A() G( j)
输出与输入的相位差 () G( j) 8
R
下面以R-C电路为例，说明频率特性的 物理意义。图5-3所示电路的传递函数为 ui
C uo
Uo (s) G(s) 1
Ui (s)
1 RCs
图5-3 R-C电路
设输入电压 ui (t) Asin(t) 由复阻抗的概念求得
U o ( j) G( j) 1 1
2j
A()e j ()
A() G( j)
() G( j)
幅频特性 相频特性
(5-11)
c(t) ae jt ae jt A( )e j ( )e jt A A( )e j ( )e jt A
2j
2j
A()Asin(t ())
说明 线性系统的稳态输出是和输入具有相同频率的正弦信号，
其输出与输入的幅值比为
0
Imaginary Axis
的轨迹与虚轴交点 处的频率，就是无 阻尼自然频率n
极坐标图上，距原 点最远的频率点，
相应于谐振频率 r
这时 G( j) 的峰值
-3
-4
-5
n
-6
-3
-2
-1
0
1
2
3
Real Axis
可以用谐振频率 r
处的向量幅值，与 0 处向量幅值之比来确定。
19
过阻尼情况
当 增加到远大于1时，
第五章 频域分析法
1
第5章 线性系统的频域分析法 Frequency-response analysis
应用频率特性研究线性系统的方法称为频域分析法。 频域分析法
频率特性及其表示法 典型环节的频率特性
稳定裕度和判据
频率特性指标
2
特点
（1）频率特性具有明确的物理意义，它可以用实验 的方法来确定，这对于难以列写微分方程式的元部件或 系统来说，具有重要的实际意义。
Im
e jT
Im
1 0
0
Re
当 1
T
时，
1
1 jT
0
Re
低频区
e jT 1 jT 低频时传递延迟与一阶环节的特性相似
1 1 jT 1 jT
当 1 时 两者存在本质的差别 25
T
5. 极坐标图的一般形状
G(
j)
(
K (1 j 1)( 2 j 1) ( m j j) (T1 j 1)(T2 j 1) (Tn
0
-2
-1
0
1
2
3
Real Axis
图： 积分环节极坐标图
14
Imaginary Axis
Nyquist Diagram
5
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
Real Axis
图： 微分环节极坐标图
15
2.惯性环节
G( j) 1 1 jT
1
arctgT
1 (T )2
（2）由于频率响应法主要通过开环频率特性的图形 对系统进行分析，因而具有形象直观和计算量少的特点。
（3）频率响应法不仅适用于线性定常系统，而且还 适用于传递函数不是有理数的纯滞后系统和部分非线性 系统的分析。
3
5.1 频率特性的基本概念
频率特性又称频率响应，它是系统（或元件）对不同频 率正弦输入信号的响应特性。
1)
j 1)
nm
Im
0 0型系统：极坐标图的起点
0
0
2型系统
0
1型系统
0型系统 0
0 是一个位于正实轴的有限值
Re
极坐标图曲线的终点位于坐 标原点，并且这一点上的曲线与一 个坐标轴相切。
1 1型系统：在总的相角中 90 的相角是 j 项产生的
0 极坐标是一条渐近于平行与虚轴的直线的线段
Nyquist Diagram 5
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-3
-2
-1
0
1
Real Axis
图：一阶微分环节
2
3
极坐标图
17
3.二阶环节
0
G( j0) 1 0
-1
G( j) 0 180
G( j)
-2
Imaginary Axis
的高频部分与负实轴
-3
相切。极坐标图的精
-4
确形状与阻尼比有关，
13
1.积分环节
(与微分环节)
0
G( j) 1 j 1 j
-0.5 -1
-1.5
1
90
-2
Imaginary Axis
-2.5
所以
G( j)
1
j
-3
-3.5
的极坐标图是
-4
负虚轴。
-4.5
-5
G( j) j
-3
90
G( j) j
的极坐标图是正虚轴。
Nyquist Diagram
极坐标图(Polar plot)，奈奎斯特曲线
G( j) 可用幅值 G( j) 和相角()
的向量表示。当输入信号的频率
由零变化到无穷大时，向量 G( j)
的幅值和相位也随之作相应的变化， 其端点在复平面上移动的轨迹称为极 坐标图。 在极坐标图上，正/负相角是从正实轴开 始，以逆时针/顺时针旋转来定义的
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
线性系统
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
输出的振幅和相位一般均不同于输入量， 且随着输入信号频率的变化而变化
4
6 4 2 幅值 0 -2
红 —输 入 ， 蓝 —全 响 应 ， 黑 —稳 态 响 应 yss(t)
但对于欠阻尼和过阻
-5
尼的情况，极坐标图
的形状大致相同。
-6 -3
G(
j)
1
2 (
j
1
)
(
j
)2
,
0
n
n
Nyquist Diagram
0
n
-2
-1
0
1
2
3
Real Axis
图:二阶环节极坐标图
18
对于欠阻尼
0
当 n 时
G( jn )
1
j2
相角 90
-1
-2
G( j)
Nyquist Diagram
u(t)
u(t) 2cos(5t 30)
Sinresponse2order.m
-4
-6
红 —输 入 ， 蓝 —全 响 应 ， 黑 —稳 态 响 应 2
y(t)
-8
1.5
0
1
2
3
4
5
6
t/s
1
yss(t)
u(t) 2cos(20t 30)
0.5 幅值
0
-0.5
Sinresponse2orderb.m -1
奈奎斯特曲线，简称奈氏图
28
解： 例题1：绘制
G(s)
5(s 2)(s s2 (s 1)
3)
的奈氏曲线。 (0)
()
G( j0 ) 180o
180o 180o 0o 90o
G( j) 0 90o 求交点：
0o 90o ________0_o______9_0_o
180o 90o
Im[G(jω)]
曲线如图所示：
-25
1
0
幅相曲线的绘制
Re[G(jω)
29
5.3 对数频率特性
对数坐标图 (Bode diagram or logarithmic plot)
对数频率 特性曲线
G( j0) 1 0
G( j 1 ) 1 45 T2
G( j) 0 90
Imaginary Axis
0 -0.5
-1 -1.5
-2 -2.5
-3 -1.5
Nyquist Diagram
0
1
T
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Real Axis
图:惯性环节 极坐标图
16
G( j) 1 j
Imaginary Axis
U i ( j)
1 RCj 1 Tj
(5-15)
G( j) G( j) e j()
G( j)
1
1 T 2 2
() arctgT 式中 T RC
9
G( j) 称为电路的频率特性。
它由该电路的结构和参数决定，与输入信号的幅值与相位无关。 G( j) 是 G( j) 的幅值
它表示在稳态时，电路的输出与输入的幅值之比。
-4
-5
0.1
-6
-3
-2
-1
0
1
2
3
Real AxisBiblioteka 21对于二阶微分环节
G( j) 1 2 ( j ) ( j )2
n
n
(1
2 n2
)
j( 2 ) n
极坐标图的低频 部分为：
G( j0) 1 0