3 3 2,
dx ( x 1) 3 dx
2 3
lim 1
0
2 3
3
2 3
0
( x 1)
3(1 3 2 ).
思考题
积分 0
1
ln x dx 的瑕点是哪几点？ x 1
思考题解答
积分 0
1
ln x dx 可能的瑕点是 x 0, x 1
x 1
dx 2 2 a x
x a . lim arcsin lim arcsin 0 0 a 0 0 a 2
a
例2 计算广义积分 解

2
1
dx . x ln x
1
2
dx 2 dx lim 1 x ln x 0 x ln x
a
b
a [f1 ( x ) f 2 ( x )]dx a f1 ( x )dx a f 2 ( x )dx
b
b
b
c (a , b) 为 性质 2 设函数 f 的瑕点为 x a ，
任一常数，则 f ( x )dx 与 a f ( x)dx 同收敛同发
b a
2
lim 1
0
d (ln x ) 2 lim ln(ln x )1 0 ln x
limln(ln 2) ln(ln(1 ))
0
.
故原广义积分发散.
1 例 3 证明广义积分 0 q dx 当 q 1时收敛，当 x q 1时发散.
定义中C为瑕点，以上积分称为瑕积分.
设函数 f ( x ) 在区间 (a, b) 上连续，而在点 a , b 的邻域内无界.a<c<b,如果两个广义积分
a f ( x )dx 和 c f ( x )dx 都收敛，则称广义积分 f ( x)dx 收敛，并定义
b a
c
b
a f ( x )dx a f ( x )dx c
b
b
c
b
f ( x )dx
否则，就称广义积分a f ( x )dx 发散.
例1 计算广义积分 0 解
a
dx a2 x2
(a 0).
lim
x a 0
1 , 2 2 a x
x a 为被积函数的无穷间断点.
0
a
a dx lim 0 2 2 0 a x
第2节 无界函数的广义积分
一、无界函数广义积分的概念
定义 2
b
设函数 f ( x ) 在区间(a , b] 上连续，而在
点 a 的 右 邻 域 内 无 界 ． 取 0 ， 如 果 极 限
0
lim a f ( x )dx 存在，则称此极限为函数 f ( x )
b
在区间(a , b]上的广义积分，记作a f ( x )dx .
ln x 1 lim 1, lim x 1 x x 1 x 1 0
1
x 1 不是瑕点,
ln x dx 的瑕点是 x 0. x 1
柯西收敛准质
定理( 柯西准则) 瑕积分 f ( x )dx （瑕点
a b
为 a）收敛的充要条件是：任给 0 ，存在
0 ，只要 u1 , u2 ( a , a ) ，总有
1
11 1 1 证 (1) q 1, 0 q dx 0 dx ln x 0 , x x , q 1 1 q 1 1 1 x ( 2) q 1, q dx 1 0 x ,q1 1 q 0 1 q 1 因此当q 1 时广义积分收敛，其值为 ； 1 q 当q 1 时广义积分发散. 1
u1 f ( x )dx u2 f ( x )dx u1
b
b
u2
f ( x )dx
二、瑕积分的性质
, 性质 1 设函数 f 1 与 f 2 的瑕点同为 x a ，
为任意常数，若 f1 ( x )dx 与 f 2 ( x )dx 都收敛，
a a b b
则 [f1 ( x ) f 2 ( x )]dx 也收敛，且
a f ( x )dx lim 0 a
b
b
f ( x )dx
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散.
类似地，设函数 f ( x ) 在区间[a , b ) 上连续， 而在点b 的左邻域内无界 . 取 0 ，如果极限
0
lim a
b
a f ( x )dx 和c
b
c
b
f ( x )dx 都收敛，则定义
c b
a f ( x )dx a f ( x )dx c
lim a
0
c
f ( x )dx
b
f ( x )dx lim c f ( x )dx
0
b
否则，就称广义积分a f ( x )dx 发散.
例4 计算广义积分 0
3
dx ( x 1)
3 1
2 3
. dx
x 1瑕点
2 3
解
0
1
3
dx ( x 1) dx
2 3 2 3
( )0源自1( x 1)0 ( x 1) 1
3
lim 0
0
1
dx ( x 1) dx ( x 1)
2 3
3
c
散，且有
a f ( x )dx a f ( x )dx c f ( x )dx
b
c
b
性质 3 设函数 f 瑕点为 x a ， 在任何有限 区间[u, b] 上可积，则当 | f ( x ) | dx 收敛，则
a b
a f ( x )dx 也收敛，且
| a f ( x )dx | a | f ( x ) | dx
f ( x )dx 存在，则称此极限为函数 f ( x )
b
b
在区间[a , b ) 上的广义积分， 记作a f ( x )dx lim a
0
f ( x )dx .
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散.
设函数 f ( x ) 在区间[a , b] 上除点c (a c b ) 外连 c 的邻域内无界.如果两个广义积分 续，而在点