2
2
m1
x2
1 x
d dx
m
sin x
x
J 2m1 x 2
2
m 1
x2
1 x
d dx
m
cos x
x
1
d
m
1d
这里微分算子
x
dx
表示算子 x dx 连续作用 m 次的缩写.
5.4 贝塞尔函数的递推公式
例 求不定积分 xJ2 x.dx 解 由 xJ '1 x J1 x xJ2 x ，可得
5.2 贝塞尔方程的求解
取指标
c
n,
a0
1
2n n 1 得方程的另一特解
Jn
x
m0
1
m
1 2n2m m!
1 n m 1
xn2m
1m
( x)n2m
m0 m! n m 1 2
结论：当 n 不为整数时, J n x和 J n x 线性无关．
所以方程的通解可以表示为
y AJ n x BJ n x
xJ 'n x nJn x xJ n1x
xJ 'n x nJn x xJ n1x
5.4 贝塞尔函数的递推公式
两式相加减 分别消去 J n 'x 和 J n x , 可以得到
J n1x
J n1x
2n x
Jn
x
J n1x J n1x 2J 'n x
贝塞尔函数的递推公式
若知道 J n x J n1 x 的值, 就可以求出 J n1 x
R
r
的正交性
结论１n 阶贝塞尔函数序列
1, 2 …)在区间(0,R) 上带权
Pm
r
r J
正交,
n即 Rmn
r
(m
=
R 0
rJ
n
n
m
R
r
J
n
n
k
R
r dr
0, R2 2
mk
J2 n1
n
m
R2 2
J2 n1
n
m
.
mk
R 0
rJ
2 n
mn
R
r
dr
的正平方根称为函数
J
n
n
m
R
r
的模值.
(3) 设
n
m
(
m
1,2,
)为J n x的正零点,
则有
lim
m
n m1
mn
5.5 函数展成贝塞尔函数的级数
Jn R 0 的解为
R
n
m
m 1,2,
与这些特征值相应的特征函数为
Pm
r
Jn
n
m
R
r
m 1,2,
5.5 函数展成贝塞尔函数的级数
➢ 贝塞尔函数的正交性
讨论
Pm
r
J
n
mn
x3 x 22
L
1k
x2k 1 22k (k !)2
L
x2
x
1
22
L
1k
x2k 22k (k !)2
L
则
d dx
[ xJ 1
x]
xJ
0
x
5.4 贝塞尔函数的递推公式
一般的, 有
d dx
[xn
Jn
x]
x n J n1 x
d dx
[
x
n
J
n
x
]
x
n
J
n1
x
上面两式左边的导数求出来, 并经过化简,则得
和 t 的函数.
５.６ 应用举例
解:问题可归结为求下列定解问题:设u ur,t
u t
a
2
2u r 2
1 r
u r
1 r2
2u
2
,
0 r 1
由于u
和 无关,
u
0,可以化简为问题
u
t
a2
2u r 2
1 r
u r
,
在,分布情形如何．
Pr CJn r DYn r
5.5 函数展成贝塞尔函数的级数
➢ 贝塞尔函数的零点的结论：
(1) Jn(x)有无穷多个单重实零点, 这些零点在x 轴上关于原点对称分布, 因而Jn(x)有无穷多个正的 零点;
(2) Jn(x) 的零点和 Jn+1(x) 的零点是彼此相间分 布.
dr
d2P d2P d 2 dr2 r
方程转化为
r 2F"r r F'r r 2 n2 Fr 0
n阶贝塞尔方程的标准形式.
5.2 贝塞尔方程的求解
5.2 贝塞尔方程的求解
用 x 表示自变量, y=y( x ) 表示未知函数, 则n阶
贝塞尔方程为
x2
d2y dx2
x
dy dx
x2 n2
yx 0
其中n为任意实数或者复数, 我们仅讨论 n 0的情形.
假定方程有如下形式的级数解：
y x xc a0 a1x L ak xk L
ak x ck (a0 0) k 0
其中 c, ak 为常数。
5.2 贝塞尔方程的求解
逐项求(导c2,有n2 )a0 xc [(c 1)2 n2 ]a1xc1
第五章 贝塞尔函数
➢ 讨论瞬时状态圆盘上的热传导问题,导 出贝塞尔方程； ➢ 讨论贝塞尔(Bessel)方程的解以及解 的性质。
稳恒状态圆域上热传导问题—欧拉方程。
瞬时状态圆域上热传导问题—贝塞尔方程。
5.1 贝塞尔方程的引入
5.1 贝塞尔方程的引入
设有半径为 R 的薄圆盘，其侧面绝缘，边界上 温度始终保持为零，且初始温度已知，求圆盘的温 度分布规律。
Gamma函数的定义与性质
由广义积分定义
p x p 1e x d x 0 Gamma 函数有如下性质：
p 1 p p
1
1,
1 2
,
1
m
0,
(m
0,1, 2L
)
当m,n为整数时，有 (n m 1) (n m)!
5.3 n为整数时贝塞尔方程的通解
5.3 n为整数时贝塞尔方程的通解
进而得到任意正整数阶贝塞尔函数的值.
5.4 贝塞尔函数的递推公式
对于第二类贝塞尔函数, 也有相应的递推公式.
Yn1
x
Yn1
x
2n x Yn
x
Yn1 x Yn1 x 2Y 'n x
5.4 n 为整数时贝塞尔方程的通解
例
n 为半奇数. J n x可以用初等函数来表示:
J 2m1 x 1m
xJ2 x dx xJ '1 x dx J1 x dx x dJ1 x J1 x dx
xJ1 x 2 J1 x dx
xJ (J0 'xJ1x) 1
x
2
J0 '
x
dx
xJ1 x 2J0 x c
5.5 函数展成贝塞尔函数的级数
5.5 函数展成贝塞尔函数的级数
L
1k
x2k
22k k !2
L
J1 x
x 2
xd3 23d2x!
J
0x25
x5 2!
J3!1Lx
1k
22k
x2k 1
k ! k
1! L
5.4 贝塞尔函数的递推公式
又
d dx
[ xJ1 ( x)]
d dx
x2 2
x4 L 23 2!
1k
(2k 2)x2k2
22k1k !k 1!
1
m0
(1)m m !(n m)!
x 2
n2m
nm k 1
1 k
m k 1
1 k
其中C为欧拉常数 C = 0.577216
5.4 贝塞尔函数的递推公式
5.4 贝塞尔函数的递推公式
建微立分不J同0 阶的的第贝2塞k +尔2函项数之1间k递1 推公x式2k.2 22k2 (k
2)!2
因此a2
aa2m4
22412m2ann02n2a2210m
m2!nn4
1
m
1
a2m
1m
a0
22m m!n 1n
2L
n
m
.
5.2 贝塞尔方程的求解
这样，得到方程的一个特解
J n
x
1m
m0
1
1
2n2m m! n m 1
xn2m
1m
( x )n2m
m0 m! n m 1 2
称 J n x 为 n 阶第一类贝塞尔函数(n>=0).
可归结为求解如下定解问题
u t
a
2
2u x 2
2u y 2
,
u x, y t 0
u 0 x2 y2 R2
x2 y2 R2
5.1 贝塞尔方程的引入
令 ux, y,t V x, yT t，代入方程得
VT'
a
2
2V x 2
2V y 2
T
进而得
T' a 2T
Vxx Vyy V
0
齐次偏微分方程化为两个微分方程:
(1) 由 (n m 1) (n m)! 得
Jn
（２）取n=N
(x) m0
1
m
1 2n2m m!
1
xn2m
nm ! 1
, 在 Jn x 中,由于m<N时， N m 1
0
所以级数从m=N开始
JN (x)
mN
1
m
1 2N2m m!