辽宁省五校协作体2014-2015学年高二上学期期中考试数学文试题一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 命题“任意x R ∈,都有012>++x x ”的否定为( )A ．对任意x R ∈,都有012≤++x xB ．不存在x R ∈,都有012≤++x xC ．存在x R ∈,使得012>++x xD ．存在x R ∈,使得012≤++x x2. 某高级中学有高一、二、三三个年级的学生共1600名，其中高三学生400名，如果通过分层抽样的方法从全体高中学生中抽取一个容量为80人的样本，则应从高三年级学生中抽取的人数是( )A ．40B ．30C ．20D ．10 3. 原命题：“设a 、b 、c R ∈，若22ac bc >则a b >”和它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题共有 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ． 0个 4. 执行下边的程序框图,若0.8p =,则输出的n =( )A ．5B ．2C ．3D ．45. 若动点),(y x M 到点)0,4(F 的距离等于它到直线04=+x 距离，则M 点的轨迹方程是 ( )A ．04=+xB ．04=-xC ．28y x =D ．216y x =6.函数3()1f x x ax =-+在区间),2[+∞内是增函数,则实数a 的取值范围是( ) A. 12a ≤ B. 12a < C. 12a ≥ D. 12a >7. 与椭圆 2216x y +=共焦点,且渐近线为2y x =±的双曲线方程是 ( )A ．2214y x -= B ．2214x y -= C ．2214x y -= D ．2214y x -= 8. 已知a R ∈,则“22a a >”是“2a >”的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.已知21,F F 是椭圆191622=+y x 的两焦点，过点2F 的直线交椭圆于点,A B ， 若5AB =，则12||||AF BF -=( )A.3B.8C.13D.1610.过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于),(),,(2211y x B y x A 两点，如果21x x +=6，那么AB ＝( )A. 10B. 9C. 8D. 611. 已知点F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点,点E 是该双曲线的右顶点,过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于B A ,两点,若ABE ∆是锐角三角形,则该双曲线的离心率e 的取值范围是 ( )A ．),1(+∞B ．)2,1(C ．)21,1(+D ．)21,2(+12. 已知动点()P x y ，在椭圆22:12516x y C +=上,F 为椭圆C 的右焦点,若点M 满足||1MF =u u u r 且0MP MF ⋅=u u u r u u u r,则||PM u u u u r 的最小值为( )A ．3B ．3C ．512 D ． 1二．填空题：本大题共4小题，每小题5分13. 设抛物线的顶点在原点,准线方程为2x =,则抛物线方程为__________.14. 设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≥+-03005x y x y x ,则目标函数x y z -=2的最小值为________.15. 已知命题:p “0],2,1[2≥-∈∀a x x ”,命题:q “022,2=-++∈∃a ax x R x 使”,若命题“q p ∧”是真命题,则实数a 的取值范围是__________________ .16. 与圆()221:31C x y ++=，圆()222:39C x y -+=同时外切的动圆圆心的 轨迹方程是__________________________.三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）设命题p 实数x 满足0)3)((<--a x a x ,其中0a >, 命题:q 实数x 满足023≤--x x . (1)若1,a =且q p ∨为假,求实数x 的取值范围; (2)若p 是q 的必要不充分条件,求实数a 的取值范围.18.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对边分别为a 、b 、c ，ABC ∆的外接圆半径且满足bca B C -=2cos cos .(1)求角B 的大小；(2)求ABC ∆的面积的最大值.19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和n n S n 22-=.(1)求数列{}n a 的通项公式n a ； (2)令3nn na b =，求数列{}n b 的前n 项和n T .20.（本小题满分12分）已知函数)(ln )(R a x a x x f ∈-=(1)当2=a 时，求曲线)(x f y =在点))1(,1(f A 处的切线方程； (2)讨论函数)(x f 的单调性与极值．21.（本小题满分12分）椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的离心率为12,其右焦点到点)1,3(-P的距离为17.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ,B 两点(A B ，不是左右顶点),且以AB 为直径的圆过椭圆C 的左顶点.求证直线l 过定点,并求出该定点的坐标.22.（本小题满分12分）设()ln af x x x x=+，32()3g x x x =--． (1)当]2,0[∈x 时，求)(x g 的最大值和最小值；(2)如果对任意的1,[,2]2s t ∈，都有()()f s g t ≥成立，求实数a 的取值范围．2014——2015学年度上学期省五校协作体高二期中考试数学（文科）参考答案一、选择题二、填空题13、x y 82-= 14、—9 15、}12|{=-≤a a a 或 16、()22108y x x -=< 三、解答题17、解：（1）由0)3)((<--a x a x ，0>a 得a x a 3<<当1=a 时，31<<x ，即p 为真时，实数x 的取值范围是31<<x …… 1分 由023≤--x x ，得32≤<x ，即q 为真时，实数x 的取值范围是32≤<x ……3分若q p ∨为假，则p 假，q 假，所以⎩⎨⎧>≤≥≤3231x x x x 或或，…………… 4分所以实数x 的取值范围是：31>≤x x 或.…………… 5分 （2）Θp 是q 的必要不充分条件，q p p q /,⇒⇒∴设集合}3|{},32|{a x a x B x x A <<=≤<=，则B A ≠⊂…………… 6分⎪⎩⎪⎨⎧>≤>∴3320a a a ，…………… 8分解得，21≤<a因此，实数a 的取值范围是21≤<a .…………… 10分18、解：（1）[方法一]：由正弦定理得：BCA B C sin sin sin 2cos cos -=B AC B C B cos sin 2sin cos cos sin =+∴B AC B cos sin 2)sin(=+∴B A A cos sin 2sin =∴ 21cos 0sin =∴≠B A Θ…………… 4分 30ππ=∴<<B B Θ……………6分[方法二]：由余弦定理得：b ca b c a ac ab c b a -=-+⋅-+222222222ac b c a =-+∴222212222=-+∴ac b c a 21cos =∴B ………… 4分 30ππ=∴<<B B Θ ………… 6分（2）[方法一]：B ac ac B ac c a b cos 22cos 2222-≥-+=Θ………… 8分921229cos 222=⨯-=-≤∴Bb ac ………… 10分.43923921sin 21=⨯⨯≤=∴∆B ac S ABC ………… 12分 [方法二]：C B A R B ac S ABC sin sin sin )2(21sin 212⋅⋅⋅⋅==∆433)62sin(233)32sin(sin 33+-=-=ππA A A ……… 8分ππππ67626320<-<-∴<<A A Θ1)62sin(21≤-<-∴πA ……… 10分.439,31)62sin(max ===-∴∆ABC S A A 时即当ππ……… 12分 19、解：（1）当1=n 时，12111-=-==S a ………… 2分当2≥n 时，32)]1(2)1[(2221-=-----=-=-n n n n n S S a n n n (4)分又31211-⨯=-=a 也符合上式，………… 5分 因此，32-=n a n ………… 6分（2）nn n b 332-=n n n n n T 31)32(31)52(313311311132⨯-+⨯-++⨯+⨯+⨯-=-Λ……………. ③143231)32(31)52(31331131131+⨯-+⨯-++⨯+⨯+⨯-=n n n n n T Λ……… ④③-④得13231)32()313131(23132+⨯--++++-=n n n n T Λ…………………… 9分整理得 n n nT 3-=…………………… 12分20、解：（1）2a =时，()2ln f x x x =-，2()1f x x'=-， ∴(1)1k f '==-， (2)分又(1)1f =，故切线方程为：11(1)y x -=--即2y x =-+.…… 4分 （2）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，xax x a x f -=-='1)( …… 6分 ① 当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，无极值；…… 9分 ② 当0a >时，()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增，()ln f f a a a a ==-极小， 无极大值. …… 12分21、解 (1)由题12c e a ==;①右焦点)0,(c 到点)1,3(-P 的距离为171)3(22=++c . ② 由①②可解得222431a b c ===，，. ………2分∴所求椭圆C 的方程为22+143x y = ………4分 (2)设1122(,),(,)A x y B x y ,由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得 222(34)84(3)0k x mkx m +++-=,22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->,22340k m +->.212122284(3),.3434mk m x x x x k k-+=-⋅=++ ………6分 22221212121223(4)()()().34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -⋅=+⋅+=+++=+Q 以AB 为直径的圆过椭圆的左顶点)0,2(-D ，因此0=⋅即0)2)(2(2121=+++y y x x ，展开得04)(2212121=++++y y x x x x043)4(34431643)3(4222222=+-+++-+-k k m k mk k m0416722=+-k mk m ………9分解得 k m 2=或72k m =，且满足22340k m +->………10分 当k m 2=时，)2(:+=x k y l ，直线过定点)0,2(-，与已知矛盾；………11分当72k m =时，)72(:+=x k y l ，直线过定点)0,72(-. 综上可知,直线l 过定点,定点坐标为)0,72(-.………12分22、解：(1) 对于函数32()3g x x x =--， ]2,0[∈x22'()323()3g x x x x x =-=-，令0)(='x g ，得0=x 或32=x ………2分 当x 变化时，)(),(x g x g '变化情况如下表：由上表可知： min max 285()(),()(2)1327g x g g x g ==-==，………6分 （2）由（1）知，在区间1[,2]2上，()g x 的最大值为(2)1g =.因此，原问题等价于当1[,2]2x ∈时，()ln 1af x x x x=+≥恒成立 等价于2ln a x x x ≥-恒成立，记2()ln h x x x x =-，'()12ln h x x x x =--， '(1)0h =………8分记()12ln m x x x x =--，'()32ln m x x =--，由于1[,2]2x ∈，'()32ln 0m x x =--<, 所以()'()12ln m x h x x x x ==--在1[,2]2上递减，当1[,1)2x ∈时，'()0h x >，(1,2]x ∈时，'()0h x <，即函数2()ln h x x x x =-在区间1[,1)2上递增，在区间(1,2]上递减，所以max ()(1)1h x h ==，………10分 所以1a ≥. L L L L 12分。