(或x1)
y 3 O1 x
yx2
所以有铅直渐近线 x3及 x1
又因
k
limf
x
(x) x
xl im x2
x2 2x3
1
blim [f(x)x]
x
xl im x22x22x3x3
2
yx2为曲线的斜渐近线 .
2020/7/2
二、函数图形的描绘
步骤 :
1. 确定函数 yf(x)的定义域 , 并考察其对称性及周
2020/7/2
3) 判别曲线形态
x ( ,1) 1 (1,1) 1
y
0
无
y
定
y
2
义
(1,3) 3 0
0
(3,)
(极大)
(极小)
4) 求渐近线
lim y,x1为铅直渐近线
x 1
y (x 3)2 , 4(x 1)
y(x4(x3)(1x)21),
y
(x
2 1)3
2020/7/2
又因
2) yx22x, y2x2,
y
令y0, 得x0, 2
令y0, 得x 1
1 O 1 2 3 x
3) x (,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2 (2,)
y 0 0
y 0
y
2
4 3
2 3
x 1 3 (极大)
4)y232(拐点)(极小)
2020/7/2
例4. 描绘方程(x3 )24y4xy0的图形.
x1
2
解: lim ( 1 2)2
x
xx1
O1
y2为水平渐近线;
lim ( 1 2),x1为铅直渐近线. x 1x1
2020/7/2
2. 斜渐近线 ( P76 题14)
若 li[m f(x ) (kxb)] 0 ,则曲 yf线 (x)有
x (或x )
斜渐近线 ykxb.
li[m f(x ) (kxb)] 0
2π
解: 1) 定义域为 ( ,),图形对称于 y 轴.
2) 求关键点
y
1 2π
x
e
x2 2
,
y
1
e
x2 2
(1 x2)
2π
令y0得x0; 令y0得x1
3) 判别曲线形态
x 0 (0, 1) 1 (1,)
y 0
y
0
y
1 2π
1 2πe
(极大)
(拐点)
2020/7/2
x 0 (0, 1) 1 (1,)
y2 b2
1
有渐近线
x y0 ab
L PN
O y
x
但抛物线 y x2 无渐近线 .
Ox
2020/7/2
1. 水平与铅直渐近线
若 limf(x)b,则曲线 yf(x)有水平渐近线 yb.
x
(或x )
若 limf(x),则曲线
xx0
yf(x)有铅直渐近线
xx0.
(或xx0)
y
例1. 求曲线 y 1 2 的渐近线 .
6）绘图
x ( ,1) 1 (1,1) 1 (1,3) 3 (3,)
y
2
(极大)
无 定 义
0
(极小)
铅直渐近线 x1
斜渐近线
y1x5 44
特殊点
x0 y 9
2 1
44
y
y (x 3)2 4(x 1)
2 1
O1 2 3 5 x
y14x54
x1
2020/7/2
例5. 描绘函数 y 1
e
x2 2
的图形.
期性 ;
2. 求 f(x),f(x),并求出 f (x)及 f (x) 为 0 和不存在
的点 ; 3. 列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点 ; 4. 求渐近线 ; 5. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 .
2020/7/2
例3. 描绘 y1 3x3x22的图形. 解: 1) 定义域为( ,),无对称性及周期性.
lim y 1 , 即 k 1
x x 4
4
blim(y1x)lim[(x3)21x]
x 4 x4(x1) 4
lim5x9 5 x4(x1) 4
y1x5为斜渐近线 44
5) 求特殊点 x 0 2
y 9
1
44
y (x 3)2 4(x 1)
y(x4(x3)(1x)21)
y
(
x
2 1)3
2020/7/2
第六节 函数图形的描绘
一、 曲线的渐近线 二、 函数图形的描绘
2020/7/2
一、 曲线的渐近线
定义 . 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点
时, 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 则称直线 L 为
曲线C 的渐近线 .
y yf(x)
或为“纵坐标差” C M
ykxb
例如, 双曲线
x2 a2
2020/7/2
叶形线
( D)
(B) 仅有水平渐近线；
(C) 仅有铅直渐近线；
(D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线.
提示: xl im11eexx22 1;
xl im011eexx22
2020/7/2
2. 曲线 y1ex2的凹区间是
(1, 1 )
22
,
凸区间是 (, 12) 及 ( 12,) ,
拐点为
(
1
1
,1e2 )
2
,
渐近线
y 1
.
提示:
y
y2ex2(12x2)
1
(1,1e21)
2
O
(
1
1
,1e2 )
2
x
2020/7/2
作业
P76 14 (2); P169 2 ; 5
2020/7/2
第七节
备用题 求笛卡儿叶形线 x3y33axy的渐近线 .
解: 令 y = t x , 代入原方程得曲线的参数方程 :
x3 a 1
x
klim [f(x)b]
x x x
lim x[f(x)kb]0
x x
x
klimf(x) x x
(或x )
lim [f(x)kb]0
x x
x
blim [f(x)kx]
x (或x )
2020/7/2
例2.
求曲线
y
x2
x3 2x
3
的渐近线.
解: y x3 , limy, (x3)(x1) x3
解: 1) y (x 3)2 , 定义域为(,1 ),(1 , ) 4(x 1)
2) 求关键点. 原方程两边对 x 求导得
2(x3)4y4y4xy0 ①
yx32y 2(x1)
(x3)(x1) 4(x1)2
①两边对 x 求导得 24y8y4xy0
y14y 2(x1)
2 ( x 1)3
令y0得x1,3;
t t3
,
3 a t2 y1 t 3 ,
当 x 时 t 1 ,因
t1
lim y x x
lim 3 a t 2 t 1 1 t 3
3at 1 t3
1
lim y(x) lim3 a
x
t1 1
t2 t3
3at 1 t3
tl im 1(13ta)t(1(1tt)t2)
a
所以笛卡儿叶形线有斜渐近线 y x a笛叶卡形儿线
y 0
y
0
y
1 2π
1 2πe
(极大)
(拐点)
4) 求渐近线 limy0
x
y0为水平渐近线
5) 作图
y
1 2π
A
y
1
x2
e2
2π
B
y0 O 1
x
2020/7/2
内容小结
1. 曲线渐近线的求法
水平渐近线 ; 垂直渐近线;
斜渐近线
2. 函数图形的描绘
按作图步骤进行
2020/7/2
思考与练习
1. 曲线 y11eexx22 (A) 没有渐近线；