小波变换基础第9章小波变换基础9.1 小波变换的定义给定一个基本函数«Skip Record If...»，令«Skip Record If...»（9.1.1）式中«Skip Record If...»均为常数，且«Skip Record If...»。

显然，«Skip Record If...»是基本函数«Skip Record If...»先作移位再作伸缩以后得到的。

若«Skip Record If...»不断地变化，我们可得到一族函数«Skip Record If...»。

给定平方可积的信号«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»的小波变换（Wavelet Transform，WT）定义为«Skip Record If...»«Skip Record If...»（9.1.2）式中«Skip Record If...»和«Skip Record If...»均是连续变量，因此该式又称为连续小波变换（CWT）。

如无特别说明，式中及以后各式中的积分都是从«Skip Record If...»到«Skip Record If...»。

信号«Skip Record If...»的小波变换«Skip Record If...»是«Skip Record If...»和«Skip Record If...»的函数，«Skip Record If...»是时移，«Skip Record If...»是尺度因子。

«Skip Record If...»又称为基本小波，或母小波。

«Skip Record If...»是母小波经移位和伸缩所产生的一族函数，我们称之为小波基函数，或简称小波基。

这样，（9.1.2）式的«Skip Record If...»又可解释为信号«Skip Record If...»和一族小波基的内积。

母小波可以是实函数，也可以是复函数。

若«Skip Record If...»是实信号，«Skip Record If...»也是实的，则«Skip Record If...»也是实的，反之，«Skip Record If...»为复函数。

在（9.1.1）式中，«Skip Record If...»的作用是确定对«Skip Record If...»分析的时间位置，也即时间中心。

尺度因子«Skip Record If...»的作用是把基本小波«Skip Record If...»作伸缩。

我们在1.1节中已指出，由«Skip Record If...»变成«Skip Record If...»，当«Skip Record If...»时，若«Skip Record If...»越大，则仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢283仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢283«Skip Record If...»的时域支撑范围（即时域宽度）较之«Skip Record If...»变得越大，反之，当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»越小，则«Skip Record If...»的宽度越窄。

这样，«Skip Record If...»和«Skip Record If...»联合越来确定了对«Skip Record If...»分析的中心位置及分析的时间宽度，如图9.1.1所示。

图9.1.1 基本小波的伸缩及参数«Skip Record If...»和«SkipRecord If...»对分析范围的控制(a)基本小波，（b ）«Skip Record If...»，«Skip Record If...» ,(c)«Skip Record If...»不变，«Skip Record If...», (d)分析范围这样，（9.1.2）式的WT 可理解为用一族分析宽度不断变化的基函数对«Skip Record If...»作分析，由下一节的讨论可知，这一变化正好适应了我们对信号分析时在不同频率范围所需要不同的分辨率这一基本要求。

（9.1.1）式中的因子«Skip Record If...»是为了保证在不同的尺度«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»始终能和母函数«Skip Record If...»有着相同的能量，即«Skip Record If...»)(t 2=ttta令«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»，这样，上式的积分即等于«Skip Record If...»。

令«Skip Record If...»的傅里叶变换为«Skip Record If...»，«Skip Record If...»的傅里叶变换为«Skip Record If...»，由傅里叶变换的性质，«Skip Record If...»的傅里叶变换为：«Skip Record If...» «Skip Record If...» «Skip Record If...»（9.1.3）由Parsevals定理，（9.1.2）式可重新表为：«Skip Record If...»«Skip Record If...»（9.1.4）此式即为小波变换的频域表达式。

9.2 小波变换的特点下面，我们从小波变换的恒Q性质、时域及频率分辨率以及和其它变换方法的对比来讨论小波变换的特点，以帮助我们对小波变换有更深入的理解。

比较（9.1.2）和（9.1.4）式对小波变换的两个定义可以看出，如果«Skip Record If...»在时域是有限支撑的，那么它和«Skip Record If...»作内积后将保证«Skip Record If...»在时域也是有限支撑的，从而实现我们所希望的时域定位功能，也即使«Skip Record If...»反映的是«Skip Record If...»在«Skip Record If...»附近的性质。

同样，若«Skip Record If...»具有带通性质，即«Skip Record If...»围绕着中心频率是有限支撑的，那么«Skip Record If...»和«Skip Record If...»作内积后也将反映«Skip Record If...»在中心频率处的局部性质，从而实现好的频率定位性质。

显然，这些性能正是我们所希望的。

问题是如何找到这样的母小波«Skip Record If...»，使其在时域和频域都是有限支撑的。

有关小波的种类及小波设计的问题，我们将在后续章节中详细讨论。

由1.3节可知，若«Skip Record If...»的时间中心是«Skip Record If...»，时宽是«Skip Record If...»，«Skip Record If...»的频率中心是«Skip Record If...»，带宽是«Skip Record If...»，那么«Skip Record If...»的时间中心仍是«Skip Record If...»，但时宽变成«Skip Record If...»，«Skip Record If...»的频谱«Skip Record If...»的频率中心变为«Skip Record If...»，带宽变成«Skip Record If...»。

这样，«Skip Record If...»的时宽－带宽积仍是«Skip Record If...»，与«Skip Record If...»仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢283无关。

这一方面说明小波变换的时－频关系也受到不定原理的制约，但另一方面，也即更主要的是揭示了小波变换的一个性质，也即恒Q 性质。

定义«Skip Record If...»=带宽/中心频率 (9.1.5) 为母小波«Skip Record If...»的品质因数，对«Skip Record If...»，其 带宽/中心频率=«Skip Record If...»因此，不论«Skip Record If...»为何值«Skip Record If...»，«Skip Record If...»始终保持了和«Skip Record If...»具有性同的品质因数。