函数的单调性教学案例-中学数学论文
函数的单调性教学案例
浙江浦江县第三中学潘娟春
教学目标：
（1）理解函数的单调性的概念；
（2）能判别或证明一些简单函数的单调性；
（3）学会理性地认识与描述生活中的增长递减等现象，体会数形结合思想。

重难点：用图象直观地认识函数的单调性，并利用函数的单调性求函数的值域。

教学过程：
一、认识函数的一种性质
材料：观察某市一天24小时的气温变化图，回答下列问题：
问题1.说出气温在哪些时段内是逐步升高的？哪些时段内是下降的？
问题2.当t1=8时，f(t1)= ；t2=10时，f(t2)= 。

对于自变量810，对应的函数值有什么关系？
问题3.请你用自己的语言描述“在区间［4，14］上，气温随时间增大而升高”这一特征。

问题4.若用x表示时间，y用表示温度，如何表述随着时间x增大，温度y逐渐增大？
（学生思考回答，学生代表回答、其他学生补充、教师梳理。

）
二、函数的单调性概念的形成
通过讨论，结合图给出在区间上单调性的定义：
（一）单调增函数
一般地，设函数y=f（x）的定义域为A。

区间I?哿A.如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）那么就说y=f（x）在区间I上是单调增函数，I称为y= f（x）的单调增区间。

问题5.你能找出气温图中的单调增区间吗？
问题6.类比单调增函数概念，你能给出单调减函数的定义吗？
（二）单调减函数
如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说y=f（x）在区间I上是单调减函数，I称为y=f（x）的单调减区间．问题7.你能找出气温图中的单调减区间吗？
（三）函数的单调性与单调区间。

如果函数y=f（x）在区间I是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y=f（x）在区间I上具有单调性．单调增区间与单调减区间统称为单调区间。

（学生独立思考，学生代表回答其他学生补充，师生共同给出）
下面请辨析下列三个问题。

（1）定义在R上的函数f（x）满足f（2）＞f（1），则函数f（x）是R上的增函数。

（）
（2）函数f（x）是R上的增函数，则必有f（2）＞f（1）．（）
（3）定义在R上的函数f（x）满足f（2）＞f（1），则函数f（x）在R上不
是减函数。

（）
（总结：师生共同归纳整理）
例1：做出下列函数的图象，并写出函数的单调区间：
（1）f（x）=2x （2）f（x）=x2+2x+1
（3）f（x）=1/x
（学生上黑板板演，教师巡视、点拨）
例2：求证：函数f（x）＝x2在区间(－∞，0)上是单调减函数。

（师生共同探讨，教师板演总结）
归纳总结单调性证明的步骤：
（1）取值；（2）作差；（3）变形；（4）定号；（5）下结论。

师生共同归纳整理教师引导学生提升、感悟。

练习：求证：函数f（x）＝－1/x－1在区间(－∞，0)上是单调增函数。

（教师巡视，学生板演，教师点拨总结）
回顾小结：
1.函数单调性概念；
2.证明函数单调性的几个步骤。

作业：书44页1，2，7。

（栏目责任编辑：冯光庭）。