反变换
0 积分下限从0 开始，称为0 拉氏变换 。 0 + 开始，称为0+ 拉氏变换 。 积分下限从 0 0
今后讨论的拉氏变换均为 0 拉氏变换,计及t=0时f(t) 包含的冲击。
F ( S ) 简写 f (t )
注
1


f (t ) 1 F ( S )
第九章 电路的复频域分析法
重点
1. 拉普拉斯变换的基本原理和性质; 2. 掌握用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤; 3. 电路的时域分析变换到频域分析的原理; 4. 网络函数的概念;
5.网络函数的极点和零点;
6.网络函数的极点和零点分布与时域响应和频域 响应的联系。
9.1 引 言
1. 拉氏变换法 拉氏变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函 数f(t)与复变函数F(s)联系起来，把时域问题通过数学变 换为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域 的代数方程以便求解。


e st dt (t )e dt 0
st
(2)单位冲激函数的象函数
f (t ) (t )
F ( s) [ (t )] 0 (t )e dt 0 ( t )e st dt
st



0
e s0 1
(3)指数函数的象函数
st 0

正变换
反变换
st

F ( S ) 0 f ( t )e dt 0 f ( t )e dt 0 f ( t )e st dt
在t＝0 至t＝0＋ f(t)=(t)时此项 0
2
象函数F(s) 用大写字母表示,如I(s)，U(s)。 原函数f(t) 用小写字母表示，如 i(t), u(t)。
求 : f (t ) sin( t )的象函数
F (s)
sin(t )

1 j t j t 2 j ( e e )
1 1 1 2 2 j S j S j S 2
② 微分性质
① 时域导数性质
[ f 2 ( t )] F2 ( S )
A1 F1 ( S ) A 2 F2 ( S )
st A f ( t ) A f ( t ) e dt 证： A1 f1 ( t ) A 2 f 2 ( t ) 0 1 1 2 2

0 A1 f1 ( t )e dt 0 A 2 f 2 ( t )e dt
总可以找到一个合适的s值使上式积分为有限值， 即f(t)的拉氏变换式F(s)总存在。
3.典型函数的拉氏变换
F (S)
f (t ) (t )
0
f ( t )e
st
dt
(1)单位阶跃函数的象函数
F ( s) [ (t )] 0
1 st 1 e s s 0
3
象函数F(s) 存在的条件：
0
f ( t )e
st
dt
e st 为收敛因子
如果存在有限常数M和c使函数f(t)满足：
f ( t ) Me ct t [0, )
则



0
f (t ) e dt Me
st 0

(s c ) t
dt
M sC
若： f (t ) F ( S )
则
udv
uv vdu
df ( t ) sF ( s ) f (0 ) dt
df ( t ) 证： dt


0

e f (t )
st

st df ( t ) st e dt 0 e df ( t ) dt

0

0 e f ( t )( s )dt
st

f (0 ) sF (s)
例1
求 : f (t ) cos( t )的象函数
dsin(ωt ) 1 dsin(ωt ) 解 ωcos(ωt ) cos(ωt ) dt ω dt 1 d [cosωt ] (sin( ωt ) ω dt s s 0 2 2 2 s s 2
f (t ) e
F( s )
at


e
at
0
e e dt
at
st
1 ( s a )t e sa 0
1 sa
4.拉普拉斯变换的基本性质
①线性性质
若
则
A
[ f1 ( t )] F1 ( S ) ,
1
f1 ( t ) A 2 f 2 ( t ) A1 f1 ( t ) A2 f 2 ( t )
简写 F (s)
s为复频率
f ( t )
s j
应用拉氏变换进行电路分析称为电路的复频域分析 法，又称运算法。
2. 拉氏变换的定义
t < 0 , f(t)=0
正变换
F (s) f (t )e st dt 0 1 c jห้องสมุดไป่ตู้st F (s)e ds f (t ) 2j c j
例2 解
求 : f (t ) δ( t )的象函数
1 dε( t ) [ε( t )] δ( t ) s dt 1 d δ(t ) [ ε(t )] S 1 S dt
例
熟悉的变换 把乘法运算变换为加法运算
①对数变换
A
B AB
lg A lg B lg AB
②相量法
把时域的正弦运算变换为复数运算
正弦量 i1 i2 i 相量
拉氏变换： 时域函数f(t)(原函数)
I I I 1 2
对应
复频域函数F(s)(象函数)
st st


A1 F1 ( S ) A 2 F2 ( S )
根据拉氏变换的线性性质，求函数与常数相乘及几个 函数相加减的象函数时，可以先求各函数的象函数再进行 计算。
例1 解 例2 解
求 : f (t ) U ( t )的象函数
U F (s) [U ( t )] U ( t ) S