2019-2020学年高二数学 函数的单调性（导数）教学案例（1）知识目标：让学生了解导数与函数的单调性之间的联系，掌握利用导数的符号判断函数的单调性的基本方法。

培养学生利用导数的思想来认识和解决问题。

（2）能力目标：通过学习导数的方法来判断函数的单调性，能够引导学生学会用高等数学的方法解决单调性的问题。

（3）情意目标：能够结合导数的几何意义来判断函数的单调性，站在更高的层面来考察函数的基本性质，体会高等数学的思想根源，逐步渗透分析学的方法和理念。

教学过程提出问题师：今天我们来学习第六节函数的单调性。

(板书：函数的单调性)师：首先，请同学们考虑这样一个问题,看到这样的一个课题之后你能想到什么？ (学生思考)生1：联想到什么是函数的单调性生2：单调性与图象有关师(趁势提出问题)：那么谁能告诉我到底函数的单调性的定义是什么？生1：对于函数)(x f 在定义域内的两个变量21,x x ，且21x x <,都有)()(21x f x f <,则函数单调递增，若)()(21x f x f >,则函数单调递减。

生2：应该补充说明是在定义域内的某段区间内，任取21,x x 。

教师总结，并肯定后来同学的补充。

师(继续引导)：既然同学们联系到了定义也联想到了图象，就请同学们利用定义或者图象判断一下函数2x y =和x y sin =的单调区间。

(在提出问题的同时，利用课件给出2x y =和x y sin =的解析式和图象。

)师：谁能先说明一下2x y =的单调区间生：在]0,(-∞上单调递减，在),0[+∞上单调递增。

师：你是用什么方法判断的？生：我是利用图象。

师：x y sin =的情况呢？生：从]22,22[ππππ+-k k ，（Z k ∈）是单调递增的，在]232,22[ππππ++k k （Z k ∈）是单调递减的。

师：强调一下k 是属于整数集合Z 的。

探索问题师（进一步的指明）：这里的两个问题同学们都是选用图象法来解决的。

显然，图象法在解决这个问题的过程中是很方便的。

下面我们来一起观察这两个函数的图象，思考一下这样的问题，曲线切线的斜率与函数的单调性有什么样的关系？（学生观察，教师给出一些提示）生：曲线切线的斜率小于0，函数单调递减，曲线切线的斜率大于0，函数单调递增。

生：斜率为0时，出现在一个单独的点处。

师：通过这两个特殊的函数图象的观察，同学们得到了能够通过曲线切线的斜率的符号来判断函数的单调性。

那么对于一般的函数来说是不是也具有相同的特性呢？下面我们来看一个一般的函数图象。

（通过投影给出一个一般的函数图象，以及其切线的动画。

并引导学生进行观察。

）师：这是一个函数在某段区间上的函数图象。

随着曲线上任意一点的运动，我们看到，这个点有上升也有下降，此时我们发现，在上升的曲线上，请同学们仔细观察，（稍停顿）怎么样？任意点处的切线的倾斜角都是——锐角（师生同），此时斜率为——正（师生同）。

那么这段区间就是函数的单调递增区间。

同理，在下降的这段曲线上，任意点处的切线的倾斜角为钝角，斜率为负，这段区间就是函数的单调递减区间。

于是通过上述的分析我们知道，能够通过曲线切线的斜率来判断函数的单调性。

请同学们思考，通过我们得到的结论，结合我们这一段的学习，能否把这个结论换个说法来表述？生1：……没想好生2：当函数在某一点处的导数的值是大于0时，这个点处的函数的切线的斜率就是大于0，所以，我们可以说，在函数的某一段区间上，函数的导函数)('x f 都是大于0的话，函数在这段区间上就是单调递增的。

师：好！能否告诉大家你是如何想到导数的？生：切线的斜率就是函数的导数师：这是什么？生：导数的几何意义。

师：非常好！通过导数的几何意义，我们进一步的发现，能够通过导数的符号来判断函数的单调性，这就是我们本节课要研究的主要内容。

（板书：如果)('x f ……）师（强调）：我们既然已经利用了导数的符号，那么就得强调它的大前提——（师生同并板书）函数在区间上可导。

我们提到了大于0和小于0，那么我们就要考虑——若在某段区间内恒有导数等于0，此时怎么样？（生补充，师板书）常函数。

（这里板书概念，同时与学生不断的补充，处理好书写和口述的过程）师：下面，我们就结合利用导数的符号来判断函数的单调性来解决一个问题。

板书并读题目： 例1 判断函数42)(2+-=x x x f 的单调区间。

（学生动手计算。

教师观察学生计算的过程）学生回答，教师板书并引导学生，给出一个规范的解题过程。

解：)(x f 的定义域为R ，且在定义域内处处可导。

22)('-=x x f令022>-x ，解得1>x ,因此，当),1(+∞∈x 时，)(x f 为增函数；再令022<-x ，解得1<x ,因此，当)1,(-∞∈x 时，)(x f 为减函数。

教师简单的总结，并强调利用导数法来判断函数的单调性的具体实施步骤是：(1)确定)(x f 的定义域； （2）求导数)('x f ；（3）在定义域内解不等式0)('0)('<>x f x f 和。

并确定函数的单调区间。

师：在这个基础上，我们再看一个例题。

生（打断教师，提问）：老师，我们刚才的结果写成闭区间是否合适？因为以前讲函数的单调性的时候，就是写成闭区间。

生（教师欲回答，又一学生主动回答）：我认为可以不写，因为按照前面给出的利用导函数的符号来判断单调性的法则中并没有给出，另外对于单调区间，区间端点并没有影响。

教师此时给出充分的肯定。

并给出明确的答复。

应用新知教师继续给出例题：判断下列函数的单调区间例2 （1）xx x f 1)(+= （2）762)(23+-=x x x f（请两位学生到黑板板演，教师观察学生计算，并适时给出提示）和学生一起分析板演同学的问题。

讨论两个问题中的单调性的区域性。

尤其强调书写。

解：（1）xx x f 1)(+=的定义域为}0,|{≠∈x R x x 211)('xx f -= 令0112>-x，解得11-<>x x 或,因此，)(x f 在),1()1,(+∞--∞和为增函数； 令0112<-x ，解得0110<<-<<x x 或,因此，)(x f 在)1,0()0,1(和-为减函数。

（2）762)(23+-=x x x f 的定义域为Rx x x f 126)('2-=令01262>-x x ，解得02<>x x 或,因此，)(x f 在),2()0,(+∞-∞和为增函数；令01262<-x x ，解得20<<x ,因此，)(x f 在)2,0(为减函数； 请学生谈这种方法的体会。

生1：用导数的方法比较简单，不必画出图象或者用定义验证。

生2：第一个问题用以前的方法利用图像或者定义可以解决，而第二个函数是一个三次的函数，不是很清楚它的图像，也不好用定义。

师：大家都提到了导数法，定义法和图像法的比较，我们不妨对比一下这两个问题的定义法。

用屏幕给出两题的定义解法，其中题目二无法用定义法解出，只给出过程的一半，同时给出函数的图像。

师：对于xx x f 1)(+=这个函数，大家不是很陌生，但是，我们绘出这个函数的图像，并不是很容易的，是要经历分析，列表，描点，连线等过程的。

而用定义，我们要把问题分成0>x 和0<x 两个区域来分别讨论，记得同学们刚开始做的时候，会很奇怪为什么能够有先见之明，在应用定义之前，就找到了单调区间。

事实上，我们在分析)()(21x f x f -时，发现一个因式)11(21x x -，于是，通过猜想得到的两个不同的区间来讨论单调性，也就是说，原来的方法是一种验证式的证明，而不是发现式的证明。

师：我们再来看一下762)(23+-=x x x f 这个题目，我们发现，通过计算机画出的函数图象是很复杂的。

而在运用定义来处理的时候，也涉及到一些麻烦的式子（指屏幕具体位置），到最后一步，我们用现在的方法无法判断其符号，所以不能处理。

师：我们这节课学习了导数法，导数法的应用很容易地帮助我们解决一些以前不好解决甚至不能解决的判断函数的单调区间的问题。

师：下面我们来进一步研究与函数单调性有关的问题，板书例3 当0>x 时，求证：不等式221)1ln(x x x ->+ （学生思考，教师巡视）生：我们比较熟悉这两个函数，可以通过画图象来验证，而今天我们学习了用导数来解决，我们可以构造一个函数师：什么样的函数？ 生：)21()1ln()(2x x x x F --+=，并且能证明这个函数在-1到正无穷是单调递增的，并且在0这一点的函数值为0，于是就可以判断在(0,∞+)上是大于0的 教师引导学生写下具体的过程，并板演。

简单总结并指出：大家已经能够掌握利用导数来判断函数的单调性的问题，接下来我们来看一个相对复杂的问题。

师（故意放慢语速）：3)(x x f =学生还在等待老师的叙述。

教师借此情景说：题目就是这样，学生低声议论，教师会意，指出：同学们觉得很简单，甚至有些不屑，这道题怎么算复杂，复杂在哪里？同学们不妨先算一下。

学生怀着疑惑进行尝试。

教师要求学生回答。

生：用我们今天的方法，3)(x x f =的导数为23)('x x f =，而让032>x 的话，x 不等于0，那么函数的单调区间就是)0,(-∞和),0(+∞师：但是实际上呢？生：3)(x x f =的单调区间就是),(+∞-∞，就是整个定义域内是单调递增的。

师：的确如此，我现在同时给出导数法和定义法来解决3)(x x f =的单调性问题。

教师分别进行分析，发现各有道理，进一步结合函数的图象，发现，3)(x x f =在整个定义域上是单调递增的。

那么对比这两种解法，你是否发现了什么呢？（学生沉默）师：那么发现了结果不一样，并且肯定了定义法的准确性，那么是否是导数法对于解决这个问题不适合呢？（学生讨论）生：我们应该完善这种方法，把两个区间联系起来生：这样讨论的单调区间是分段的，我们这种方法是没有考虑端点的，是不是可以加进来。

教师进一步引导，对于这个端点，也就是导数为0的点应该如何处理？生：前面我们说若在端点有定义，则区间的端点是可取舍的。

师：说明了什么？（教师进一步启发）师生同：导数的方法是充分条件——而不是必要条件。

师：其实，这个问题就很能说明它的非必要性。

为了更进一步认识这个问题，我们看下面这个例子，用投影给出x x x f sin )(+=和学生一起观察图像，并找出其导函数，特别关注函数图象上的导数为0的点（通过动画演示），说明它们并不影响函数的单调性并得出结论：如果导数为0的点只是离散的，而在其它点处导数恒为正或负，则这些导数为0的点就不影响函数的单调区间，回过头来分析刚才的题目，补充说明。