精锐教育学科教师辅导讲义 学员编号： 年 级：初一 课 时 数：3学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：授课类型 C 提取公因式法 C 公式法 C 能力提升授课日期时段教学内容1. 理解因式分解的意义，知道因式分解与整式乘法的互逆关系；2. 理解多项式的公因式的概念，掌握用提取公因式法分解因式；3. 掌握公式法分解因式.一、有关概念：1.把一个多项式化为几个整式的积德形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.2.一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式.3.如果一个多项式的各项含有公因式，那么可以把该公因式提取出来作为多项式的一个因式，提出公因式后的式子放在括号里，作为一个因式.这种分解因式的方法叫做提取公因式法.4.提取的公因式应是各项系数最大的公因数（系数都是整数时）与各项都含有的相同字母的最低次幂的积.5.逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法.提取公因式法教学目标知识点睛二、 提取公因式的步骤：“一找”：就是第一步要正确找出多项式中各项的公因式；“二提”：就是第二步将所找出的公因式提出来；“三去除”：就是当提出公因式后，此时可直接观察提出公因式后剩下的另一个因式，也可以用原多项式去除以公因式，所得的商即为提出公因式后剩下的另一个因式.题型一、因式分解概念：【例】下列变形是因式分解的是 ( )A ．()()2111x x x +-=-B ．221139342a a a ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭C ．()25656x x x x -+=-+D ．()()ax ay bx by a x y b x y +++=+++【巩固】判断下列各式哪些是多项式的因式分解？哪些不是？为什么？（1）2(3)(3)9x x x +-=- （2）42225(5)(5)m m m -=+-（3）232(3)2x x x x +-=+- （4）42242222()a a b b a b -+=-题型二、提公因式：【例】（1）2abc abd a b +- （2）155ax xy --（3）()()223x a b b a -+- （4）34256686a x a x ax -+ （5）32524491836a x a x a b -- （6）542563286a b a x ax -+（7）32524491836a x a x a x -- （8）543527321624a b a b a b -+ 例题精讲（9）()()x a b y b a -+- （10）1m m a a +-（11）()()a m n b n m --- （12）()()p x y q y x ---（13） 542646816a x a x ax -+【巩固】（1）155ax xy +； （2）155ax xy -； （3）155ax xy -+； （4）155ax xy --（5）32a a a ++； （6）1m m a a+- （7）34256686a x a x ax -+ （8）()()22x a b a b -+-【巩固】（1）23432243a b c a b c a b c +- （2）54352321624a b a b a b -+（3）876563273a a a a +-- （4）333324243234x y z x y z x y z x y z --+-（5）()()23a p q a q p --- （6）()()3226181p x p x --- （7）()()211a a a --- （8）()()()22a b a b a b -+--题型三、利用提公因式法简化计算过程：【例】计算1368987521136898745613689872681368987123⨯+⨯+⨯+⨯【巩固】利用因式分解方法计算：（1）72.56553656530.56521⨯-⨯-⨯+⨯ (2) 7.6×200.1+4.3×200.1-1.9×200.1(3) 1011-5×109题型四、在多项式恒等变形中的应用：【例】不解方程组23532x y x y +=-=-⎧⎨⎩，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值。

【巩固】已知a 2-a-4=0，求a 2-2(a 2-a+3)-21(a 2-a-4)-a 的值.【巩固】已知22437,x y -=223219x y +=，求代数式22142x y -的值．题型五、在代数证明题中的应用：【例】证明：对于任意自然数n ，323222n n n n ++-+-一定是10的倍数。

【巩固】判断20062003433⨯-能否被321整除.【巩固】．证明:多项式ab 2(x-y)5+a 2b(y-x)5能被(a-b)整除;1. 分解因式：（1）-+-41222332m n m n mn （2）a x abx acx adx n n n n 2211++-+--（n 为正整数）（3）a a b a b a ab b a ()()()-+---3222222. 计算：()()-+-221110的结果是（ ） A. 2100B. -210C. -2D. -1 3.把多项式3x mx +因式分解得()12x x x n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭时，m 、n 的值分别是 （ ） A ．11,84m n == B. 11,82m n =-= C. 11,84m n ==- D ．11,42m n =-=实战模拟4. 已知x 、y 都是正整数，且x x y y y x ()()---=12，求x 、y 。

5. 证明：812797913--能被45整除。

6.求证：32000-4×31999+10×31998能被7整除。

7. 化简：111121995+++++++x x x x x x x ()()()…，且当x =0时，求原式的值。

1. 理解因式分解的意义，知道因式分解与整式乘法的互逆关系；2. 理解多项式的公因式的概念，掌握用提取公因式法分解因式；3. 掌握公式法分解因式.公式法教学目标一、有关概念：1.把一个多项式化为几个整式的积德形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.2.一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式.3.如果一个多项式的各项含有公因式，那么可以把该公因式提取出来作为多项式的一个因式，提出公因式后的式子放在括号里，作为一个因式.这种分解因式的方法叫做提取公因式法.三、 常用公式：1.平方差公式 a b a b a b 22-=+-()()2.完全平方公式 a ab b a b 2222±+=±()3.立方和、立方差公式a b a b a ab b 3322±=±⋅+()() 补充：欧拉公式：a b c abc a b c a b c ab bc ca 3332223++-=++++---()() =++-+-+-12222()[()()()]a b c a b b c c a 特别地：（1）当a b c ++=0时，有a b c abc 3333++=（2）当c =0时，欧拉公式变为两数立方和公式。

四、使用公式法需注意：1.运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。

但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。

2.用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。

因此，正确掌握知识点睛公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。

一、公式法【例】下列代数式中不能用完全平方公式进行因式分解的是 ( )A ．214x x ++B. 221934ab a b -+ C ．()()()222244a b a b a b +--+- D. 222m mn n --【例】（1）因式分解：22182x y -=_____________________________________. （2）因式分解：32544514449n n -=_____________________________. （3）因式分解：448116x y -=__________________________________.（4）因式分解：4411256a b -+=_________________________________.【例】（1）22363ax axy ay ++； （2）532421218x x y xy -+；（3）32231212x x y xy -+； （4）()()21025x y x y +-++；（5）()()21236x y x y -+-+ （6）()()242025x y x y +-++ ；【巩固】（1）232828x y x xy ---； （2）2232ax a x a ++；（3）2369a a a --. （4）()()2256036x y x y ---+； 例题精讲（5）()()2222a bab +-； （6）()()()22222x y x y x y +--+-【巩固】把a a b b 2222+--分解因式的结果是（ ）A. ()()()a b a b -++22B. ()()a b a b -++2C. ()()a b a b -++2D. ()()a b b a 2222--二、在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用【例】已知多项式232x x m -+有一个因式是21x +，求m 的值。

【巩固】已知()014222=+--+b a b a ，求()20032b a +的值．三、在几何题中的应用【例】已知a b c 、、是∆ABC 的三条边，且满足a b c ab bc ac 2220++---=，试判断∆ABC 的形状。

【巩固】已知c b a ,,分别为ABC ∆的三边，求证：()04222222<--+b a c b a ．四、在代数证明题中应用【例】两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。

1.因式分解：x xy 324-=________。

2.分解因式：2883223x y x y xy ++=_________。

3.如果()294x y M -++是一个完全平方式，则M 等于 （ ）A.()6x y ±-B. ()12x y ±-C. ()36x y ±-D. ()72x y ±-4. 分解因式：（1）()()a a +--23122 （2）x x y x y x 5222()()-+- （3）a x y a x y x y 22342()()()-+-+-实战模拟5. 已知：x x +=-13，求x x441+的值。