三次数学危机与集合论的创立一、 前言每一门学科都有其自己的历史。

数学，常被认为是一门完善的自然学科也有着自己的发展历程。

同一切事物一样，数学在其发展的过程中，并非是一帆风顺的，而是经历了很多次问题的出现和解决才逐步发展起来的。

无论是概念还是体系，内容还是方法，理论还是应用，都是伴随着各种问题的斗争和解决而进步和发展的。

比如无理数，连续，无穷等概念的出现，没一个新问题的提出都刺激着数学的发展。

1、数学危机虽然总是不断的有新问题的出现，但是就数学的整个历史发展历程来说，曾遇到过三次数学危机。

第一次危机是由无理数的发现引发的；第二次危机是由于无穷小量引发的；第三次危机则是由罗素悖论产生的。

每一次危机的出现都猛烈冲击着原有的理论体系，都是对原有理论体系内在矛盾的揭示，通过对其中逻辑矛盾的发现，启发人们对原有理论的缺陷或局限性进行思考。

危机的出现刺激着人们更加深入的研究，而每一次危机的解决都是对科学的进一步的改正、完善、补充和促进，对数学的发展有重要的意义，也必将推动数学的快速发展。

正如人们常说，“危机是一种激化了的非解决不可的矛盾冲突，每一次危机都大大推动了数学的发展。

”2、集合论简介集合论作为整个现代数学的基础，是数学中有着极为重要的作用。

集合论是19世纪70年代由德国数学家康托尔G.Cantor 1845 - 1918创立的。

集合论到现在已经被应用到了各个科学领域，并成为了数学的基础，产生了很多数学分科。

3、集合论与数学危机的联系集合论的出现，使得第一第二次数学危机得到了很好的解决，成为了其理论基础。

而第三次数学危机的出现对作为根基的集合论提出了矛盾，从而形成了更大的危机。

二、 三次数学危机1、 第一次数学危机第一次数学危机是由希泊索斯（Hippasis ）对无理数的发现而引发的。

在公元前580～568年之间的古希腊，当时“万物皆数”是在学术界占统治地位的毕达哥拉斯学派的一个信条。

他们认为一切都可以归结到整数或整数比，也就是说世上只有有理数。

当时毕达哥拉斯学派还有一大贡献就是毕达哥拉斯定理，即勾股定理。

然而希泊索斯发现了不可公度性的两条线段——等腰直角三角形的腰长与斜边，致使毕达哥拉斯学派内部的理论体系中产生了矛盾。

假设等腰直角三角形腰长a b =，而其斜长c 为有理数。

反证法：可知，22222c a b a =+=。

不妨设a 和c 互素，则可以知道 c 为偶数，必有a 为奇数。

取2c p =，得到222a p =，a 为偶数。

得到矛盾。

对于第一次危机的研究，人们把几何建立在古典逻辑的基础上，不再把几何与数密切联系起来（数形分离），促进了几何学的发展。

对于这个危机要么勾股定理不对，要么就承认有理数的不完备，进而预示着无理数的存在。

2、 第二次数学危机（1）危机产生无理数的引入建立了完整的实数理论，第一次数学危机也促进了几何学的发展解析几何将数学演算与几何图形结合起来。

十七和十八世纪，微积分得到了发展和创立，并在生活中用于解决实际问题，得到了广泛的应用。

由于微积分的不严密性，引发了科学家对无穷小的怀疑，这个新的数学领域对传统的数学产生了巨大的冲击，第二次数学危机在这个时候产生。

当时对导数的定义为y x ∆∆或()dy f x dx'=，,dx dy 为无穷小量。

并解释无穷小量为绝对值很小的书，比任何正数都小，但是不为零。

莱布尼兹还把无穷小量称为“正在消失的量”。

但是由于没有严密的理论基础，而不能自圆其说。

如，牛顿在求n y x=的导数时，有()12(1)()2n n n n n n n x x x nx x x x x --++∆=+∆+∆++∆，则()112()(1)2n n n n n x x x n n nx x x x ---+∆-+=+++∆∆，将无穷小量舍去，得到其导数为1n y nx -'=。

贝克莱指出，其中前面除以x ∆认为其不是零，后面将含x ∆的项舍掉又认为其为零，自身前后矛盾。

因此贝克莱嘲笑其为“消去的量的鬼魂”。

同样，对于曲边梯形的面积，用到面积微元()dA f x dx =，求累积()ba A f x dx =⎰。

但是利用面积微元求累积得到的曲边梯形的面积是否得到了真正的面积？以及对无穷级数不讨论收敛性而使用，到底是否存在和？等等，这些问题都是这次危机所研究的。

无穷小量到底是否为零，并且无穷小的存在及其分析到底是否合理，导数、微分、积分、无穷小、无穷大、级数收敛等问题的出现，引发了第二次危机。

（2）危机的解决——集合论的诞生这次危机的产生，推动了集合论的诞生和发展。

柯西（Cauchy ）用εδ-语言对无穷小进行了定义，维尔斯特拉斯（Weierstrass ）对其又进行了加工，给出了极限的定义。

极限的研究为有限和无限的联系逐渐明确。

之后代德金，康托尔，海涅等人对实数理论的研究，完成了实数的完备性工作。

康托尔（Cantor ）又将主要工作放在了对无穷量的研究上，在考察实数理论的基础是，康托尔有创立了集合论。

实数理论与极限理论、集合论的几何，为微积分建立了稳固的基础。

第二次数学危机得到了解决。

3、 第三次数学危机（1） 危机的产生第二次危机的产生，促进了微积分理论的基础的完善，集合论得到了创立。

集合论被认为是其他概念的基础。

但在数学家们考虑理论体系是否完善的时候，英国数学家罗素（Russell ）对作为基础的集合论提出了疑问。

罗素提出了一个著名的悖论——“理发师难题”。

他提出，如果有个理发师，他“只给不给自己理发的人理发”，那么理发师是否为自己理发？这就是罗素悖论。

还有其他相类似的悖论，如谎言悖论，鳄鱼悖论，上帝万能论。

罗素悖论可以用集合来表示做：考察把集合分做两类，N 类：不以自身作为元素的集合；M类：以自身作为自身元素的集合。

可知两集合相互拍此，任何一集合必属于其中一个，那么N类属于哪一类？罗素悖论的提出成为了数学史上一次更大的危机，它直接冲击着数学的基础理论体系。

（2）危机的解决三、集合论的诞生集合论是德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的。

十七世纪数学中出现了一门新的分支：微积分。

在之后的一二百年中这一崭新学科获得了飞速发展并结出了丰硕成果，其推进速度之快使人来不及检查和巩固它的理论基础。

十九世纪初，许多迫切问题得到解决后，出现了一场重建数学基础的运动。

正是在这场运动中，康托尔开始探讨前人从未碰过的实数点集，这是集合论研究的开端。

到1874年康托尔开始一般地提出“集合”的概念。

他对集合所下的定义是：把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素。

人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日。

1 无穷集合的早期研究康托尔集合论的全部历史都是围绕无穷集合而展开的。

在数理哲学中，有两种无穷方式历来为数学家和哲学家所关注，一种是潜无穷，一种是实无穷。

希腊哲学家亚里士多德最先提出要将它们加以区别。

公元5世纪，普罗克拉斯410 - 485年在研究直径分圆问题时，注意到圆的一根直径分圆成两个半圆，由于直径有无穷多，所以必须有两倍无穷多的半圆。

为了解释这个在许多人看来是矛盾的问题，他指出：任何人只能说有很多很多数目的直径或者半圆，而不能说一个实实在在无穷多的直径或者半圆，也就是说，无穷只能是一种观念，而不是一个数，不能参与运算。

到中世纪，随着无穷集合的不断出现，部分能够同整体构成一一对应这个事实也就越来越明显地暴露出来。

伽利略1564 - 1642年注意到：正整数与它们的平方可以构成一一对应，这说明无穷大有不同的“数量级”。

十七世纪，无穷小量被引进数学，构成所谓“无穷小演算”，这就是微积分的最早名称。

由于无穷小量运算的引进，“无穷”概念进入数学，虽然给数学带来了前所未有的进步，但基础及其合法性仍然受到许多数学家的质疑。

“数学家之王”高斯1777 - 1855年说：“我必须最最强烈地反对把无穷作为一完成的东西来使用。

”法国大数学家柯西1789 - 1857年也不承认无穷集合的存在，他认为部分同整体构成一一对应是自相矛盾的。

2康托尔集合论的诞生面对“无穷”的长期挑战，数学家们为解决无穷问题而进行了不懈的努力。

1854年，黎曼在论文《关于用三角级数表示函数的可能性》中首次提出“唯一性问题”。

康托尔就是通过对“唯一性问题”的研究，认识到无穷集合的重要性，并开始从事无穷集合的一般理论研究。

1870年和1871年，康托尔两次在《数学杂志》上发表论文，证明了函数的三角级数表示的唯一性定理，而且证明了即使在有限个间断点处不收敛，定理仍然成立。

1872 年他在《数学年鉴》上发表论文，把海涅一致收敛的严酷条件推广到允许间断点是某种无穷集合的情形。

这是从唯一性问题的探索向点集论研究的开端，并为点集论奠定了理论基础。

1873年康托尔把导致集合论产生的问题明确提了出来：正整数的集合N与实数的集合R之间能否一一对应?并于同年成功地证明实数的“集体”不可数，也就是不能同正整数的“集体”一一对应。

1874 年，他又提出了“可数集”概念，并以一一对应为准则对无穷集合进行分类，证明了一些重要结果：（1）一切代数是可数的；（2）任何有限线段上的实数是不可数的；（3）超越数是不可数的；（4）一切无穷集并非都是可数的，无穷集同有穷集一样也有数量上的区别。

从1879年到1883年，康托尔写了6篇论文，讨论了集合论的一些数学成果，特别是涉及集合论在分析上的一些应用。

它在数学上的主要成果是引进超穷数。

该文从内容到叙述方式都与现代的朴素集合论基本一致，标志着点集论体系的建立。

康托尔最后一部重要的数学著作是《对超穷集合论基础的贡献》。

该书的发表标志集合论已从点集论过渡到抽象集合论。

但是，由于它还不是公理化的，而且它的某些逻辑前提和某些证明方法如不给予适当的限制便会导出悖论，所以康托尔集合论通常称为朴素集合论。

朴素集合论创立后，一些学者包括康托尔自己对集合论提出了怀疑，因为他们构造出了一系列集合论悖论。

二、集合论悖论集合论提出伊始，曾遭到许多数学家的激烈反对，康托尔本人一度成为这一激烈论争的牺牲品。

在猛烈的攻击下与过度的用脑思考中，他得了精神分裂症，几次陷于精神崩溃。

然而集合论前后经历。

到二十世纪初集二十余年，最终获得了世界公认合论已得到数学家们的赞同。

数学家们为一切数学成果都可建立在集合论基础上的前景而陶醉了。

他们乐观地认为从算术公理系统出发，借助集合论的概念，便可以建造起整个数学的大厦。

在1900 年第二次国际数学大会上，著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣布“数学已被算术化了。

今天，我们可以说绝对的严格已经达到了。

”然而这种自得的情绪并没能持续多久。