3=4．故答案为（1）见解析；（2）4．【点睛】本题考查根的判别式：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．21．（1）图见解析，直线BC 与⊙O 相切，理由见解析；（2）158 【分析】（1）因为AD 是弦，所以圆心O 即在AB 上，也在AD 的垂直平分线上，据此作图即可；因为D 在圆上，所以只要能证明OD ⊥BC 就说明BC 为⊙O 的切线；（2）设⊙O 的半径为x ，证△BOD ∽△BAC 得OD BO AC AB=，即535x x -=，解之可得． 【详解】解：（1）直线BC 与⊙O 相切．理由如下：作图如图所示，连接OD ，∵AD 为角平分线，∴∠OAD ＝∠CAD ，又∵OA ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA ，∴∠CAD ＝∠ODA ，∴OD ∥AC ，∵AC⊥BC，∴OD⊥BC，∴直线BC与⊙O相切；（2）设⊙O的半径为x，∵AC＝3，BC＝4，∵AB＝5，又OD⊥BC，则OD∥BC，∴△BOD∽△BAC，∴OD BO AC AB=，即535x x-=，解得x＝158，∴⊙O的半径为158．【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．22．（1）见解析（2）6【分析】（1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似△ADF∽△DEC.（2）利用△ADF∽△DEC，可以求出线段DE的长度；然后在在Rt△ADE中，利用勾股定理求出线段AE的长度.【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，∴∠AFD=∠C在△ADF与△DEC中，∵∠AFD=∠C，∠ADF=∠DEC，∴△ADF∽△DEC（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=8．由（1）知△ADF∽△DEC，∴AD AF DE CD=，∴AD CDDE12AF⋅===在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE6===23．（1）租出17辆；（2）11千元【分析】（1）10.5﹣9＝1.5，由题意得，当租金为10.5千元时有3辆没有租出；（2）设每辆车的年租金增加x千元时，直接根据收益＝176千元作为等量关系列方程求解即可．【详解】解：（1）由题意：当每辆车的年租金每增加0.5千元时，未租出的车将增加一辆，则当每辆车的年租金定为10.5千元时，10.5﹣9＝1.5（元），所以1.5÷0.5＝3（辆）．所以该公司有3辆没有租出，即共租出17辆．（2）设每辆车的年租金增加x千元时，租赁公司年收益为176千元，由题意，得（9+x）×（20﹣2x）＝176，整理，得（x﹣2）（x+1）＝0，解得x＝2或x＝﹣1（舍去）．9+2＝11（千元），答：当每辆车的年租金为11千元时，租赁公司的年收益（不计车辆维护等其它费用）可达到176千元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系是解题关键．24．（1）AC=6；（2）t=4或5或145s时，△APC是等腰三角形；【分析】（1）过O作OD⊥AC于D，根据勾股定理求得AD的长，再利用垂径定理即可求得AC的长；（2）分AC=PC、AP=AC、AP=CP三种情况求t值即可.【详解】（1）如图1，过O作OD⊥AC于D，易知AO=5，OD=4，从而AD==3，∴AC=2AD=6；（2）设经过t秒△APC是等腰三角形，则AP=10﹣t①如图2，若AC=PC，过点C作CH⊥AB于H，∵∠A=∠A，∠AHC=∠ODA=90°，∴△AHC∽△ADO，∴AC：AH=OA：AD，即AC：=5：3，解得t=s，∴经过s后△APC是等腰三角形；②如图3，若AP=AC，由PB=x，AB=10，得到AP=10﹣x，又∵AC=6，则10﹣t=6，解得t=4s，∴经过4s后△APC是等腰三角形；③如图4，若AP=CP，P与O重合，则AP=BP=5，∴经过5s后△APC是等腰三角形．综上可知当t=4或5或s时，△APC是等腰三角形．【点睛】本题是圆的综合题，解决问题利用了垂径定理，勾股定理等知识点，解题时要注意当△BPC 是等腰三角形时，点P的位置有三种情况．25．（1）见解析；（2）①120°；②90°；③y＝180﹣4x【分析】（1）由于是每次都旋转2°且CP的旋转决定着∠ACE和∠ABE，且二者都是从0°开始的，所以：∠ACE＝∠ABE，只要证明：∠CBE＝∠BCE即可证明BE＝CE；（2）①当射线CP经过△ABC的外心时，CP经过AB的中心且此时有：CO＝AO，可以得出∠OCA＝∠CAB＝30°，即可求出点E处的度数；②当射线CP经过△ABC的内心时，内心到三边的距离相等，即CP为∠ACB的角平分线，所以有∠ABE＝∠ACE＝45°，即可求出点E处的度数；③由于每次旋转的度数一样，所以旋转x秒后，∠BCE的度数为90°﹣2x，从而得出∠BOE 的度数，也即可得出y与x的函数式．【详解】（1）证明：连接BE，如图所示：∵射线CP绕点C从CA的位置开始按顺时针方向以每秒2度的速度旋转∴当旋转7.5秒时，∠ACE＝7.5×2°＝∠ABE＝15°又∵∠CAB＝30°，∠CBA＝60°，∠ACB＝90°∴∠CBE＝75°，∠BCE＝90°﹣15°＝75°，即：∠CBE＝∠BCE＝75°∴BE＝CE．（2）解：①当射线CP经过△ABC的外心时，CP经过AB的中点且此时有：CO＝AO；∴∠OCA＝∠CAB＝30°，∠AOE＝60°∴点E处的读数是120°．②当射线CP经过△ABC的内心时，即CP为∠ACB的角平分线，圆周角∠BCE＝1902⨯︒＝45°，圆心角为90°，∴点E处的读数是90°．③旋转x秒后，∠BCE的度数为90﹣2x，∠BOE的度数为180°﹣4x，故可得y与x的函数式为：y＝180°﹣4x．【点睛】解答一次函数的应用问题中，要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义，且由每次旋转的度数相等，由图得出相等的角，并掌握量角器的用法和对含有30°三角板的运用．26．（1）详见解析；（2）8BD =或252；（3）AD =【分析】（1）证明∠ADB=∠DEC ，即可得出结论；（2）过点A 作AG ⊥BC 于G ，分两种情况讨论，当∠AED=90°时，当∠CDE=90°时通过三角形相似即可求得；（3）取AE 的中点O ，过O 作OF ⊥BC 于F ，设BD=x ，AE=y ，可分别表示OA 和OC ，由OF ∥AG ，得出OF OC AG AC=，得出关于x 的方程，解出x 即可求出DG 长，则AD 长可求出．【详解】（1）∵AB=AC ，∴∠B=∠C ，∵∠ADE=∠B ，∴∠ADE=∠C ，∵∠ADB=180°-∠ADE-∠CDE ，∠DEC=180°-∠C-∠CDE ， ∴∠ADB=∠DEC ，∵∠B=∠C ，∴△ABD ∽△DCE ；（2）如图1，过点A 作AG ⊥BC 于G ，∴CG=12BC=8，∴6AG ==，设∠ADE=∠B=∠C=α∴cosα=84105BG AB ==， 当∠AED=90°时，∵∠ADE=∠C ，∠DAE=∠CAD ，∴△ADE ∽△ACD ，∵∠AED=90°，∴∠ADC=90°，即AD ⊥BC ，∵AB=AC ，∴BD=CD ，∴BD=8；当∠CDE=90°时，由（1）知△CDE ∽△BAD ，∵∠CDE=90°，∴∠BAD=90°，∵cosα=45，AB=10， ∴cosB=45AB BD =， ∴BD=252； 即：BD=8或252． （3）如图2，取AE 的中点O ，过O 作OF ⊥BC 于F ，设BD=x ，AE=y ，∴16CD BC BD x =-=-，10CE AC AE y =-=-，由（1）知，△ABD ∽△DCE ， ∴AB BD CD CE=，∴101610x x y=--， ∴21810105y x x =-+， ∴()21119822205OA AE y x ===-+， ∴()()22191411088205205OC AC OA x x =-=---=--+， ∵以AE 为直径的圆与边BC 相切， ∴()2198205OF OA x ==-+， ∵AG ⊥BC ，OF ⊥BC ，∴OF ∥AG ， ∴OF OC AG AC=， ∴OC AG OFAC =， ∴6[()21418205x --+]=10[()2198205x -+]，∴8x =+8x =∴DG =在Rt △AGD 中，根据勾股定理得，AD ===【点睛】 本题是圆的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角函数的定义，勾股定理以及圆的切线的判定与性质．注意掌握方程思想及分类讨论思想的应用是解此题的关键．。