八年级数学最短路径问题【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：①确定起点的最短路径问题-即已知起始结点，求最短路径的问题．②确定终点的最短路径问题-与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．③确定起点终点的最短路径问题-即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．④全局最短路径问题-求图中所有的最短路径．【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”．【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短” ，“三角形三边关系”，“轴对称” ，“平移”．【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．【十二个基本问题】【问题1】作法图形原理A Al连 AB，与 l 交点即为 P．Pl两点之间线段最短．B PA+PB 最小值为 AB．B在直线 l 上求一点P，使PA+PB 值最小．【问题 2】“将军饮马”作法图形原理A AB 作 B 关于 l 的对称点 B＇ B 两点之间线段最短．l连 A B ＇，与 l 交点即为 P．l PA+PB 最小值为 A B＇．P在直线 l 上求一点P，使B'PA+PB 值最小．【问题3】作法图形原理l 1 P' l1P分别作点 P 关于两直线的M两点之间线段最短．对称点 P＇和 P＇，连 P＇P＇，PM +MN +PN 的最小值为l2 P在直线 l1、 l 2上分别求点与两直线交点即为 M， N．N l2线段 P＇P＇＇的长．M 、 N，使△ PMN 的周长P''最小．【问题4】作法图形原理l 1lQ' 1Q分别作点 Q 、P 关于直线P MQ 两点之间线段最短．l 1、 l 2的对称点Q＇和P＇l2 P 四边形 PQMN 周长的最小连 Q＇P＇，与两直线交点即l 2 值为线段 P＇P＇＇的长．在直线 l1、 l 2上分别求点为 M ， N．NM 、 N ，使四边形PQMN P'的周长最小．AM Nmn将点 A 向下平移 MN 的长度单位得 A＇，连 A＇B，交 nAA' M 两点之间线段最短．mB直线 m ∥ n ，在 m 、 n ，上分别求点 M 、N，使 MN ⊥m ，且 AM+ MN+ BN 的值最小．【问题 6】ABlM a N在直线 l 上求两点M、N（M 在左），使 MN a ，并使AM + MN+ NB 的值最小．【问题 7】l1Pl 2在l 1上求点A，在 l 2上求点 B，使 PA+ AB 值最小．于点 N，过 N 作 NM ⊥ m 于M．作法将点A 向右平移a 个长度单位得 A＇，作 A ＇关于l的对称点 A＇，连 A＇B，交直线l 于点N，将N点向左平移a 个单位得 M．作法作点 P 关于l1的对称点P ＇，作 P＇B⊥l2于 B，交l2于A．AM +MN +BN 的最小值为NnA＇B+MN ．B图形原理A A'B两点之间线段最短．lM N AM +MN +BN 的最小值为A＇B+ MN．A''图形原理l1P'P 点到直线，垂线段最短．APA+ AB 的最小值为线段P＇l 2 B的长．B【问题 8】作法l 1NAMl2 作点 A 关于l2的对称点BA ＇，作点B 关于l1的对称A 为l1上一定点，B 为l2上点 B＇，连 A＇B＇交l2于 M，一定点，在 l 2上求点M，交 l 1 于 N．在 l 1 上求点N ，使AM + MN+ NB 的值最小．【问题 9】作法图形原理B'l 1N两点之间线段最短．AAM +MN +NB 的最小值为M B l 2线段 A＇B＇的长．A'图形原理ABl在直线l 上求一点 P，使 PA PB 的值最小．连AB ，作 AB 的中垂线与直线 l 的交点即为 P．A垂直平分上的点到线段两B端点的距离相等．lP PA PB ＝ 0．ABAl 作直线 AB，与直线 l 的交 B点即为 P．l 在直线 l 上求一点P，使PPA PB 的值最大．【问题 11】作法图形AAl 作 B 关于 l 的对称点 B＇B'B 作直线 A B＇，与 l 交点即lP在直线 l 上求一点P，使为 P． BPA PB 的值最大．三角形任意两边之差小于第三边．PA PB ≤AB．PA PB 的最大值＝ AB．原理三角形任意两边之差小于第三边．PA PB ≤ AB＇．PA PB 最大值＝ AB＇．【精品练习】作图题：【例 1】已知：如图，A， B在直线 L 的两侧，在L 上求一点P，使得 PA+PB最小。

【例 2】如图，直线l 是一条河， P，Q是两个村庄．计划在l 上的某处修建一个水泵站M，向 P，Q两地供水．现有如下四种铺设方案（图中实线表示铺设的管道），则所需管道最短的是（）【例 3】已知A（1，1）、B（4，2）．（ 1） P 为 x 轴上一动点，求PA+PB 的最小值和此时P 点的坐标；yBA（ 2） P 为 x 轴上一动点，求PA PB 的值最大时P 点的坐标；Ox y（ 3） CD 为 x 轴上一条动线段， D 在 C 点右边且CD ＝ 1，求当AC+ CD+ DB 的最小值和此时 C 点的坐标；yBAOC D x【例 4】如图，已知两点P、Q在锐角∠ AOB内，分别在 OA、 OB上求点 M、 N，使 PM＋MN＋ NQ最短．【例 5】如图，在河两岸有两个村子，要在两个村子之间架一座桥梁，请你利用已学知识画出使两个村子距离最短的桥梁建设位置，保留作图痕迹【例 6】如图，已知牧马营地在点 P 处，每天牧马人要赶着马群到河边饮水，再带到草地吃草，然后回到营地，请你替牧马人设计最短的放牧路线。

【例 7】荆州护城河在CC＇处直角转弯，河宽相等，从 A 处到达 B 处，需经过两座桥DD ＇、EE＇，护城河及两桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直．如何确定两座桥的位置，可使 A 到 B 点路径最短？【例 8】如图，伊宁火车站附近现要建一个货物中转站，三条直线表示 3 条公路要求中转站到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有计算题：【例 9】如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P，使 PD +PE 的和最小，则这个最小值为（）A D A．2 3B．2 6 C． 3D ． 6 PEB C【例 10】如图，在锐角△ABC中，AB＝4 2 ，∠ BAC ＝ 45°，∠ BAC 的平分线交 BC 于点 D ，M 、N 分别是 AD和 AB 上的动点，则 BM +MN 的最小值是C．DMA N B【例 11】如图，三角形△ABC中，∠OAB＝∠AOB＝15°，点B在x轴的正半轴，坐标为B( 6 3 ， 0) ．OC 平分∠ AOB ，点 M 在 OC 的延长线上，点N 为边 OA 上的点，则 MA ＋ MN 的最小值是 ______ ．【例 12】如图，在等边△ABC中， AB=6，N 为线段 AB上的任意一点，∠ BAC的平分线交BC于点 D，M是 AD 上的动点，连结 BM、 MN，则 BM+MN的最小值是.【例 13】四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝70°，在BC、CD上分别找一点M 、N，使△ AMN 的周长最小时，∠ AMN +∠ ANM 的度数为. A DNBMC【例 14】如图，∠ AOB＝30°，点 P 是∠ AOB内的一个定点， OP＝ 20cm，点 C、 D分别是 OA、 OB上的动点，连结 CP、 DP、 CD，则△ CPD周长的最小值为【例 15】如图所示，在边长为 2 cm 的正三角形ABC中， E、F、 G分别为 AB、AC、 BC的中点，点P 为线段EF 上一个动点，连接BP、 GP，则△ PBG的周长的最小值是．【例 16】如图，∠ AOB=45，角内有一动点 P ， PO=10，在 AO， BO上有两动点 Q， R，求△ PQR周长的最小值。

【例 17】如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm 的点 C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为cm．【例 18】如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝1，ON＝3，点P、Q分别在边OB、OA 上，则 MP ＋ PQ＋ QN 的最小值是 _________ ．（注“勾股定理”：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即Rt△ ABC 中，∠ C＝ 90°，则有AC2BC2AB 2）自主提升1.如图，直线 l 是一条河，A B两地相距10 km A B两地到 l 的距离分别为8 km、14 km，、，、欲在 l 上的某点M处修建一个水泵站，向A、 B 两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（）．．2.如图，在所在网格图中完成下列各题：（1）画出格点△ ABC关于直线 DE对称的△ A1B1C1；（2）在 DE上画出点 P，使 PB1+PC最小，求 P 的坐标；（3）在 DE上画出一点 Q，使 QA+QC最小，求 Q的坐标；（4）在 DE上画出一点 G, 使△ QAB的周长最小，求 G的坐标；3.如图，点 C 为∠ AOB 内一点．（ 1）在 OA 求作点 D ， OB 上求作点 E ，使△ CDE 的周长最小，请画出图形；（ 2）在（ 1）的条件下，若∠AOB ＝ 30°， OC＝ 10，求△ CDE 周长的最小值和此时∠DCE 的度数．ACO B4.如果 A、 B 两地之间有两条平行的河流，我们要建两座桥，且桥都是要与河岸垂直，桥造在何处才能使从 A 到 B 的距离最短？5.如图，木马人从 A 地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到营地 B 处，请画出最短路径。

6.如图，在锐角△ ABC 中， AB=6 ，∠ BAC=60 °，∠ BAC 的平分线交 BC 于点 D， M 、 N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM+MN 的最小值是7.如图，在 Rt △ ABC中，∠ ACB=90°， AC=6， BC=8， AD是∠ BAC的平分线．若 P， Q分别是 AD和 AC上的动点，则 PC+PQ的最小值是8. 如图平行四边形ABCD中 AB=AD=6，∠ DAB=60度， F 为 AC 上一点， E 为 AB 中点，则EF+BF 的最小值为．。