x = 0 ,v > 0 t32k
2
(或
2
)
如 t = 0 则 — 初始状态
一般取k= 0 描述 ±2k—重复性
7.
4. 常数A 、 的确定( 解析法)
t=0
x0 Acos
v0Asin
A
x
2 0
( v0
)2
arctan(
v0 )
x0
— 任意角(4个象限)
或
arccoxs0AFra bibliotek再结合v0(>0、=
11.
讨论:如振子P，t = 0 时处于下状态，求
(1)
x0
A 2
v0 0;
(2)
A
x0
2
v0 0
v0
由图知
1
3
2
3
A1
1
2
4
33
A P 2
4. 相位差 (同频率) A/2 o
v0
— 两振动“步调”
相位差
A2
A
x
A2
A1
o
2 1
x
(t2 ) (t1 )2 1(初相差)
规定 逆时针在前为超前
第九章 振动
概述
振动、波动 — 横跨物理学所有领域
一.广义振动 — 物理量在中心值附近作周期性变化
1. 机械振动
位置或位移
特征
运动学— 周期性 动力学— 恢复力
形态
轨迹 — 直线或曲线 形式 — 平动(质点) 或转动(刚体)
2. 非机械振动 电磁振荡、交流电……
以上具有相似物理规律和研究方法
1.
二.最基本的振动 —— 简谐运动
同上
t = 0 角位置 初相位 同上
y
vm t
π
an
A
M
2
o a vP x
t
10.
注 a. 规定
＋
b. 旋矢图
－
一般：
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ象限 正角，
状态
相位
Ⅳ象限 负角
一 一对应
二.旋转矢量法
1. 表示谐振动（三要素）
xAco st()
3
o A 3 x0v0Px
2. 描绘x－t 曲线
3. 确定初相位 (或相位) (几何法)
(2) 由起始位置运动到 x = -0.04m处所需要的最
短时间.
v
x/m
0.080.04 o 0.04 0.08 14.
m 0 . 0 k ,1 A g 0 . 0 m ,T 8 4 s ,t0,x0.04m 0,0v
求(1)
t1.0s,x,F
(2)
x
=
0.04
m
到-0.04
v
m最短时间
x/m
0、<0)判断
8.
9－2 旋转矢量
一.简谐运动与匀速圆周运动
如图所示
旋转矢量 A
t0(M0,P0)
t (M,P)
A M
t M 0
A
o x PP0 x
y
vm t
π
an
2
A
o a v x
t
9.
矢端M
运动性质
匀速率 圆周运动
投影点P 关系
简谐振动 合与分
角速度(逆) 角频率 数值相等
( t＋ ) t 时角位置 相位
3
2o
图(a) A1
x
对(a)图 x2超前x1 (2－1)≤
(b)图 x1 超前 x2 /2 或 x2滞后 x1 /2 A2 图(b)
12.
如 x(22kk1)
同相 “步调一致”
K0,1,2,
x 反相 “步调相反”
x
A1
o A2
o
x
A1
t
o A2
o
t
12 0
5. t 或
10,2
A
如振子由初始状态 ( x0=－A/2 回到平衡位置(第一次)
t 或( t + )
dt vm
周期性函数
ad2xA 2cots()
dt2
am
d. 推广 — 角谐振动( < 5° )( 9－3 )
4.
[例] 证明下列振动仍为简谐振动,并求固有量(k, )
（1）将弹簧振子竖直悬挂，已知平衡时弹簧 伸长量为l0
（2）如图所示，两弹簧串联，水平面光滑
k
k1
k2
m
l0 m
分析:
0.080.04 o 0.04 0.08
a. 先求运动方程(三要素) ,其中 为关键
解析法
b. 和t 求解
如 :
旋转矢量法
解析法 由 x00.0 40.0c8o s
π
3
旋矢法 v 由0 旋 矢A 图si n 0 判s 断 i n 0 π3 Aπ
x/m
知 π 3
o3
0.04 0.08
讨论:
动力学分析 — 判断振动性质，求固有量
(动和静)平衡位置，偏离量x ( )、力(矩)分析…
5.
二.简谐运动的运动学描述
1.振幅 A
最大位移 A xmax 表征能量
2.周期与频率
xAcost()A co (ts T [) ]A co ts (2 )
x
比较 T2
A
即 2π 2
T
o
Tt
T
A
2
单位时间,全振动次数的2倍
叠加
简谐运动
复杂振动
分解
理想模型
一维平动 — 弹簧振子 一维转动 — 复摆（含单摆）
2.
9－1 简谐运动 振幅 周期与频率 相位
一.简谐运动
弹簧振子(一维平动
k l0
F
mm
集中质量＋弹性系统)
A o xA x
以平衡位置为原点、建立图示坐标系
偏离x FFkx 动力学方程 等
k：劲度系数、一般为振动常数
、T、 — 固有量，取决振动系统动力学特征
弹簧振子固有周期 T 2π m k
6.
3. 相位 x
由前知 v f[ (t ) ]“ t ” — t 时状态(相)
a
xAcos t()
x = A ,v = 0 t2k k = 0,1,2,…
x = 0 ,v < 0
t2k
2
x =－A ,v = 0 t2k
价
ddt22xm k x2x 运动微分方程
判 别
：角频率
2 k — 系统属性
m
式
xAcos t() 运动方程
A、 ：积分常数 — 初始条件
3.
注 a. x — 平衡位置 量度
b. k、 — 固有性质 与初始条件无关
A、 — 初始条件 与固有性质无关
c.
xAcost ()
vdxAsi nt ()
3
1161t
第一次到达次 x 2 A 处相位
2
P
2 1 o
t2
1
1.414 x(cm)
2 2
A
4
讨论: 比较：解析法、旋矢法、相位法
16.
9－3 单摆和复摆
一.复摆 (物理摆) — 一维角谐振动模型
,
v0<0)
A
P
A/2
o
由旋矢图知 t5
Ax
32 6
6. 谐振动合成( 9－5)
由此 与 t 可互求 13.
三.谐振动的运动学分析
1. 已知运动方程→ 一系列物理量
2. 由已知条件→运动方程(确定三要素) →其它物理量
[例1] 一质量为0.01 kg的物体作简谐运动，其振 幅为0.08 m,周期为4 s,起始时刻物体在 x = 0.04 m 处,向ox 轴负方向运动（如图）.试求: (1) t=1.0 s时,物体所处的位置和所受的力；
15.
[例2] 一简谐运动的 x – t 曲线，如图所示，求：
(1) 初相 ；(2) 求运动方程,并用旋矢表示之；
(3) 第一次到达 x 2 A 处的速度和 x(cm)
2
加速度。
2
分析: a. 简便路径: 用旋矢法求
o
1
1
t (s )
和 ,并结合相位法求第三问
b. 旋矢图
2
A0
A1
由图知
2