书面作业
P240-242
1 单数题，
2，
5，
6
A
0
x
定义2. 设 f (x) C (a, b], 而在点 a 的右邻域内无数 f (x) 在 [a , b] 上的广义积分, 记作
这时称广义积分
收敛 ; 如果上述极限不存在,
就称广义积分
发散 .
类似地 , 若 f (x)C[a, b), 而在 b 的左邻域内无界,
)
注意: 若瑕点 c (a,b), 则
b
a
f
( x) dx

F (b)
F(c )
F(c ) F(a)
可相消吗?
三、 函数（定义与性质）
1. 定义
(s) xs1ex d x (s 0) 0
函数在 s 0 内收敛 .
是上述的两种广义积分的结合体.
2. 性质
b 1

lim 1 b

1 b


1
y

1 x2
A
1b
定义1. 设 f (x)C[a, ), 取b a, 若
存在 , 则称此极限为 f (x) 的无限区间上的广义积分, 记作
这时称广义积分
收敛 ; 如果上述极限不存在,
就称广义积分
发散 .
类似地 , 若 f (x) C (, b], 则定义
间断点, 则本质上是常义积分, 而不是广义积分.
例如,
则也有类似牛 – 莱公式的
的计算表达式 :
若 b 为瑕点, 则
b
a
f
(x)
dx

F
(b
)

F
(a)
若 a 为瑕点, 则
b
a
f
( x) dx

F (b)

F (a
)
若 a , b 都为瑕点, 则
b
a
f
( x) dx

F (b
)

F (a
则定义
而在点 c 的
邻域内无界 , 则定义
c
b
a f (x) dx c f (x) dx
lim c1 f (x) dx lim b f (x) dx
10 a
2 0 c2
无界函数的积分又称作第二类广义积分, 无界点常称
为瑕点(奇点) .
说明: 若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类
第7节 广义积分
一、无限区间上的广义积分 二、无界函数的广义积分 三、 函数（定义与性质）
一、无限区间上的广义积分
引例. 曲线
和直线
及 x 轴所围成的开口曲
边梯形的面积 可记作
A
dx 1 x2
其含义可理解为
A
lim
b
b 1
dx x2

lim b

1 x
(1) 递推公式 (s 1) s (s) (s 0)
内容小结
积分区间无限 1. 广义积分 被积函数无界
2. 两个重要的广义积分
,
(
p
1 1)
a
p1
,
常义积分的极限
p 1 p 1
,
q 1
内容小结
3. 函数的定义及性质 . 4. 若在同一积分式中出现两类反常积分, 可通过分项 使每一项只含一种类型的反常积分, 只有各项都收敛时, 才可保证给定的积分收敛 .
F(b) F() F() F()
二、无界函数的广义积分
引例:曲线
与 x 轴, y 轴和直线
开口曲边梯形的面积 可记作
y
所围成的
其含义可理解为
A lim 0
1 dx

lim 2 x 0
x
1

lim 2(1 ) 2
0
y 1 x
若 f (x) C (, ), 则定义
c
b
lim f (x) dx lim f (x) dx
a a
b c
( c 为任意取定的常数 )
只要有一个极限不存在 , 就称
发散 .
无穷限的广义积分也称为第一类广义积分.
说明: 上述定义中若出现 , 并非不定型 ,
它表明该反常积分发散 .
引入记号
F () lim F (x) ; F () lim F (x)
x
x
则有类似牛 – 莱公式的计算表达式 :

a f (x) dx F(x) F() F(a)
b
f (x) dx F(x)

f (x) dx F(x)