数列通项公式的求法及数列求和方法详解
专题一：数列通项公式的求法
关键是找出各项与项数n 的关系.） 例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：
（1）9，99，999，9999，…（2） ,17
16
4,1093,542,211（3） ,5
2
,21,32
,
1（4） ,5
4
,43,3
2
,21-- 答案：（1）110-=n
n a （2）;122++=n n n a n （3）;12+=n a n （4）1
)1(1+⋅-=+n n
a n n .
公式法1：特殊数列
例2： 已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x ) = (x －1)2，且a 1 = f (d －1)，a 3 = f (d +1)，b 1 = f (q +1)，b 3 = f (q －1)，(1)求数列{ a n }和 { b n }的通项公式；
答案：a n =a 1+(n －1)d = 2(n －1)； b n =b ·q n －1=4·(－2)n －1
例3. 等差数列{}n a 是递减数列，且432a a a ⋅⋅=48，432a a a ++=12，则数列的通项公式是（ ）
(A) 122-=n a n (B) 42+=n a n (C) 122+-=n a n (D) 102+-=n a n (D)
例4. 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10<<q ，设数列{}n b 的通项为21+++=n n n a a b ，求数列{}n b 的通项公式.
简析：由题意，321++++=n n n a a b ，又{}n a 是等比数列，公比为q ∴
q a a a a b b n n n n n n =++=+++++2
13
21，故数列{}n b 是等比数列，易得)1()1(1+=⋅+=-q q q q q b n n n .点评：当数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求首项及公差公比.
公式法2： 知n s 利用公式 ⎩⎨⎧≥-==-2,1
,11n S S n s a n n
n .
例5：已知下列两数列}{n a 的前n 项和s n 的公式，求}{n a 的通项公式.（1）13-+=n n S n . （2）
12-=n s n
答案：（1）n a =3232
+-n n ，（2）⎩
⎨⎧≥-==)2(12)1(0
n n n a n 点评：先分n=1和2≥n 两种情况，然
后验证能否统一.
【型如)(1n f a a n n +=+的递推关系】
简析：已知a a =1,)(1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次、指数函数、分式函数，求通项n a .
①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ② 若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;③若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和各式相加得
例6、已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则2≥n 时
11232211
2
()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1
2[(1)(2)21](1)1
(1)2(1)1
2
(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-++
+⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++=
1=n 时，上式也成立.所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。

评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出
11232211()()()()n n n n n a a a a a a a a a a ---=-+-+
+-+-+，即得数列{}n a 的通项公式。

例7、已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：由1231n n n a a +=+⨯+得1231n n n a a +-=⨯+则2≥n 时
11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)3
2(3333)(1)3
3(13)2(1)3
13
331331
n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=⨯++⨯+++⨯++⨯++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+-
1=n 时，上式也成立.所以3 1.n n a n =+-
评注：本题解题的关键是把递推关系式1231n n n a a +=+⨯+转化为1231n n n a a +-=⨯+，进而求出
11232211()()()()n n n n n a a a a a a a a a a ---=-+-+
+-+-+，即得数列{}n a 的通项公式。

练习1：已知数列6，9，14，21，30，…求此数列的一个通项. .答案：
)
(52N n n a n ∈+=
练习2：若在数列{}n a 中，31=a ，n n n a a 21+=+，求通项n a .答案：n a =12+n 练习3：已知数列}{n a 满足31=a ，)2()
1(1
1≥-+
=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式. 答案：
a n 1
4-=
【 形如1+n a =f (n)·n a 型】
（1）当f(n)为常数，即：
q a a n
n =+1
（其中q 是不为0的常数），此时数列为等比数列，n a =11-⋅n q a .
（2）当f(n)为n 的函数时,用累乘法.
例7、已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：因为112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，所以0n a ≠，则
1
2(1)5n n n
a n a +=+，故。