2019真题汇编--平面解析几何
1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与
C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为
A ．2
212
x y +=
B ．22
132x y += C ．22
143
x y +=
D ．22
154
x y += 2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若抛物线y 2
=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y p
p
+
=的一个焦
点，则p =
A ．2
B ．3
C ．4
D ．8
3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设F 为双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点，O 为
坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222
x y a +=交于P ，Q 两点．若PQ OF =，则C
的离心率为
A B ．2
D
4．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】双曲线C ：22
42
x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐
近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为
A ．
4 B ．2
C ．
D ．5．【2019年高考北京卷理数】已知椭圆22
22 1x y a b
+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则
A ．a 2
=2b 2
B ．3a 2
=4b 2
C ．a =2b
D ．3a =4b
6．【2019年高考北京卷理数】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：
221||x y x y +=+就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：
①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线C ； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中，所有正确结论的序号是
A ．①
B ．②
C ．①②
D ．①②③
7．【2019年高考天津卷理数】已知抛物线2
4y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线
22
22
1(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为
A 2
B 3
C ．2
D 58．【2019年高考浙江卷】渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是 A ．
2
2
B ．1
C 2
D ．2
9．【2019年高考浙江卷】已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r .若直线230
x y -+=与圆C 相切于点(2,1)A --，则m =___________，r =___________．
10．【2019年高考浙江卷】已知椭圆22
195
x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是___________．
11．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设12F F ，为椭圆C :22
+13620
x y =的两个焦点，M 为C 上一
点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.
12．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点
分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB
=u u u r u u u r
，120F B F B ⋅=u u u r u u u u r
，则C 的离心率为____________．
13．【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2
2
21(0)y x b b
-=>经过点
（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 .
14．【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4
(0)y x x x
=+
>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是 .
15．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知抛物线C ：y 2
=3x 的焦点为F ，斜率为
3
2
的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ． （1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程；
（2）若3AP PB =u u u r u u u r
，求|AB |．
16．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知点A (−2，0)，B (2，0)，动点M (x ，y )满足直线AM
与BM 的斜率之积为−1
2
.记M 的轨迹为曲线C .
（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结
QE 并延长交C 于点G .
（i ）证明：PQG △是直角三角形； （ii ）求PQG △面积的最大值.
17．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线C ：y =2
2
x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作
C 的两条切线，切点分别为A ，B .
（1）证明：直线AB 过定点：
（2）若以E (0，
5
2
)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.
18．【2019年高考北京卷理数】已知抛物线C ：x 2
=−2py 经过点（2，−1）．
（1）求抛物线C 的方程及其准线方程；
（2）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．
19．【2019年高考天津卷理数】设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点为F ，上顶点为B ．已
知椭圆的短轴长为4 （1）求椭圆的方程；
（2）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点
N在y轴的负半轴上．若||||
ON OF
=（O为原点），且OP MN
⊥，求直线PB的斜率．
20．【2019年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C
:
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>的焦点为F1（–1、0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2:222
(1)4
x y a
-+=交于点A，与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．
已知DF1=
5
2
．
（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标．
21．【2019年高考浙江卷】如图，已知点(10)
F，为抛物线22(0)
y px p
=>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线上，使得ABC
△的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧．记,
AFG CQG
△△的面积分别为
12
,S S．（1）求p的值及抛物线的准线方程；
（2）求1
2
S
S
的最小值及此时点G的坐标．。