A
C
D
例9
一元二次方程中的难点
• 真正的难点还是在思想方法上：等价转 化（配方法）；化归思想：二次化一次 （因式分解、开方等运算）；对方程的 根、系数之间关系进行研究的思想—— 如何提出研究的问题；分类讨论思想。 • 具体操作上：由平方根概念所附带产生 的难点。
4．教学支持条件分析
• 为了有效实现教学目标，根据问题诊断 分析和学习行为分析，分析应当采取哪 些教学支持条件，以帮助学生更有效地 进行数学思维，使他们更好地发现数学 规律。当前，可以适当地侧重于信息技 术的使用，以构建有利于学生建立概念 的“多元联系表示”的教学情境。
教学目标的三层级模型
第一层级 • 主成分：以记忆为主要标志, 培养的是以记忆为主的基本能力。 • 测试：基本事实、方法的记忆水平。 • 标准：获得的知识量以及掌握的准确性。
第二层级
• 主成分：以理解为主要标志，培养的是 以理解为主的基本能力； • 测试：能否顺利地解决常规性、通用性 问题，包括能否满意地解决综合性问题； • 标准：运用知识的水平，如正确、敏捷、 灵活、深刻等。
例4
“三线八角”的教学目标
目标： • 识别同位角……（课标）。 目标解析： • 正确地分析图形的结构特征，从中找到 “两条直线”和“第三条直线”，确定角 的关系（同位角、内错角、同旁内角）。 • 以“结构特征”为依据，对角进行分类， 确定角的特定关系的思想方法。
例5
一元二次方程的解法
• 目标：掌握一元二次方程的解法。 • 解析：（1）能用具体的方法，如开方法 、因式分解法、配方法、公式法等解方 程；（2）能用等价转化（如x2=a、(x－ x1) (x－x2)=0等）、化归（通过代数运算 转化方程，化未知为已知）等探究一元 二次方程的解。
例6
一元二次方程根的判别式
• 目标：掌握一元二次方程根的判别式。 • 解析：——对“掌握”的内涵作具体界定。 （1）在用配方法推导求根公式的过程中，理解 判别式的结构和作用； （2）能用判别式判断数字系数的一元二次方程 根的情况； （3）能用判别式判断字母系数的一元二次方程 根的情况； （4）能应用判别式解决其他情境中的问题。
• 对自己设计的教学方案不能取得预期效果，不 能从设计层面给出令人信服的解释，往往只把 问题归咎于教学系统的复杂性； • 缺乏有效的发现、分析和解决教学问题的方法， 往往感到教学问题的存在而不知其所在，或者 发现了问题而找不到原因，甚至发现了问题及 其根源也找不出解决问题的有效方法； • 采取的教学方法、策略和模式都比较单一，机 械地套用一些已有的解决教学问题方案，缺乏 根据教学问题和教学条件创建解决教学问题的 新方法。
3．目标和目标解析
• 目标是教学目的的具体化，是教学活动每一阶 段所要实现的教学结果，是衡量教学质量的标 准。 • 目标：用了解„„及行为动词经历„„表述目 标；阐明经过教学，学生将有哪些变化，会做 哪些以前不会做的事。 • 目标解析：解析了解、理解、掌握、经历、体 验、探究等的含义。特别注意对概念所反映的 数学思想方法的解析。
• 从代数式（符号代表数）、方程（符号 代表未知数）到函数（符号代表变数） 是一个飞跃，这是看问题角度的根本变 化——从变化过程中考察规律，函数是 研究变化规律的。 • 一次函数y=kx+b的变化规律由谁反映— —不仅明确x，y的意义，而且明确k，b 的意义——变化规律由k，b决定。 • 其他函数也类似。
例1 “平方根”中的不当问题
• 2 是近似值，无法在数轴上表示准确。 • 带根号的数和分数统称实数。 • 数轴上任意两点之间都有无数个点。 • 若a＞|b|，则a2＞b2。 • 2的整数部分和小数部分分别是m，n， 求m－n。
三、教师层面的问题分析
• 对数学课程、教材的体系结构、内容及其组织 方式把握不准，特别是对中学数学核心概念和 思想方法的体系结构缺乏必要的了解； • 对中学数学概念的核心把握不准确，对概念所 反映的思想方法的理解水平不高； • 只能抽象笼统地描述数学教学目标，导致教学 措施无的放矢，对是否已经达成教学目标心中 无数；
四、努力的方向——专业化
数学学科的专业素养 • 有较好的数学功底（教好数学的前提是 自己先学好数学），对数学内容所反映 的思想、精神有深入的体会和理解；懂 得哪些数学知识对学生的发展具有根本 的重要性；具有揭示数学知识所蕴含的 科学方法和理性思维过程的能力和“技 术”；等。
教育学科的专业素养： • 一个人的可持续发展，不仅要有扎实的 双基，而且要有积极的生活态度、主动 发展的需求、终身学习的愿望、热情、 能力和坚持性、健康向上的人生观和价 值观。教师在这些方面对学生的影响力， 就是教师的教育学科专业素养的最重要 指标。
• 例题：
• 主要是通过图形变式，让学生在逐渐复 杂的图形中识别有关角。要帮助学生总 结操作要点：两个角由哪条直线截另两 条直线形成的——关键是确定“所在公 共直线”。 • 要注意使用反例。
例10
“三线八角”的教学过程
• 问题1 （1）请回顾一下角的概念。（2） 对顶角、邻补角是怎样形成的？我们是 怎样研究它们的性质的？ • 设计意图：强调从结构特征、讨论问题 的思想方法等角度，对已有知识进行复 习回顾，为新知识的学习提供借鉴。
• 先行组织者：两条直线相交形成四个角， 它们的关系（性质）已经清楚（特例是 垂直）。接下来可以研究一条直线与两 条直线分别相交，可以得到哪些角，它 们又有什么关系（性质）。 • 意图：提出问题的方法、研究思路的引 导。
“两个素养”的结合
• 善于抓住数学的核心概念和思想方法，懂得削 枝强干；对数学知识中蕴含的价值观资源特别 敏感，有挖掘这些资源并用与学生身心发展相 适应的方式表述的能力，使数学知识教学与价 值观影响有机整合；方法多样、有趣味、少而 精；能有效激发学生的学习兴趣，发挥学生学 习的主动性、积极性，使学生有效学习、主动 发展，使他们不仅学业成就得到提高，而且发 展均衡。
聚焦数学核心概念、思想方法 的课堂教学设计
人民教育出版社 章建跃 zhangjy@
一、我们面临的现实
• 课改迅猛推进 • 亟待解决的问题多多：新课程提倡的理 念难把握；新教材的改革设计难适应； 教学方式、学习方式的变革难跟上；课 程改革与考试评价制度的改革不配套； 等。
二、教学层面的问题
五、数学课堂教学——教什么
• 构建反映数学内在发展逻辑、符合学生数学认 知规律的中学数学核心概念、思想方法结构体 系，并使核心概念、思想方法在数学课堂中得 到落实，是提高数学课堂教学质量和效益的突 破口，同时也是数学课堂教学改革的抓手。因 为使学生真正领会和把握数学概念的核心，领 悟概念所反映的数学思想方法，学会数学地思 维，才能形成功能强大的数学认知结构，切实 发展数学能力，提高数学素养。
5．教学过程设计
• 强调教学过程的内在逻辑线索； • 给出学生思考和操作的具体描述；突出核心概 念的思维建构和技能操作过程，突出思想方法 的领悟过程分析； • 以“问题串”方式呈现为主，应当认真思考每 一问题的设计意图、师生活动预设，以及需要 概括的概念要点、思想方法，需要进行的技能 训练，需要培养的能力，等； • 根据内容特点设计教学过程，如基于问题解决 的设计，讲授式教学设计，自主探究式教学设 计，合作交流式教学设计，等。
六、基于概念的核心、思想方法 的教学设计框架
1．教学设计的基本线索 • 概念及其解析（概念的核心）； • 目标和目标解析； • 教学问题诊断（达成目标已有条件和需 要的新条件的分析）； • 教学过程设计； • 目标检测的设计。
2．概念和概念解析
• 概念：内涵和外延的准确表达； • 概念解析：重点是在揭示内涵的基础上 说明概念的核心之所在；对概念在中学 数学中的地位的分析，对内容所反映的 思想方法的明确。在此基础上确定教学 重点。
• 问题2：画出一条直线与两条直线分别相 交的图形。共得到几个角？你知道其中 哪些角的关系？ • 设计意图：培养学生画图的习惯；分析 出需要研究的新问题（思维的逻辑性）。 • 问题3：我们没有研究过的是哪些角的关 系？如何把这些角分类？ 1 2 3 4 • 设计意图：引导学生学 习根Байду номын сангаас一定标准分类的研 5 6 7 8 究方法。
例8 “三线八角”中的难点
• 学生初次接触平面几何关于位置关系、 大小度量的讨论，在思想方法上存在困 难外，对于认识几何问题的一般程序也 存在困难。复杂的图形会使学生感到无 从下手。 • 教学难点：对图形结构特点的理解并正 确地对角分类；在具体（变式）图形中 正确找出有关的角。
• ∠B和∠BCE可以看成是直线 ， 被 直线 所截得的 角；∠B和∠BCD可 以看成是直线 ， 被直线 所截得 的 角。 B E
• 课堂教学抓不住数学概念的核心，没有前后一 致、贯穿始终的数学思想主线，在学生没有基 本了解数学概念和思想方法时就进行大量解题 操练，导致教学缺乏必要的根基，教学活动不 得要领，在无关大局的细枝末节上耗费学生宝 贵时间，数学课堂中效益、质量“双低下”。 学生花大量时间学数学，做无数的练习，但数 学基础仍很脆弱。 • 我国数学教学质量滑坡的现象并没有随课改而 得到改观，而是越来越严重了。
例2 代数的核心概念、思想方法
• 有系统、有效力地运用数系的加、乘和 指数运算的运算律，去解决各种各样的 代数问题： • 各种式（整式、分式、根式等）的运算 ——用运算律进行“等价变换”； • 方程——未知数、已知数之间的特定代 数关系；解方程——由代数方程式确定 其中的“未知数”的值；
• 解方程的基本原理：运算律对任何数都 成立（通性），所以对“未知数”也成 立、可用。有系统地用运算律化简所给 的方程，从而确定其中的未知数——化 未知为已知。 • 一元一次方程是基础，其它都设法向它 转化。 • 许多问题是在引进字母表示数时才水到 渠成地提出来的——从处理单个的数到 处理一类问题。
• 问题5：图中，（1）与∠1、∠5具有相 同位置关系的角还有哪几对？（2）还有 哪几对角的位置关系是问题4中没有包括 的？ • 设计意图：从图中识别同位角，及时巩 固概念；引导学生观察图形，从分类角 度认识内错角、同旁内角概念。 • 可以安排让学生找出所有内错角、同旁 内角的活动。 • 教科书只叙述了事实，给了名字。数学 思想方法没有明确——要学生自己悟。