第五节 函数图形的描绘
分布图示
★ 引言 ★ 渐近线 ★ 函数图形描绘的步骤 ★ 例1
★ 例2 ★ 例3 ★ 例4
★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-5
内容要点
一、渐近线的概念 水平渐近线 铅直渐近线 斜渐近线；
二、函数图形的描绘：对于一个函数，若能作出其图形，就能从直观上了解该函数的性态特征，并可从其图形清楚地看出因变量与自变量之间的相互依赖关系. 在中学阶段，我们利用描点法来作函数的图形. 这种方法常会遗漏曲线的一些关键点，如极值点、拐点等. 使得曲线的单调性、凹凸性等一些函数的重要性态难以准确显示出来. 本节我们要利用导数描绘函数)(x f y =的图形，其一般步骤如下:
第一步 确定函数)(x f 的定义域, 研究函数特性如: 奇偶性、周期性、有界性等, 求出函数的一阶导数)(x f '和二阶导数)(x f '';
第二步 求出一阶导数)(x f '和二阶导数)(x f ''在函数定义域内的全部零点，并求出函数)(x f 的间断点和导数)(x f '和)(x f ''不存在的点, 用这些点把函数定义域划分成若干个部分区间;
第三步 确定在这些部分区间内)(x f '和)(x f ''的符号, 并由此确定函数的增减性和凹凸性，极值点和拐点;
第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其它变化趋势;
第五步 算出)(x f '和)(x f ''的零点以及不存在的点所对应的函数值，并在坐标平面上定出图形上相应的点；有时还需适当补充一些辅助作图点(如与坐标轴的交点和曲线的端点等)； 然后根据第三、四步中得到的结果，用平滑曲线联接而画出函数的图形.
例题选讲
求曲线渐近线
例1 作函数1)(23+--=x x x x f 的图形. 解 定义域为),,(+∞-∞无奇偶性及周期性. ),1)(13()(-+='x x x f ).13(2)(-=''x x f
令,0)(='x f 得,3/1-=x .1=x 令,0)(=''x f 得.3/1=x 列表综合如下:
补充点: ),0,1(A ),1,0(B .85,23⎪⎭
⎫
⎝⎛C 综合作出图形.
例2(E01) 按照以下步骤作出函数()1043
4
+-=x x x f 的图形.
(1) 求()x f '和()x f '';
(2) 分别求()x f '和()x f ''的零点;
(3) 确定函数的增减性、凹凸性、极值点和拐点; (4) 作出函数()1043
4
+-=x x x f 的图形.
解 (1) ()2
3
124x x x f -='，()x x x f 24122
-=''.
(2) 由()01242
3
=-='x x x f ，得到0=x 和3=x .
由()024122
=-=''x x x f ，得到0=x 和2=x .
(4) 算出0=x ，2=x ，3=x 处的函数值
()100=f ，()62-=f ，()173-=f .
根据以上结论，用平滑曲线连接这些点， 就可以描绘函数的图形.
函数作图
例3 (E02) 作函数2)
1(4)(2
-+=x x x f 的图形.
解 ,0:≠x D 非奇非偶函数，且无对称性.
51015---51015
-11
2
3
4O x
y
,)2(4)(3x x x f +-
='.)
3(8)(4
x
x x f +='' 令,0)(='x f 得;2-=x 令,0)(=''x f 得.3-=x
)(lim x f x ∞→
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-+=∞→2)1(4lim 2x x x ,2-= 得水平渐近线;2-=y )(lim 0x f x →⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-+=→2)1(
4lim 20x x x ,+∞= 得铅直渐近线.0=x 列表综合如下:
补充点: ),0,31(-);0,31(+ ),2,1(--A ),6,1(B ).1,2(C
作出图形
例4 (E03) 作函数 2
221)(x e
x -
=
π
ϕ的图形.
解 函数定义域),,(+∞-∞且.4.021)(0≈≤<πϕx
偶函数,图形关于y 轴对称.
,2)(2
2x e x x --
='π
ϕ.2)
1)(1()(2
2x e x x x --+=
''π
ϕ
令,0)(='x ϕ得驻点,0=x 令,0)(=''x ϕ得特殊点,1-=x .1=x
)(lim x x ϕ∞
→ 2
221lim
x x e
-
∞
→=π
,0=得水平渐近线.0=y
综合作出图形
课堂练习
1.两坐标轴0,0==y x 是否都是函数x
x
x f sin )(=的渐近线? 2.若函数)(x f 有,1)
(lim
,0)(lim ==-∞
→+∞
→x
x f x f x x ,)(lim ,0)
(lim ,2])([lim 2
∞===-→+∞→-∞→x f x x f x x f x x x 并且当)1,0(∈x 时, 0)(<'x f , 否则
),2(0)(≠>'x x f 当)2,2/1(∈x 时, 0)(>''x f , 否则),0(0)(≠<''x x f 则
(1) 函数)(x f 的单调区间(注明增减)是._______ (2) 函数曲线的凹向和拐点是._______
(3) 当_______=x 时, 函数取得极大值._______ (4) 函数的渐近线有._______。