2 6 2 6 2
(2 x )
2
4860y x
4
例3、 求( x a ) 的展开式的
12
前3项及倒数第 4项.
解：(x＋a)12的展开式共有13项， 所以倒数第4项是它的第10项．展开式 的第10项是 9 12 12 3 9
a
C x a 220 x a .
请同学们归纳、猜想
n (a＋b) =？
(a b) C a C a b C a b
n 0 n n
1 n 1 1 n
r n r r n
C b ( n N ).
n n n *
这个公式所表示的定理叫做二项式定 理，右边的多项式叫做 (a ＋ b)n 的二项展 开式。
1求(2 x 3 y ) 的展开式的第三项 例2、 .
6
2求(3 x 2 y ) 的展开式的第三项 .
6
解 : (1)由二项式展开式的通项知 T3 T21 C ( 2 x )
2 6 2 6 2
(3 y )
2
2160x y
4
解 : ( 2)由二项式展开式的通项 知 T3 T21 C ( 3 y )
(a+b)4= (a+b) (a+b) (a+b) (a+b) a4 a3b a2b2 ab3 b4 项
都 不 取 取 一 个 取 两 个 取 三 个 取 四 个
b
b
0 4
b
1 4
b
2 4
系数
C
C
C
C
3 4
b
C
4 4
4 0 4 1 3 2 2 2 3 3 4 4 结果： (a b) C4 a C4 a b C4 a b C4 ab C4 b
(a b) C a C a b C a b
n 0 n n
1 n 1 1 n
r n r r n
C b ( n N ).
n n n *
注 : 1.展开式共有n 1项; 2. C n ( r 0,1,2, , n)叫做二项式系数 ; 3.字母a按降幂排列 , 次数由n递减到0; 字母b按升幂排列 , 次数由0递增到n; 4. C n a
r n r r
, 用T b 为展开式的通项
r
r 1
表示,
它是展开式的第 r 1项.
对定理的再认识:
利用二项式定理 ， 分别写 出下列各式的展开式 :
1 2 3
(a b) ;
n
(1 x ) ;
n
( p q) .
7
例1、 用二项式定理展开下列 各式 : 1 4 1 6 1(1 ) ; 2(2 x ) . x x
n 0 n n
1 n 1 1 n
r n r r n
C b ( n N ).
n n n *
T r 1 C n a
r
n r
b
r
( r 0,1,2,, n)
2）区别二项式系数，项的系数 3）掌握用通项公式求二项式系数，项的系 数及项.
教材 :
P
31
2,3,4.
(a b) C a C a b C a b
n 0 n n
1 n 1 1 n
r n r r n
C b ( n N ).
n n n *
1.项数规律：展开式共有n+1个项 2.系数规律：
C 、C 、C 、 、C
0 n 1 n 2 n
n n
3.指数规律： （1）各项的次数均为n； （2）a的次数由n逐次降到0， b的次数由0逐次升到n.
3 9
例4、 (1)求(1 2 x ) 的展开式的第 4项的
7
二项式系数及它的系数 ;
1 9 3 ( 2)求( x ) 的展开式中x 项的二项式 x 系数及它的系数 .
1 n 练习: 1.( 2x ) 展开式中， x 1 第3项的二项式系数 ____，
2
2第4项的系数_____。
2
2
2
( a b) ? (a b) (a b)
3 2
a b) (a b) ( a b) ( ?
4 3
(a b)
( a b) ?
n
… …
100
?
此法 有困难
复习提问： 1、组合； 2、组合数； 3、 (a1 a2 a3 )(b1 b2 b3 b4 b5 )的展开式
物理是我 的强项
二项式定理，又称牛顿二项式 定理，由艾萨克· 牛顿于1664、 1665年间提出． 二项式定理在组合理论、开高 次方、高阶等差数列求和，以 及差分法中都有广泛的应用．
数学上我同样有建树
二项式定理研究的是 (a b) 的展开式.
n
( a b) a ? 2ab b
共有多少项？
二项式定理推导:
(a b) a 2ab b C a C ab C b
2 2 2 0 2 2 1 2 2 2 2
3 (a＋b) =？ 4 (a＋b) =？
(a＋b)4=(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)
思考：展开式中，会含有哪些项， 它们的系数如何？
(a+b)4展开后有哪些项？各项的系数分别是什么？
1 10 2.求( x 3 ) 展开式中的常数项。 x
3、 求(1 x x ) 展开式中含x 的项.
2 6 5
4、 求( x 1)( x 1) 展开式中x 的系数.
8 5
1）掌握二项式定理中二项展开式及通项的特征
(a b) C a C a b C a b