峨山一中2014—2015学年下学期期末考高二数学(理)试题本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。
总分为150分,考试时间为120分钟。
注意事项:1. 答题前,考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚,并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号,在规定的位置贴好条形码。
2. 每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
3. 答非选择题时,必须使用黑色碳素笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。
4. 所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。
第I 卷(选择题 60分)一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
)1. 已知集合A =2{|430},{|24}x x x B x x -+<=<<,则A B =.A (1,3) .B (1,4) .C (2,3) .D (2,4) 2. 已知复数z 满足(1)1z i i -=+,则z =A. 2i --B.2i -+C. 2i -D.2i + 3.下列函数为奇函数的是 A.y x =sin y x = C.cos y x = D.x x y e e -=-4.若2,4a b ==,且()a b a +⊥,则a 与b 的夹角是 A .3π B .23π C .43πD .23π-5.下列双曲线中,焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是A. 2214y x -= B.2214x y -=正视图侧视图C.2214y x -=D.2214x y -=6.如右图所示是某一容器的三视图,现向容器中匀速注 水,容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图象是7.已知x 、 y 满足约束条件100,0x x y x +-≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则 z = x + 2y 的最大值为A. -2B. -1C. 1D. 28.已知{}n a 是公差为1的等差数列,n S 为{}n a 的前n 项和,若844S S =,则10a = A.172 B. 192C. 10D. 12 9.执行如图所示的程序框图,则输出的结果为 A .2 B .1 C .21D .1-10.下列说法正确的是DA. “0x <”是“ln(1)0x +<”的充要条件B. “2x ∀≥,2320x x -+≥”的否定..是“2,x ∃<2320x x -+<” C. 采用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加活动,学号为5,16,27,38,49的同学均被选出,则该班学生人数可能为60D. 在某项测量中,测量结果X 服从正态分布2(1,)(0)N σσ>,若X 在(0,1)内取值的概率为0.4,则X 在(0,2)内取值的概率为0.811.已知数列{}n a 是递增的等比数列,14239,8a a a a +==,则数列{}n a 的前n 项和等于Othh t Oh t OOth BADCA. 21n -B. 121n --C. 121n -+D.21n +12.已知函数()f x 对定义域R 内的任意x 都有()(4)f x f x =-,且当2x ≠时其导函数()f x '满足()2()xf x f x ''>,若24a <<则A .2(2)(3)(log )a f f f a <<B .2(3)(log )(2)a f f a f <<C .2(log )(2)(3)a f a f f <<D .2(log )(3)(2)a f a f f <<第II 卷(90分)二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)13.()52x + 的展开式中,2x 的系数等于 .(用数字作答) 14.设向量a ,b 不平行,向量a b λ+与2a b +平行,则实数λ=_________. 15.曲线2y x = 与直线y x = 所围成的封闭图形的面积为 .16.已知A ,B 是球O 的球面上两点,∠AOB =90°,C 为该球面上的动点,若三棱锥O -ABC 体积的最大值为36,则球O 的表面积为__________.三.解答题:(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)设ABC ∆的内角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、.已知1=a ,2=b ,41cos =C . (Ⅰ)求ABC ∆的周长;(Ⅱ)求()C A -cos 的值.18.(本小题满分12分)如图,三棱柱ABC —A 1B 1C 1中, 侧棱与底面垂直,AB=BC=2AA 1,∠ABC=90°,M 是BC 中点。
(Ⅰ)求证:A 1B∥平面AMC 1;(Ⅱ)求直线CC 1与平面AMC 1所成角的正弦值。
ABCA 1B 1C 1M19.(本小题满分12分)为了了解在校学生“通过电视收看世界杯”是否与性别有关,从全校学生中随机抽取30名学生进行了问卷调查,得到了如下列联表: 男生 女生 合计 收看 10 8 合计30已知在这30名同学中随机抽取1人,抽到“通过电视收看世界杯”的学生的概率是158. (I)请将上面的列联表补充完整,并据此资料分析“通过电视收看世界杯”与性别是否有关? (II)若从这30名同学中的男同学中随机抽取2人参加一活动,记“通过电视收看世界杯”的人数为X,求X 的分布列和均值. 附表及公式2()p K k ≥0.15 0.100.0500.0100.001k2.0722.7063.841 6.635 10.82822()()()()()n ad bc K a d c d a c b d -=++++20.(本题小满分12分)已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.(1)求椭圆C 的标准方程.(2)设F 为椭圆C 的左焦点,T 为直线x =-3上任意一点,过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ,Q .证明:OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点).21.(本小题满分12分) 已知函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =->≠+, (1)求函数)(x f 在点))0(,0(f 处的切线方程; (2)求函数)(x f 单调递增区间;(3)若存在]1,1[,21-∈x x ,使得e e x f x f (1)()(21-≥-是自然对数的底数),求实数a 的取值范围.22.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程 已知曲线C 1的参数方程为45cos 55sin x ty t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴 为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为2sin ρθ=. (Ⅰ)把C 1的参数方程化为极坐标方程;(Ⅱ)求C 1与C 2交点的极坐标()0,02ρθπ≥≤<.峨山一中2014-2015学年下学期期末考 高二理科数学参考答案 一、选择题:60分1~12: CCDBC BDBCD AD二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,满分20分) 13、 80 14、1215、16 16、144π三.解答题:(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分)解:(Ⅰ)∵441441cos 2222=⨯-+=-+=C ab b a c ∴2=c ∴ABC ∆的周长为5221=++=++c b a . ………6分(Ⅱ)∵41cos =C ,∴415411cos 1sin 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=C C ,∴8152415sin sin ===cC a A ,∵c a <,∴C A <,故A 为锐角, ∴878151sin 1cos 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=A A ∴()C A -cos C A C A sin sin cos cos +=16114158154187=⨯+⨯=. .……12分 18.(本小题满分12分)解:(Ⅰ)连接1A C 交1AC 于O ,连接OM . 在三角形1A BC 中,OM 是三角形1A BC 的中位线, 所以OM ∥1A B ,又因OM ⊂平面1AMC ,1A B ⊄平面1AMC所以OM ∥平面1AMC 。
………6分(2)如图以BC 所在的直线为x 轴, 以BA 所在的直线为y 轴, 以1BB 所在的直线为z 轴,以1BB 的长度为单位长度建立空间直角坐标系. 则(0,0,0)B ,(2,0,0)C ,(0,2,0)A ,(1,0,0)M ,1(2,0,1)C ,1(0,1,0)B ,1(0,2,1)A .设直线1CC 与平面1AMC 所成角为θ,平面1AMC 的法向量为(,,)n x y z =.则有1(0,0,1)CC =,(1,2,0)AM =-,1(1,0,1)C M =--, 100n C M n AM ⎧=⎪⎨=⎪⎩,,200.x y x z -=⎧⇒⎨--=⎩,令2x =,得(2,1,2)n =-, ∴122sin cos ,33n CC θ-=<>==. …………12分 19.(本小题满分12分)解:(Ⅰ) 男生 女生 合计 收看 10 6 16 不收看 6 8 14 合计161430由已知数据得:2230(10866) 1.158 3.84116141614K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯所以,没有充足的理由认为“通过电视收看世界杯”与性别有关 .…………6分 (Ⅱ)X 的可能取值为0,1,2.211661022161611(0),(1)82C C C P X P X C C ======,2102163(2).8C P X C === 所以X 的分布列为:X 0 1 2P18 12 38X 的均值为:1135012.8284EX =⨯+⨯+⨯=………12分20.(本题小满分12分)解:(1)由已知可得⎩⎨⎧a 2+b 2=2b ,2c =2a 2-b 2=4,解得a 2=6,b 2=2,所以椭圆C 的标准方程是x 26+y 22=1. …………4分(2)证明:由(1)可得,F 的坐标是(-2,0),设T 点的坐标为(-3,m ),则直线TF 的斜率k TF =m -0-3-(-2)=-m .当m ≠0时,直线PQ 的斜率k PQ =1m.直线PQ 的方程是x =my -2.当m =0时,直线PQ 的方程是x =-2,也符合x =my -2的形式.设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立,得222162x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x ,得(m 2+3)y 2-4my -2=0,…………8分 其判别式Δ=16m 2+8(m 2+3)>0. 所以y 1+y 2=4m m 2+3,y 1y 2=-2m 2+3,x 1+x 2=m (y 1+y 2)-4=-12m 2+3. 设M 为PQ 的中点,则M 点的坐标为2262,33m m m -⎛⎫⎪++⎝⎭所以直线OM 的斜率OM k =-m3,又直线OT 的斜率OT k =-m3,所以点M 在直线OT 上,因此OT 平分线段PQ . …………12分21.(本题小满分12分)解:(1)因为函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =->≠+,所以()ln 2ln x f x a a x a '=-+,(0)0f '=,又因为(0)1f =,所以函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =. ………4分(2)由(1)可知,()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=-=-++, 因为当0,1a a >≠时,总有()f x '在R 上是增函数, 又(0)0f '=,所以不等式()0f x '>的解集为(0,)∞+, 故函数()f x 的单调增区间为(0,)∞+.………8分(3)因为存在12,[1,1]x x ∈-,使得12()()e 1f x f x --≥成立, 而当[1,1]x ∈-时,12max min ()()()()f x f x f x f x --≤, 所以只要max min ()()e 1f x f x --≥即可.又因为x ,()f x ',()f x 的变化情况如下表所示:x (,0)-∞(0,)∞+()f x ' -+()f x减函数极小值增函数所以()f x 在[1,0]-上是减函数,在[0,1]上是增函数,所以当[1,1]x ∈-时,()f x 的最小值()()min 01f x f ==,()f x 的最大值()max f x 为()1f -和()1f 中的最大值.因为11(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a a a a--=--=--+++,令1()2ln (0)g a a a a a =-->,因为22121()1(1)0g a a a a'=-=->+,所以1()2ln g a a a a=--在()0,a ∈+∞上是增函数. 而(1)0g =,故当1a >时,()0g a >,即(1)(1)f f >-; 当01a <<时,()0g a <,即(1)(1)f f <-.所以,当1a >时,(1)(0)e 1f f --≥,即ln e 1a a --≥,函数ln y a a =-在(1,)a ∈+∞上是增函数,解得e a ≥;当01a <<时,(1)(0)e 1f f ---≥,即1ln e 1a a +-≥,函数1ln y a a=+在(0,1)a ∈上是减函数,解得10ea <≤.综上可知,所求a 的取值范围为1(0,][e,)ea ∈∞+. ………12分 22.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程 解:将45cos 55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩消去参数t ,化为普通方程22(4)(5)25x y -+-=,即1C :22810160x y x y +--+=,将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入22810160x y x y +--+=得,28cos 10sin 160ρρθρθ--+=,∴1C 的极坐标方程为28cos 10sin 160ρρθρθ--+=; ………5分 (Ⅱ)2C 的普通方程为2220x y y +-=,aa 由222281016020x y x y x y y ⎧+--+=⎪⎨+-=⎪⎩解得11x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩, ∴1C 与2C 的交点的极坐标分别为4π),(2,)2π. ………10分。