指导 等于取固定值I 的恒定电流在R 上消耗的功
率时，称这个值I 为i(t) 的有效值.
主 页 后退 目录 退 出
定积分在物理中的应用
有效值计算公式的推导
本节
知识 引入
固定值为I 的恒定电流在R 上消耗的功率为I 2 R ,
本节
目的 与要
电流i(t)在R上消耗的功率为i 2 (t)R ,
求
本节
本节
知识 引入
a x0 x1 x2 xn1 xn b,
本节 目的 与要
每个小区间的长度 x b a ;
求
n
本节 重点
（2）求和：设各分点处的函数值为 y0 , y1, y2 , , yn
与难
点
函数 f ( x)在区间[a,b]上的平均值近似为
本节
复习
指导
0
3
定积分在物理中的应用
习题
本节
1.弹簧原长0.30厘米，每压缩0.01m需力2N，
知识
引入
本节 求把弹簧从0.25m压缩到0.20m所作的功。
目的
与要 求
2.一个质点按规律x=t3作直线运动，介质的
本节 重点
阻力与速度成正比，求质点从x=0移到x=1时克服
与难
点
本节 介质阻力所作的功。
复习
指导
3.有一圆柱形贮水桶，高2m，底圆半径0.8m
n
n

y lim n
y0
y1 y2 ba
yn1 b a n
x

1
n
lim
b a x0 i1
yi1x
1
n
lim
b a x0 i1
f ( xi1 )x,
1 b
y
f ( x)dx
ba a
几何平均值公式
区间长度
(b a) y (b a) f ( )
知识
引入 上所受的压力．
本节
目的 与要
解 在端面建立坐标系如图
求
本节 重点
取x为积分变量，x [0, R]
与难
点
取任一小区间[ x, x dx]
本节
复习
指导
小矩形片上各处的压强近
似相等p gx,
o
x
x dx
主 页
小矩形片的面积为 2 R2 x2dx.
后退 目录 退
x
出
定积分在物理中的应用
定积分在物理中的应用
例 4 计算纯电阻电路中正弦交流电i Im sint 在
本节 知识
一个周期上的功率的平均值（简称平均功率）.
引入
本节 目的
解
设电阻为 R ， 则电路中的电压为
与要
求 本节
u iR Im Rsint,
重点
与难 点
功率 p ui Im2Rsin2 t,
本节
1. 由物理学知道，如果物体在作直线运动的
本节 目的
过程中有一个不变的力F 作用在这物体上，且
与要 求
这力的方向与物体的运动方向一致，那么，物
本节 重点
体位移为s 时，力F 对物体所作的功为F F ( x)
与难 点
W F s.
本节 复习
2. 微元法
指导 二、变力沿直线所作的功
如果物体在运动的过程中所受的力F F( x)
目的 与要
求 的电荷有作用力．由物理学知道，如果一个单位
本节
重点 与难
正电荷放在这个电场中距离原点为 r 的地方，
点
本节 复习 指导
那么电场对它的作用力的大小为
F

k
q r2
（k
是常数），当这个单位正电荷在电场中从 r a
主 页 后退 目录
处沿 r 轴移动到 r b 处时，计算电场力 F
退
出 对它所作的功．
本节 的水的压力。
复习
2m
指导
6.一个横放着的半径为R的圆形由桶，桶内盛有
半桶油，设油的密度为ρ，计算桶的一个端面上所
主 页
受的压力。
后退 目录
退
出
定积分在物理中的应用
7.一块高为a，底为b的等腰三角形薄板，垂
定积分在物理中的应用
II. 液体的静压力
本节 一、预备知识
知识
引入
由物理学知道，距液体表面深度为h 处的
本节 目的
液体压强为 p gh，这里 是液体密度，g 是
与要 求
重力加速度。如果有一面积为A 的平板水平地
本节 重点
放置在液体深为h 处，那么，平板一侧所受的
与难 点
液体压力为P p A．
定积分在物理中的应用
二、平均值和均方差
本节
知识
引入
1.平均值
本节
目的
与要
求
本节 问题：求气温在一昼夜间的平均温度.
重点
与难
点 入手点：连续函数 f ( x) 在区间[a,b]上的平均值.
本节
复习
指导 讨论思想：分割、求和、取极限.
主 页 后退 目录 退 出
定积分在物理中的应用
（1）分割：把区间[a,b]分成n 等分
与要
求
即
本节
F kx
重点 与难
已知 F 1N , x 0.01
点
本节 复习
代入上式得 k 100
o
指导
从而变力为 F 100x 比例系数
所求的功
x
主 页 后退 目录 退 出
W
0.1
100 xdx

0.5J
0
F kx
x
定积分在物理中的应用
例 2 一圆柱形蓄水池
本节 知识

Im2R
2
2
sin2td (t )
0

Im2R
4
2
0
(1
cos 2t)d(t)

Im2R
4

t

sin 2
2
t

2
0

Im2R 2 4

Im2R 2
ImUm . 2
(Um Im R)
结论：纯电阻电路中正弦交流电的平均功率
等于电流、电压的峰值的乘积的二分之一．
定积分在物理中的应用
二、均方根
本节
知识 引入
通常交流电器上标明的功率就是平均
本节 功率．交流电器上标明的电流值都是一种
目的
与要 求
特定的平均值，习惯上称为有效值．
本节
周期性非恒定电流i （如正弦交流电）
重点
与难 点
的有效值规定如下：当i(t) 在它的一个周
本节 复习
期T 内在负载电阻R 上消耗的平均功率，
复习 指导
一个周期区间 [0, 2 ],

主 页 后退 目录 退 出
平均功率
p 1 2
2
2

0
Im
R sin2 tdt

定积分在物理中的应用
本节 知识 引入
本节 目的 与要 求
本节 重点 与难 点
本节 复习 指导
主 页 后退 目录 退 出
p 1 2
2
0
2
Im Rsin2 tdt
本节 复习 指导
主 页 后退 目录 退 出
地浸人水中，斜边朝下，直角边的边长与水面 平行，且该边到水面的距离恰等于该边的边 长，求薄板所受的侧压力．
解 建立坐标系如图 面积微元 2(a x)dx,
2a
o 2a
a
dP ( x 2a) 2(a x) 1 gdx
x
P a 2( x 2a)(a x)gdx 7 g a3.
主 页 后退 目录
是变化的，就不能直接使用此公式，而采用
退
出 “微元法”思想.
定积分在物理中的应用
如图：以 x 为积分变量，积分区间为[a,b].
本节 知识
在区间 [a,b] 内任取一小区间[x, x dx],
引入
本节 功的微元数
目的
与要
求
dW F( x)dx
本节
重点
与难 点
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
所以
x x dx
kq
1 a

1 b
.
本节 复习
如果要考虑将单位电荷移到无穷远处
指导
主 页 后退 目录 退 出
w


a
krq2 dr

kq
1 r a

kq a
.
定积分在物理中的应用
2. 将直角边各为a 及2a 的直角三角形薄板垂直
本节 知识 引入
本节 目的 与要 求
本节 重点 与难 点
桶内装1m深的水，问要将桶内水全部吸出要作多
主
页
后退 目录
退 出
少功？
定积分在物理中的应用
4.有一上口直径20m，深为15m的圆锥形水池，
本节 其中盛满了水，若将水全部抽尽，需作多少功？
知识
引入
本节
5.有一闸门，它的形状
1m
目的
与要 求
和尺寸如图所示。水面
本节
3m
重点 与难
门顶1m，求闸门上所受
点
本节 知识 引入
本节 目的 与要 求
本节 重点 与难 点
本节 复习 指导
主 页 后退 目录 退 出
这一薄层水的重力为 9.8 32 dx
功元素为 dw 88.2 x dx,