海南中学2016-2017学年第一学期期中考试高二理科数学试题卷考试时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的.）1. 已知命题2:,2np n N n ∃∈>，则p ⌝为（ ） A.2,2nn N n ∀∈>B.2,2nn N n ∃∈≤ C ．2,2nn N n ∀∈≤D ．2,2nn N n ∃∈=2. 空间直角坐标系O xyz -中，点()3,2,1A -关于xOz 坐标平面对称的点的坐标是（ ） A.(3,2,1)--B.(3,2,1)C ．(3,2,1)--D ．(3,2,1)-3. 已知,,A B C 三点不共线，点O 为平面ABC 外的一点，则下列条件中，能得到P ∈平面ABC 的是（ ）A ．121333OP OA OB OC =-+ B ．2433OP OA OB OC =+- C ．OP OA OB OC =++ D ．OP OA OB OC =--4. 已知0a b >>，则方程22221a x b y +=与20ax by +=的曲线在同一坐标系中大致是（ ）5. 下列命题中为真命题的是（ ） A ．命题“若//a c 且//b c ,则//a b ” B ．命题“若2015x >，则0x >”的逆命题 C ．命题“若0xy =，则0x =或0y =”的否命题D ．命题“若21x ≥，则1x ≥”的逆否命题6. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的斜率是3，则此双曲线的离心率等于（ ）A ．223 B ．72C ．2D ．22 7. 已知{},,a b c 是空间的一个基底，{},,a b a b c +-是空间的另一个基底.若向量p 在基底{},,a b c 下的坐标为()3,5,7，则p 在基底{},,a b a b c +-下的坐标是( )A ．(4,2,7)-B ．(4,1,7)-C ．(3,1,7)-D ．(3,2,7)-8. 直线0x y m -+=与圆22210x y x +--=有两个不同交点的一个充分不必要条件是（ ）A ．01m <<B ．42m -<<C ．1m <D ．31m -<<9. 设直线l 经过椭圆2214x y +=的右焦点且倾斜角为45，若直线l 与椭圆相交于,A B 两点，则AB =（ ）A ．52 B.54 C ．56 D.58 10. 已知正四面体ABCD 的棱长为a ，点,,E F H 分别是,,BC AD AE 的中点，则AH AF ⋅的值为( )A ．212a B.214aC. 218aD.238a 11. 已知ABC ∆的三顶点分别为(1,4,1)A ，(1,2,3)B ，(2,3,1)C .则AB 边上的高等于（ ）A ．62B ．6C ．2D 2 12. 已知O 为坐标原点，F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点，A 、B 分别为椭圆C的左、右顶点，P 为椭圆C 上一点，且PF x ⊥轴.过顶点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．13B.14C ．23D.34第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）13. 已知向量()1,2,2a =--与向量()4,0,3b =分别是直线l 与直线m 的方向向量，则直线l 与直线m 所成角的余弦值为_______．14. 已知平面α的一个法向量为()1,1,0n =-，点(2,6,3)A 在平面α内，则点()1,6,2D -到平面α的距离等于_________．15. 已知过点()1,1P -且斜率为k 的直线l 与抛物线2y x =有且只有一个交点，则k 的值等于____________．16. 已知点O 和()2,0F -分别为双曲线()22210x y a a-=>的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP FP ⋅的取值范围是___________．三.解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分10分）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别在面对角线1,AC A C 上且12,2CM MA A N ND ==.记向量1,,AB a AD b AA c ===，用,,a b c 表示MN .18. （本小题满分12分）设条件:p 01322≤+-x x ；条件:q ()()10x a x a --+≤⎡⎤⎣⎦.若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求a 的取值范围．19. （本小题满分12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，E 、P 分别是BC 、11A D 的中点.M 、N 分别是AE 、1CD 的中点，1122AD AA AB ===. （1）求证://MN 平面11ADD A ；（2）求直线MN 与平面PAE 所成角的正弦值.20. （本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，//AD BC ,,222AD DC AD BC CD ⊥===，侧面APD 为等腰直角三角形，90APD ∠=，平面PAD ⊥平面ABCD ，E 为棱PC 上的一点．（1）求证：PA DE ⊥；（2）在棱PC 上是否存在一点E ，使得二面角E BD A --的余弦值为3-，若存在，请求出EC PC的值；若不存在，请说明理由．21. （本小题满分12分）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点()3,2M，且离心率为3，直线l 过点()3,0P ，且与椭圆C 交于不同的,A B 两点.（1）求椭圆C 的方程； （2）求PA PB ⋅的取值范围．22. （本小题满分12分）已知动圆过定点(2,0)P ，且在y 轴上截得弦长为4. （1）求动圆圆心的轨迹Q 的方程；（2）已知点(,0)E m 为一个定点，过E 点分别作斜率为1k 、2k 的两条直线1l 、2l ，直线1l 交轨迹Q 于A 、B 两点，直线2l 交轨迹Q 于C 、D 两点，线段AB 、CD 的中点分别是M 、N .若121k k +=，求证：直线MN 恒过定点，并求出该定点的坐标.海南中学2016-2017学年第一学期期中考试高二理科数学参考答案考试时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的.） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 CBBDCCBADCAA第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.） 13.2314.32215. 0或122-+或122-- 16. )323,⎡++∞⎣三.解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 23. （本小题满分10分）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别在面对角线1,AC A C 上且12,2CM MA A N ND ==.记向量1,,AB a AD b AA c ===，用,,a b c 表示MN .解析：∵11MN MA AA A N =++()()1111112AC AA A D3312AB AD AA A A AD331112AB AD AA AD3333111a b c333111MN a b c.333=-++=-++++=--++=-++∴=-++24. （本小题满分12分）设条件:p 01322≤+-x x ；条件:q ()()10x a x a --+≤⎡⎤⎣⎦.若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求a 的取值范围．解析1：设A={x|01322≤+-x x }，B={x|()()10x a x a --+≤⎡⎤⎣⎦}， 2分 化简得A={x|112x ≤≤}，B={x|1a x a ≤≤+}． 6分由于p ⌝是q ⌝的必要不充分条件， 故p 是q 的充分不必要条件，即AB ， 8分∴1211a a ⎧≤,⎪⎨⎪+≥.⎩ 10分 解得102a ≤≤，故所求实数a 的取值范围是1[0]2,． 12分解析2：2:2310p x x ⌝-+>，()():10q x a x a ⌝--+>⎡⎤⎣⎦ 2分记{}0132|2>+-=x x x A ，()(){}|10B x x a x a =--+>⎡⎤⎣⎦ 4分化简得⎭⎬⎫⎩⎨⎧><=121|x x x A 或，{}1|+><=a x a x x B 或 6分 由于p ⌝是q ⌝的必要不充分条件， 故q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，即BA ， 8分⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤∴1121aa10分解得12a≤≤．故所求实数a的取值范围是1[0]2,． 12分25.（本小题满分12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D-中，E、P分别是BC、11A D的中点.M、N分别是AE、1CD的中点，1122AD AA AB===.（1）求证://MN平面11ADD A；（2）求直线MN与平面PAE所成角的正弦值.解析：以D为原点，1,,DA DC DD的方向分别作为,,x y z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则故()()()()()111,0,0,1,2,0,0,2,0,1,0,1,0,0,1A B C A D.因为E、P分别是BC、11A D的中点，所以11,2,0,,0,122E P⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为M、N分别是AE、1CD的中点，所以31,1,0,0,1,42M N⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）31,0,42MN⎛⎫=-⎪⎝⎭.因为y轴⊥平面11ADD A，所以()0,1,0m=是平面11ADD A的一个法向量.由于310010042MN m⎛⎫⋅=-⨯+⨯+⨯=⎪⎝⎭，故MN m⊥.又MN ⊄平面11ADD A ，故//MN 平面11ADD A . （2）11,2,0,,0,122AE AP ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 设平面PAE 的一个法向量为(),,u x y z =，则1202102u AE x y u AP x z ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩，即42x y z ==. 取1y =，得()4,1,2u =. 设直线MN与平面PAE所成的角为θ，则8273sin cos ,27313214MN u MN u MN uθ⋅=<>===⋅⨯因此直线MN 与平面PAE 所成角的正弦值为8273.26. （本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，//AD BC ,,222AD DC AD BC CD ⊥===，侧面APD 为等腰直角三角形，90APD ∠=，平面PAD ⊥平面ABCD ，E 为棱PC 上的一点．（1）求证：PA DE ⊥；（2）在棱PC 上是否存在一点E ，使得二面角E BD A --的余弦值为3-，若存在，请求出EC PC的值；若不存在，请说明理由．解法1：（1）∵平面PAD ⊥底面ABCD ， 平面PAD底面ABCD AD =，CD AD ⊥∴CD ⊥平面PAD （面面垂直的性质定理） 2分 ∴PA CD ⊥（线面垂直的定义） 3分 又∵PA PD ⊥，CDPD D =，∴PA ⊥平面PCD （线面垂直的判定定理）∴PA DE ⊥（线面垂直的定义） 6分 （2）如图，取AD 的中点O ，连接PO ，CO ，设CO 与BD 交于点F . 等腰直角三角形PAD 中，PO AD ⊥， ∵平面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD底面ABCD AD =，∴CD ⊥平面ABCD （面面垂直的性质定理）. ∴PO CO ⊥，PO BD ⊥（线面垂直的定义）易知四边形BCDO 是正方形，CO BD ⊥，∴BD ⊥平面POC （线面垂直的判定定理）， ∴BD EF ⊥（线面垂直的定义），∴EFO ∠是二面角E BD A --的平面角， 8分 ∴3cos EFO ∠=-，∴3cos EFC ∠=，易知1PO =，2CO =，∴223PC PO CO =+=注意到直角△POC 中，3sin cos PO PCO EFC PC ∠===∠， ∴90EFC ECF ∠+∠=，即EF CE ⊥ 10分 ∴6cos EC CO ECF CF PC ∠===，∴3EC =，即13λ=. 12分 故棱PC 上存在一点E ，使得二面角E BD A --的余弦值为3-，并且13EC PC =.解法2：（1）取AD 的中点O ，连接PO ，OB ∵平面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD底面ABCD AD =，∴CD ⊥平面ABCD （面面垂直的性质定理）， 由题意易知四边形BCDO 是正方形，OA OB ⊥∴可如图建立空间直角坐标系 2分 (0,0,1)P ，(1,1,0)C -，(1,0,0)A ，(1,0,0)D =- (1,1,1)PC =--，(1,0,1)PA =-，(1,0,1)DP =∵E 为棱PC 上的一点，∴可设()01EC PC λλ=<<.∴(1)(1,1,1)PE PC λλλλ=-=---∴(,1,)DE DP PE λλλ=+=-， 4分 ∴0DE PA λλ⋅=-=，即PA DE ⊥. 6分 （2）易知平面BDA 的一个法向量为(0,0,1)n =， 7分 设平面BDE 的法向量为000(,,)m x y z =，由（1）(,1,)DE λλλ=-，(1,1,0)DB =∴m DE m DB ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩⇒00m DE m DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩⇒00000(1)00x y z x y λλλ+-+=⎧⎨+=⎩， 令01x =，则01y =-，012(0)z λλλ-=≠， 即面BDE 的一个法向量12(1,1,)m λλ-=- 9分∴222123|cos ,|||||1211(1)()n m n m n m λλλλ-⋅<>===-⨯+-+， 10分 整理得23410λλ-+=，解得13λ=或1λ=.∵(0,1)λ∈，∴13λ=. 12分故棱PC 上存在一点E ，使得二面角E BD A --的余弦值为3-，并且13EC PC =.27. （本小题满分12分）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点3,2M，且离心率为33，直线l 过点()3,0P ，且与椭圆C 交于不同的,A B 两点.（1）求椭圆C 的方程； （2）求PA PB ⋅的取值范围．解析：（1）由题意得：2222222232113a b c a b e a a ⎧+=⎪⎪⎨-⎪===⎪⎩，解得2264a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩. ∴椭圆C 的方程为22164x y +=（2）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝3与椭圆C 无交点.故直线l 的斜率存在，设其方程为：y ＝k(x －3). 由22(3)164y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得(3k 2＋2)x 2－18k 2x ＋27k 2－12＝0， 因为直线l 与椭圆C 交于不同的,A B 两点，所以△＝(18k 2)2－4(3k 2＋2)(27k 2－12)＞0，即2403k ≤<. 设A(x 1, y 1), B(x 2, y 2)，则x 1＋x 2＝221832k k +，x 1x 2＝22271232k k -+, ∵PA ＝(x 1－3, y 1), PB ＝(x 2－3, y 2)，∴PA ·PB ＝(x 1―3)(x 2―3)＋y 1y 2＝(x 1―3)(x 2―3)＋k 2(x 1―3)(x 2―3) ＝(k 2＋1)[x 1x 2－3(x 1＋x 2)＋9] ＝(k 2＋1)( 22271232k k -+－225432k k +＋9) ＝226632k k ++ ＝2＋2232k + ∵2403k ≤<， ∴16＜2132k +≤12， ∴73＜2＋2432k +≤3， ∴PA ·PB 的取值范围是7(,3]328. （本小题满分12分）已知动圆过定点(2,0)P ，且在y 轴上截得弦长为4.（1）求动圆圆心的轨迹Q 的方程；（2）已知点(,0)E m 为一个定点，过E 点分别作斜率为1k 、2k 的两条直线1l 、2l ，直线1l 交轨迹Q 于A 、B 两点，直线2l 交轨迹Q 于C 、D 两点，线段AB 、CD 的中点分别是M 、N .若121k k +=，求证：直线MN 恒过定点，并求出该定点的坐标.解析：（1）设动圆圆心为O 1（x ，y ），动圆与y 轴交于R ，S 两点.由题意，得|O 1P|＝|O 1S|.当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥RS 交RS 于H ，则H 是RS 的中点.∴|O 1S|＝222x +.又|O 1P|y 2＝4x （x≠0）． 又当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标为（0,0）也满足方程y 2＝4x. ∴动圆圆心的轨迹Q 的方程为y 2＝4x ． （2）由12()4y k x m y x=-⎧⎨=⎩，得211440k y y k m --=.设()()1122,,,A x y B x y因为AB∴直线MN ：，即12()2y k k x m =-+ ∴直线MN 恒过定点(,2)m ．。