5 共点力的平衡
一、共点力
如果一个物体受到两个或更多个力的作用，这些力共同作用在同一点上，或者虽不作用在同一点上，但是它们的延长线交于一点，这样一组力叫作共点力． 二、共点力平衡的条件 1．平衡状态：
物体受到几个力作用时，保持 或 运动的状态． 2．在共点力作用下物体平衡的条件是 .
即F 合＝0或⎩⎪⎨⎪⎧
F x 合＝0
F y 合
＝0，其中F x 合和F y 合分别是将力进行正交分解后，物体在x 轴和y 轴上所
受的合力．
1．判断下列说法的正误．
(1)作用在一个物体上的两个力，如果大小相等，方向相反，则这两个力一定是共点力．( ) (2)作用在一个物体上的两个力，如果大小相等，方向相反，这两个力一定平衡．( ) (3)某时刻物体的速度为零，物体一定处于平衡状态．( ) (4)物体处于平衡状态时加速度一定为零．( )
(5)如果一个物体受到三个力作用而保持静止状态，则其中任意两力的合力与第三力等大反向．( )
2.如图1所示，静止于倾角为30°的斜面上的物体，重力为10 N ，则它受到的支持力为________ N ，摩擦力为________ N.
一、力的正交分解法
1．力的正交分解法：把力沿着两个选定的相互垂直的方向分解的方法． 2．两种典型情况的力的正交分解(如图2甲、乙所示)
(1)水平面上物体斜向上的拉力的分解
⎩⎪⎨⎪⎧
F x ＝F cos αF y
＝F sin α
图2
(2)在斜面上物体重力的分解
⎩⎪⎨⎪⎧
G x ＝G sin αG y
＝G cos α 3．正交分解法求合力
(1)建立直角坐标系：以共点力的作用点为坐标原点，直角坐标系x 轴和y 轴的选择应使尽量多的力在坐标轴上．
(2)正交分解各力：将每一个不在坐标轴上的力分解到x 轴和y 轴上，并求出各分力的大小，如图3所示．
图3
(3)分别求出x 轴、y 轴上各分力的矢量和，即：F x ＝F 1x ＋F 2x ＋…，F y ＝F 1y ＋F 2y ＋…. (4)求共点力的合力：合力大小F ＝F x 2＋F y 2，设合力的方向与x 轴的夹角为α，则tan α＝F y F x
.
如图4所示，甲、乙、丙三个物体质量相同，与地面间的动摩擦因数均相同，受到三
个大小相同的作用力F ，当它们滑动时，下列说法正确的是( )
图4
A ．甲、乙、丙所受摩擦力相同
B ．甲受到的摩擦力最大
C ．乙受到的摩擦力最大
D ．丙受到的摩擦力最大 二、共点力及共点力的平衡条件
1．对共点力的理解
(1)共点力作用于物体的同一点(如图5甲)，或者力的延长线交于一点(如图乙)．
图5
(2)说明：共点力的交点不一定在物体上，但在画物体的受力图时，一般把共点力的作用点平移到物体的重心．
2．平衡状态
(1)物体处于静止或匀速直线运动的状态．
(2)对静止的理解：“静止”要满足两个条件：v＝0，a＝0，缺一不可．“保持”某状态与某“瞬时”状态有区别．例如，竖直上抛的物体运动到最高点时，这一瞬时速度为零，但这一状态不可能保持，因而上抛物体在最高点不能称为静止，即速度为零不等同于静止．
3．共点力的平衡条件
(1)共点力的平衡条件是合力为0.
(2)表示为：F合＝0；或将各力分解到x轴和y轴上，满足F x合＝0，且F y合＝0.
①二力平衡：若物体在两个力作用下处于平衡状态，则这两个力一定等大、反向．
②三力平衡：若物体在三个共点力作用下处于平衡状态，则其中任意两个力的合力与第三个力等大、反向．
③多力平衡：若物体在n个共点力作用下处于平衡状态，则其中任意(n－1)个力的合力与第n 个力等大、反向．
④如果物体所受合力为零，那么物体在任一方向上所受的合力都为零．
物体在五个共点力的作用下保持平衡，如图6所示，其中F1大小为10 N，方向水平向右，求：
图6
(1)若撤去力F1，而保持其余四个力不变，其余四个力的合力的大小和方向；
(2)若将F1转过90°，物体所受的合力大小．
三、共点力平衡条件的应用
求解共点力平衡问题的一般步骤
(1)根据问题的要求，恰当地选取研究对象．
(2)对研究对象进行受力分析，画出受力分析图．
(3)通过平衡条件，找出各个力之间的关系，或由平衡条件列方程，即F x合＝0，F y合＝0.
(4)联立方程求解，必要时对解进行讨论．
(多选)(2019·玉门一中高一第一学期期中)如图7所示，是一种测定风作用力的仪器的原理图，它能自动随着风的转向而转向，使风总从图示方向吹向小球P.P是质量为m的金属球，固定在一细长刚性金属丝下端，能绕悬挂点O在竖直平面内转动，无风时金属丝自然下垂，有风时金属丝将偏离竖直方向一定角度θ，角θ大小与风力大小有关，下列关于风力F、刚性金属丝拉力F T与角度θ的关系式正确的是(重力加速度为g)()
图7
A．F＝mg sin θB．F＝mg tan θ
C．F T＝mg cos θD．F T＝mg
cos θ
物体在三个力或多个力作用下的平衡问题的解法1．力的合成法——一般用于受力个数为三个时
(1)确定要合成的两个力；
(2)根据平行四边形定则作出这两个力的合力；
(3)根据平衡条件确定两个力的合力与第三力的关系(等大反向)；
(4)根据三角函数或勾股定理解三角形．
2．正交分解法——一般用于受力个数为三个或三个以上时
(1)建立直角坐标系；
(2)正交分解各力；
(3)沿坐标轴方向根据平衡条件列式求解．
针对训练1 如图8所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O 为球心．一质量为m 的小滑块，在水平力F 的作用下静止于P 点．设滑块所受支持力为F N ，OP 与水平方向的夹角为θ，重力加速度为g ，下列关系正确的是( )
图8
A ．F ＝mg
tan θ
B ．F ＝mg tan θ
C ．F N ＝mg
tan θ
D ．F N ＝mg tan θ
四、利用正交分解法分析多力平衡问题
1．将各个力分解到x 轴和y 轴上，根据共点力平衡的条件列式(F x ＝0，F y ＝0)求解． 2．x 、y 轴的选择原则：使尽可能多的力落在x 、y 轴上，需要分解的力尽可能少，被分解的力尽可能是已知力．
3．此方法多用于三个或三个以上共点力作用下的物体平衡，三个以上共点力平衡一般要采用正交分解法．
(2019·华中师大一附中期中)一质量m ＝6 kg 的物块，置于水平地面上，物块与地面间
的动摩擦因数为μ＝1
3，然后用两根绳A 、B 分别系在物块的两侧，如图9所示，A 绳水平，B
绳与水平地面成37°角，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g 取10 m/s 2.
图9
(1)逐渐增大B 绳的拉力，直到物块对地面的压力恰好为零，求此时A 绳和B 绳的拉力大小； (2)将A 绳剪断，为了使物块沿水平地面做匀速直线运动，在不改变B 绳方向的情况下，求B 绳的拉力大小．
针对训练2 如图10所示，物体的质量m ＝4.4 kg ，用与竖直方向成θ＝37°的斜向右上方的推力把该物体压在竖直墙壁上，并使它沿墙壁在竖直方向上做匀速直线运动．物体与墙壁间的动摩擦因数μ＝0.5，取重力加速度g ＝10 N/kg ，求推力F 的大小．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
图10
1.(平衡条件的理解和应用)(多选)如图11所示，用两根细线把A、B两小球悬挂在天花板上的同一点O，并用第三根细线连接A、B两小球，然后用某个拉力F作用在小球A上，使三根细线均处于伸直状态，且OB细线恰好沿竖直方向，两小球均处于静止状态，则该拉力可能为图中的()
图11
A．F1B．F2C．F3D．F4
2．(三力平衡问题)用三根轻绳将质量为m的物块悬挂在空中，如图12所示．已知ac和bc 与竖直方向的夹角分别为30°和60°，重力加速度为g，则ac绳和bc绳中的拉力分别为()
图12
A.
3
2mg，
1
2mg B.
1
2mg，
3
2mg
C.
3
4mg，
1
2mg D.
1
2mg，
3
4mg
3.(三力平衡问题)如图13所示，在水平天花板上用绳AC、BC和CD吊起一个物体，使其处于静止状态，结点为C，绳子的长度分别为AC＝4 dm，BC＝3 dm，悬点A、B间距为5 dm，则AC绳、BC绳、CD绳上的拉力大小之比为()
图13
A．20∶15∶12
B．4∶3∶5
C．3∶4∶5
D．因CD绳长未知，故无法确定
4．(多力平衡问题)出门旅行时，在车站、机场等地有时会看见一些旅客推着行李箱，也有一
些旅客拉着行李箱在地面上行走．为了了解两种方式哪种省力，我们作以下假设：行李箱的质量为m＝10 kg，拉力F1、推力F2与水平方向的夹角均为θ＝37°(如图14所示)，行李箱与地面间为滑动摩擦力，动摩擦因数为μ＝0.2，行李箱都做匀速直线运动．试通过计算说明拉箱子省力还是推箱子省力．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2)
图14。