∫
∞
0
1 a3
∫
2π
0
R
∫
(7.4)
2
r ( a, θ , b ) 二维小波变换包含三个参数：
4
7.2 二维多尺度分析
二维多尺度可采用一维尺度空间张量积的方法构 成： V 2 = V ⊗ V ← (7.5) ⎯⎯ 直积
V } 其中，{
j
j
j
V j2 }j∈Z φ ( x, y ) = ϕ ( x)ϕ ( y ) 是二维多尺度分析 { 尺度函数，且对每一个 j∈z:
● N级 分解：
0 1 2 N cn ⎯ ⎯→ c ⎯ ⎯→ c L ⎯ ⎯→ c ,m n ,m n ,m n ,m 11 N1 dn L L L L L L L d n ,m ,m N2 12 dn L L L L L L L d ,m n ,m 13 N3 dn L L L L L L L d ,m n ,m 1 1 = ∑ h0 (k − 2n)h0 (l − 2m)ckj,− l 2 k ,l∈Z
(7.2)
3
连续小波变换
r 1 WT f (a, θ , b ) = ∫ aR
小波逆变换：
r 1 f (x) = cψ
r r r * x −b r ) dx f ( x )ψ ( a ⋅ rθ
r r r r x −b )db ⋅ dθ WT f (a, θ , b )ψ ( a ⋅ rθ
(7.3)
2
⎪ ⎩
ˆ (ω ) 2π q
lˆ (ω )
2π
周期
1 ˆ⎛ ω ⎞ ˆ⎛ ω ⎞ ˆ % l ⎜ ⎟φ ⎜ ⎟ = ξ ω ( ) 2 ⎝2⎠ ⎝2⎠
% ( y) ⎧ % 1 ( x, y ) = ψ % ( x )ξ ⎪ψ ⎨ 2 % ( x )ψ % ( x, y ) = ξ % ( y) ⎪ ⎩ψ
= (V j ⊗ V j ) ⊕ (V j ⊗ W j ) ⊕ (W j ⊗ V j ) ⊕ (W j ⊗ W j ) = V j2 ⊕ (V j ⊗ W j ) ⊕ (W j ⊗ V j ) ⊕ (W j ⊗ W j )
∞
因为： V j2−1 = V j −1 ⊗ V j −1 = (V j ⊕ W j ) ⊗ (V j ⊕ W j )
j 1 cnj,− = 2 { [ c ∑ k ,l h0 (n − 2k )h0 (m − 2l ) m k ,l∈Z
+ d kj,1l h0 (n − 2k )h1 (m − 2l ) + d kj,2 l h1 ( n − 2k ) h0 ( m − 2l ) + d kj,3 l h1 ( n − 2k ) h1 ( m − 2l )]}
ˆ (ω , ω )ψ ˆ 1 ( 2 j ωx , 2 j ω y ) f x y ˆ (ω , ω )ψ ˆ 2 ( 2 j ωx , 2 j ω y ) f x y
若存在 A > 0 和 B > 0 ,使得
∀ω = (ω x , ω y ) ∈ R − {( 0, 0 )}
2
ˆ 1 ( 2 j ωx , 2 j ω y ) + ψ ˆ 2 ( 2 j ωx , 2 j ω y ) A≤∑ ψ
2 j∈Z
(
2
)≤B
% 1 ,ψ %2 则存在重构小波 ψ
+∞ 1 j j 1∗ j =−∞ x y
{
}
j
，其Fourier变换满足
j 2 j j 2∗ j j x y x y x y
ˆ % ( 2 ω , 2 ω ) +ψ % ( 2 ω , 2 ω )} = 1 ˆ ( 2 ω , 2 ω )ψ ∑ {ψˆ ( 2 ω , 2 ω )ψˆ
ψ
3 j ,k ,m
( x, y ) = ψ j ,k ( x)ψ j ,m ( y )
(7.8)
7
即：
{ψ
i j ,k ,m
( x, y ) | i = 1,2,3; j , k , m ∈ Z }
W j2 }j∈Z 即L2 ( R 2 ) 的规范正交基。 构成 {
8
（3）二维离散信号多尺度Mallat算法
ψ 2 ( x, y ) = ψ ( x)ϕ ( y )
即:
(7.7)
ψ 3 ( x, y ) = ψ ( x)ψ ( y ) ψ 1j ,k ,m ( x, y ) = ϕ j ,k ( x)ψ j ,m ( y )
ψ2 j , k , m ( x, y ) = ψ j , k ( x )ϕ j , m ( y )
V j }j∈Z 的尺度函数，则 若ϕ ( x) 是一维多尺度分析 {
2 j j∈Z
是L2 ( R 2 ) 的一个闭子空间。
的
{φ
j , k1 , k 2
= ϕ j ,k1 ( x)ϕ j , k 2 ( y )
− j 2
}
− j 2
= 2 ϕ (2 − j x − k1 ) ⋅ 2 ϕ (2 − j y − k 2 ) k1 ,k2 ∈Z
20
21
感兴趣下去验证！
22
实例3
23
24
25
总结 二维小波变换是一维小波变换的推广，其 小波变换相当于二次一维信号的小波变换： （1）第一次一维信号的小波变换相当于图像的 行变换。 （2）第二次一维信号的小波变换相当于图像的 列变换。 这是实际处理的方法，而(7.3)是理论上。
26
11.5 程式發展
周期
ˆ (ω )lˆ* (ω ) = q
ˆ(ω ) 2+ h 2
2
% 2 ( x, y ) 是 重构小波。 % 1 ( x, y ) 和 ψ ψ
1 2 问题: 如何验证 ψ ( x, y ) 和 ψ ( x, y ) 满足稳定性条件?
32
常用的二维可分离二进小波变换
例4 由非正交的二次样条二进小波，构造可分离的二维二进小波 2 ˆ 2 + h (ω ) ˆ (ω ) = 1 ，则 γ ( t ) = 2φ ( 2t ) ˆ 取 q l (ω ) = 2
将基本小波进行平移、伸缩、旋转得到小波函数：
r 其中a是伸缩因子；b = (b1 , b2 ) 平移向量；θ∈[0-2π)是旋转角。
r r r 1 ⎛ x −b ⎞ ⎟ ψ a ,θ ,b ( x ) = ψ ⎜ ⎟ a ⎜ a r ⋅ θ ⎠ ⎝
⎡ cos θ rθ = ⎢ ⎣− sin θ sin θ ⎤ cos θ ⎥ ⎦
[
]
所以：
W j2 = (V j ⊗ W j ) ⊕ (W j ⊗ V j ) ⊕ (W j ⊗ W j )
注意：这里有3项！
6
（2）定理：
设： V j2
{ } 是L ( R ) 的一个多尺度分析， 其中{ V } 是L ( R) 的一个多尺度分析，
2 2 j∈Z
2
j
j∈Z
尺度函数为 ϕ ( x) ，小波函数为 ψ ( x)， 则： ψ 1 ( x, y ) = ϕ ( x)ψ ( y )
j2 n ,m
}各层次水平方向的高频成分，垂直方向的低频成分；
（对角线方向上的高频成分）；
10
各层次垂直方向的高频成分，水平方向的高频成分 {d nj,3 m}
例如: 16×16 一级小波分解变成: 8×8 二级小波分解变成: 4×4
11
●重构
1 0 N N −1 ⎯ ⎯→ → → ⎯ ⎯→ cn c L c c ,m n ,m n ,m n,m 1 1 d nN, m LLLLLL → d nN,m 2 2 d nN, m LLLLLL → d nN,m 3 3 d nN, m LLLLLL → d nN,m
l3 = l−3 = 1 3 15 21 , l2 = l−2 = , l1 = l−1 = , l0 = ；当 64 32 64 16
V j2 }j∈Z 的规范正交基。 构成 {
}
5
（1）定义：正交补空间
若：
V j2−1 = V j2 ⊕ W j2 ← ⎯⎯ 直和
(7.6)
称 W j2为V j2−1 的正交补空间。
←二维小波空间
2 2 类似一维情况，可对 L ( R ) 作如下分解：
j = −∞
⊕ W j2 = L2 ( R 2 )
12
13
14
实例1
15
小波变换用于图象特征抽取
第1级 近似 图象 水平细节 水平细节
垂直细节
第1级 垂直细节
第1级 斜线细节 斜线细节
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小波系数分级方块表示法
实例2近似图象
第3级 L3 第2级 L2细节
第1级 L1 水平细节 第1级 L1 垂直细节 第1级 L1 斜线细节
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小波系数分级树形表示法
cnj,m
d
j1 n,m
d nj,2 m
d nj,3 m
1 1 = ∑ h0 (k − 2n)h1 (l − 2m)ckj,− l 2 k ,l∈Z 1 1 = ∑ h1 (k − 2n)h0 (l − 2m)ckj,− l 2 k ,l∈Z 1 1 = ∑ h1 (k − 2n)h1 (l − 2m)ckj,− l 2 k ,l∈Z
第七章 二维小波变换及其应用
7.1 基本概念与性质 7.2 二维多尺度分析
1
7.1 基本概念与性质
经常用到的二维信号是图像，图像处 理是小波变换应用最成功的领域之一。
2
r r 令 x = ( x, y ) 为一个二维向量， f ( x ) ∈ L2 ( R 2 ) r ψ ( x ) 表示二维基本小波， 表示一个二维信号， r 2 并如下允许条件： ˆ (ω ) r 1 ψ cψ = r dω < +∞ (7.1) ∫ ω 4π