数与代数 1．数形结合话数轴问题解决 例1 （1）（《时代学习报》数学文化节试题）已知a b 、为有理数，且a ＞0，b ＜0，a b +＜0，将四个数a b a b --、、、按由小到大的顺序排列是_______． （2）（广西竞赛题）已知数轴上有A B 、两点，A B 、之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么点B 对应的数是_______． 【答案】 （1）（江苏省竞赛题）b ＜a -＜a ＜b - （2）4或2或2-或4-例2 如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A B C D 、、、对应的数分别是整数a b c d 、、、，且210d a -=，那么数轴的原点应是（ ）．A ．A 点B ．B 点C ．C 点D ．D 点 【答案】 B 由图知7d a -=，又210d a -=，得3a =-． 例3 已知两数a b 、，如果a 比b 大，试判断||a 与||b 的大小．【答案】 当点B 在原点的右边时，0＜b ＜a ，则||a ＞||b ；当点A 在原点的左边时，b ＜a ＜0，则||a ＜||b ；当点A B 、分别在原点的右、左两侧时，b ＜0＜a ，这时无法比较||a 与||b 的大小关系；当点A 正好在原点位置时，b ＜a =0，则||b ＞||a ；当点B 正好在原点位置时，0=b ＜a ，则||a ＞||b ．例4 （“希望杯”邀请赛试题）电子跳蚤落在数轴上的某点0K ，第一步从0K 向左跳1个单位到1K ，第二步由1K 向右跳2个单位到2K ，第三步由2K 向左跳3个单位到3K ，第四步由3K 向右跳4个单位到4K ，……，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点100K 所表示的数恰是19.94，试求电子跳蚤的初始位置0K 点所表示的数．【答案】 30.06- 设0K 点表示的有理数为x ，则12100K K K 、、、点所表示的有理数分别为112123123499100x x x x --+-+--+-+-+，，，，，由题意得1234x -+-+9910019.94-+=．例5 已知数轴上的点A 和点B 之间的距离为28个单位长度，点A 在原点的左边，距离原点8个单位长度，点B 在原点的右边． （1）求A B 、两点所对应的数．（2）数轴上点A 以每秒1个单位长度出发向左运动，同时点B 以每秒3个单位长度的速度向左运动，在点C 处追上了点A ，求C 点对应的数．（3）已知在数轴上点M 从点A 出发向右运动，速度为每秒1个单位长度，同时点N 从点B 出发向右运动，速度为每秒2个单位长度，设线段NO 的中点为P （O 为原点），在运动的过程中线段PO AM -的值是否变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由． 分析与解 对于（3），设M 点运动时间为t 秒，把PO AM -用t 的式子表示． （1）A B 、两点所对应的数分别为820-，；（2）C 点对应的数为22-； （3）202102tAM t OP t +===+，（为什么？），则1010PO AM t t -=+-=，即PO AM -的值不变． 生活启示例6 李老师从油条的制作中受到启发，设计了一个数学问题．如图，在数轴上截取从原点到1的对应点的线段AB ，对折后（点A 与点B 重合），固定左端向右均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如，在第一次操作后，原线段AB 上的14，34均变成1122；变成1；等等）．那么在线段AB 上（除点A 、点B 外）的点中，在第二次操作后，求恰好被拉到与1重合的点所对应的数字之和．B A分析 捕捉问题所蕴含的信息，阅读理解“一次操作”的意义：将线段沿中点翻折，中点左侧的点不动，中点右侧的点翻折到左侧的对应位置上，由原来的一个等分点变为两个等分点． 解1121421210(1, )18( , , )7883851443( )( )3441583887( , , )8100(1, )8141831850(1)8178()38)(1434)(拉长后对折后拉长后对折后原图21()4341()83)(87180(1)12581121238141878345812381481AB 0故在第二次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数字之和是13144+=．数学冲浪知识技能广场1．数轴上有A B 、两点，若点A 对应的数量2-，且A B 、两点的距离为3，则点B 对应的数是_______. 【答案】5-或12．（“《时代学习报》数学文化节”试题）电影《哈利·波特》中，小哈利·波特穿墙进入“394站台”的镜头（如示意图中的M 站台），构思奇妙，能给观众留下深刻的印象．若A B 、站台分别位于21--，处，2AN NB =，则N 站台用类似电影中的方法可称为“_______站台”． 【答案】113-3．已知点A B P 、、在数轴上，点B 表示的数为6，85AB AP ==，，那么点P 表示的数是_______．A NB M【答案】3或7- 4．（江西省中考题）如图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆（该圆周长为3个单位长，且在圆周的三等分点处分别标上了数字0、1、2）上：先让原点与圆周上数字0所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1、2、3、4、…所对应的点分别与圆周1、2、0、1…所对应的点重合.这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系． （1）圆周上的数字a 与数轴上的数5对应，则a =_______；（2）数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n 圈（n 为正整数）后，并落在圆周上数字1所对应的位置，这个整数是_______（用含n 的代数式表示）. 【答案】（1）2；（2）31n + 5．（2012年湖南省常德市中考题）有理数a b 、在数轴上的位置如图所示：，则下列各式正确的是（ ）A ．0a b +＞B ．0ab ＞C ．0a b +＜D ．0a b -＞ 【答案】A6．文具店、书店、玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西20米，玩具店位于书店东100米处．小明从书店沿街向东走了40米，接着又向东走了60-米，此时小明的位置在（ ）A ．文具店B ．玩具店C ．文具店西边40米D ．玩具店东60-米 【答案】A 7．（浙江省绍兴市中考题）将一刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是1cm ），刻度尺上的“0cm ”、“15cm ”分别对应数轴上的 3.6-和x ，则（ ）．A ．910x ＜＜B ．1011x ＜＜C ．1112x ＜＜D ．1213x ＜＜ 【答案】C8．（重庆市竞赛题）在数轴上任取一条长度为119999的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数是（ ）．A ．1998B ．1999C ．2000D ．2001 【答案】C 9．（江苏省无锡市中考题）一个跳蚤在一条直线上，从O 点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位……依此规律跳下去，当它跳第100次落下时，求落点处离O 点的距离（用单位表示）． 【答案】12349910050-+-++-=-，落点处与O 点距离为50个单位长． 10．（北京市“迎春杯”竞赛题）已知数轴上有A B 、两点，A B 、之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，求所有满足条件的点B 与原点O 的距离的和． 【答案】12 思维方法天地11．在数轴上，点A B 、分别表示13-和15，则线段AB 的中点所表示的数是_______.【答案】115- AB 中点所表示的数是11123515⎛⎫-+÷=- ⎪⎝⎭12．在数轴上，表示数22a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的点M 与表示数33a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的点N 关于原点对称，则a 的值为_______. 【答案】6- 13．（《时代学习报》数学文化节试题）数形相伴（1）如图所示AB ，点A B 、所代表的数分别为12-，，在数轴上画出与A B 、两点的距离和为5的点（并标上字母）.（2）若数轴上点A B 、所代表的数分别为a b 、，则A B 、两点之间的距离可表示为AB = a b -，那么，当127x x ++-=时，x =________；当125x x ++-＞时，数x 所对应的点在数轴上的位置是在_______． 【答案】（1）如图所示，点C D 、两点即为所求．（2）3x =-或4；点C 的左边或点D 的右边．14．（江苏省竞赛题）点A B 、分别是数132--、在数轴上对应的点，使线段AB 沿数轴向右移动为AB ''，且线段AB ''的中点对应的数是3，则点A '对应的数是_______，点A 移动的距离是_______．【答案】71944； AB 长为15(3)22⎛⎫---= ⎪⎝⎭，A '对应数为31573224-⨯=，点A 移动的距离为719(3)44--=． 15．（福建省泉州市中考题）点123n A A A A 、、、、（n 为正整数）都在数轴上，点1A 在原点O 的左边，且11AO =，点2A 在点1A 的右边，且212A A =；点3A 在点2A 的左边，且323A A =，点4A 在点3A 的右边，且434A A =，……，依照上述规律，点20082009A A 、所表示的数分别为（ ）．A ．20082009-，B ．20082009-，C ．10041005-，D ．10041004-， 【答案】C 16．如图：，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A B C D 、、、对应的数分别是整数a b c d 、、、，且29b a -=，那么数轴的原点对应点是（ ）．A ．A 点B ．B 点C ．C 点D ．D 点 【答案】C17．有理数a b c 、、在数轴上的位置如图，式子a b a b b c ++++-化简结果为（ ）．A ．23a b c +-B ．3b c -C ．b c +D ．c b - 【答案】C 18．（“希望杯”邀请赛题）不相等的有理数a b c 、、在数轴上对应点分别为A B C 、、，若a b b c a c -+-=-，那么点B （ ）．A ．在A C 、点右边B ．在AC 、点左边 C ．在A C 、点之间D ．以上均有可能【答案】C 19．（“CASIO 杯”河南省竞赛题）在数轴上，N 点与O 点的距离是N 点与30所对应点之间的距离的4倍，那么N 点表示的数是多少？ 【答案】24与4020．已知数轴上有A B C 、、三点，分别代表241010--、、，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A C 、两点同时相向而行．甲的速度为4个单位/秒． （1）问多少秒后甲到A B C 、、的距离和为40个单位？（2）若乙的速度为6个单位/秒，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A C 、两点同时相向而行，问甲、乙在数轴上的哪个点相遇？ （3）在（1）、（2）的条件下，当甲到A B C 、、的距离和为40个单位时，甲调头返回，问甲、乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点；若不能，请说明理由． 【答案】（1）设x 秒后甲到A B C 、、距离和为4010(24)1410(10)20---=-=． ①当甲在A B 、之间时 4(144)(14420)40x x x +-+-+=，得2x =．②当甲在B C 、之间时 4(414)(20414)40x x x +-+-+=，得5x =，即2秒或5秒后． （2）设x 秒后相遇 (46)10(24)x +=-- 1034 3.4.x x ==24 3.4410.4-+⨯=-，即在10.4-处相遇．（3）①设甲向C 走2秒后掉头返回x 秒与乙相遇 2442410266x x -+⨯-=-⨯-，解得7x =． 10266106(2)106944x x ∴-⨯-=-+=-⨯=-． ②设甲向C 走5秒后掉头返回y 秒与乙相遇 2445410566y y -+⨯-=-⨯-，解得8y =-．∴不合题意，舍去．即甲、乙能在44-所表示的点处相遇． 应用探究乐园 21．（2012年北京市中考题）操作与探究对数轴上的点P 进行如下操作：先把点P 表示的数乘以13，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点P 的对应点P '．点A B ，在数轴上，对线段AB 上的每个点进行上述操作后得到线段AB ''，其中，点A B，的对应点分别为A '，B '.如图所示，若点A 表示的数是3-，则点A '表示的数是_______；若点B '表示的数是2，则点B 表示的数是_______；已知线段AB 上的点E 经过上述操作后得到的对应点E '与点E 重合，则点E 表示的数是_______．【答案】0；3；32．设E 点表示的数为x ，则E '点表示的数为113x +，由113x x =+得32x =．22．一动点P 从数轴上的原点出发，沿数轴的正方向以每前进5个单位、后退3个单位的程序运动.已知点P 每秒前进或后退1个单位，设n x 表示第n 秒点P 在数轴上的位置所对应的数（如456454x x x ===，，），求2011x 所对应的数.【答案】因20118251322513505=⨯+⨯+=，，故2011x 所对应的数为505．2．聚焦绝对值问题解决例 1 （“CASIO 杯”河南省竞赛题）已知2020y x b x x b =-+-+--，其中02020b b x ＜＜，≤≤，那么y 的最小值为_______．【答案】20 [(20)][(20)]202040y x b x x b x b x x b x =-+--+---=--+-++=-，当20x =时，y 的值最小为20．例2 式子a b aba b ab ++的所有可能的值有（ ）．A ．2个B ．3个C ．4个D ．无数个A B'【答案】A 分00;00;00;00a b a b a b a b >><<><<>，，，，四种情况讨论． 例3 （1）（“华罗庚杯”香港中学竞赛题）已知220ab a -+-=， 求111(1)(1)(2)(2)ab a b a b ++++++++1(2006)(2006)a b ++的值．（2）（“希望杯”邀请赛试题）设a b c 、、为整数，且1a b c a -+-=，求c a a b b c -+-+-的值. 【答案】（1）由2020ab a -=-=，，得21a b ==，． 原式=111111111111223342007200822320072008++++=-+-++-=-⨯⨯⨯⨯12008= 20072008． （2）因a b c 、、为整数，且||||1a b c a -+-=，故||||a b c a --与一个为0，一个为1，从而||()()|1b c b a a c --+-=所以，原式=1+1+0=2． 例4 阅读下列材料并解决有关问题： 我们知道(0)0(0)(0).xx x x x x ⎧⎪==⎨⎪-⎩＞，，＜现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式12x x ++-时，可令10x +=和20x -=，分别求得12x x =-=，（称12-，分别为1x +与2x -的零点值）．在有理数范围内，零点值1x =-和2x =可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：（1）1x -＜；（2）12x -＜≤；（3）2x ≥．从而化简代数式12x x ++-可分以下3种情况：（1）当1x -＜时，原式(1)(2)21x x x =-+--=-+； （2）当12x -＜≤时，原式1(2)3x x =+--=； （3）当2x ≥时，原式1221x x x =++-=-． 综上讨论，原式21(1)3(12)21(2).x x x x x -+-⎧⎪=-⎨⎪-⎩＜，＜，≤≥ 通过以上阅读，请你解决以下问题： （1）分别求出2x +和4x -的零点值； （2）化简代数式24x x ++-.【答案】（1）分别令20x +=和40x -=，分别求得2x =-和4|2|x x =∴+，和|4|x -的零点值分别为2x =-和4x =．（2）当2x <-时，原式=(2)(4)2422;x x x x x -+--=---+=-+当24x -<≤时，原式=2(4)6x x +--=；当4x ≥时，原式=2422x x x ++-=-． ∴综上讨论，原式=22(2)6(24)22(4).x x x x x -+<-⎧⎪-<⎨⎪-⎩，，≤≥ 例5 （1）当x 取何值时，3x -有最小值？这个最小值是多少？ （2）当x 取何值时，52x -+有最大值？这个最大值是多少？ （3）求45x x -+-的最小值． （4）求789x x x -+-+-的最小值．分析 对于（3）、（4）可先运用零点分段讨论法去掉绝对值符号，再求最小值；也可利用绝对值的几何意义，即在数轴上找一表示x 的点，使之到表示45、的点（或表示7、8、9的点）的距离和最小.解 （1）当3x =时，原式有最小值，最小值为0． （2）当2x =-时，原式有最大值，最大值为5． （3）当45x ≤≤时，原式有最小值，最小值为1． （4）当8x =时，原式有最小值，最小值为2． 对于（3），给出另一种解法：当4x ≤时，原式(4)(5)92x x x =----=-，最小值为1； 当45x ＜≤时，原式4(5)1x x =---=，最小值为1；当5x ＞时，原式4529x x x =-+-=-，最小值为1． 综上所述，原式有最小值等于1． 以退求进例6 少年科技组制成一台单项功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数1x ，只显示不运算，接着再输入整数2x 后则显示12x x -的结果，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差取绝对值的运算．现小明将从1到1991这1991个整数随意地一个一个地输入，全部输入完毕之后显示的最后结果设为P ，试求出P 的最大值，并说明理由．分析 先考虑输入个数较少的情形，并结合奇偶分析调整估值，一步步求出P 的最大值． 解 由于输入的数都是非负数，当1200x x ，≥≥时，12x x -不超过12x x 、中最大的数，对123000x x x ，，≥≥≥，则123x x x --不超过123x x x 、、中最大的数，设小明输入这1991个数的次序是121991x x x ，，，．相当于计算：12319901991x x x x x P ----=，因此P的值1991≤.另外从运算奇偶性分析，12x x 、为整数，12x x -与12x x +奇偶性相同，因此P 与12x x +++1991x 的奇偶性相同．但121991121991x x x +++=+++=偶数．于是断定1990P ≤．我们证明P 可以取到1990.对1，2，3，4，按如下次序：13420---=，(41)(43)(44)(42)0k k k k +-+-+-+=，对于012k =，，，均成立．因此，1~1988可按上述办法依次输入最后显示结果为0，而后1989199019911990--=，故P 的最大值为1990.数学冲浪知识技能广场1．数a 在数轴上的位置如图所示 ，且12a +=，则37a +=_______. 【答案】22．已知53a b ==，，且a b b a -=-，那么a b +=_______. 【答案】2-或8- 3．（北京市竞赛题）化简111111200420032003200220022001-+-+--1120012004-= _______． 【答案】04．已知有理数a b c 、、在数轴上的对应位置如图所示： 则1c a c a b -+-+-化简后的结果是_______． 【答案】12-c b +5．（2012年江苏省盐城市中考题）已知整数1234a a a a ，，，，满足下列条件：121324012a a a a a a ==-+=-+=，，， 33a -+，，依次类推，则2012a 的值为（ ）．A ．1005-B ．1006-C ．1007-D ．2012-【答案】B 12345678a a a a a a a a ，，，，，，，对应的数分别为0，-1，-1，-2，-2，-3，-3，-4． 6．已知a a =-，化简12a a ---所得的结果是（ ）．A ．1-B ．1C ．23a -D ．32a - 【答案】A7．若m 是有理数，则m m -一定是（ ）．A ．零B ．非负数C ．正数D ．负数 【答案】B 8．（“希望杯”邀请赛试题）有理数a b c 、、的大小关系如图： ，c 0则下列式子中一定成立的是（ ）．A ．0a b c ++＞B ．a b c +＜C ．a c a c -=+D ．b c c a --＞ 【答案】C 9．化简 （1）3x -； （2）12x x +++.【答案】（1）原式=3(3)3(3)x x x x -<⎧⎨-⎩≥（2）原式=23(2)1(21)23(1)x x x x x --<-⎧⎪-<-⎨⎪+-⎩≤≥ 10．（南京市中考题）阅读下面材料并回答问题．B B A B A 图④图①图②图③B O O O点A B 、在数轴上分别表示实数a b A B 、，、两点之间的距离表示为AB ．当A B 、两点中有一点在原点时，不妨设点A 在原点，如图①，AB OB b a b ===-；当A B 、两点都不在原点时，（1）如图②，点A B 、都在原点的右边，AB OB OA b a =-=-=b a a b -=-；（2）如图③，点A B 、都在原点的左边，()AB OB OA b a b a a b =-=-=---=-； （3）如图④，点A B 、在原点的两边，()AB OA OB a b a b a b =+=+=+-=-. 综上，数轴上A B 、两点之间的距离AB a b =-．请回答：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_______，数轴上表示2-和5-的两点之间的距离是_______，数轴上表示1和3-的两点之间的距离是_______；②数轴上表示x 和1-的两点A 和B 之间的距离是_______，如果2AB =，那么x 为_______； ③当代数式12x x ++-取最小值时，相应的x 的取值范围是_______．【答案】①3；3；4 ②|1|;1x +或-3 ③12x -≤≤ 思维方法天地11．（北京市“迎春杯”竞赛题）已知123a b c ===，，，且a b c ＞＞，那么a b c +-=_______．【答案】2或012．（“五羊杯”竞赛题）在数轴上，点A 表示的数是3x +，点B 表示的数是3x -，且A B 、两点的距离为8，则x =_______． 【答案】413．（北京市“迎春杯”竞赛题）已知51x y ==，，那么x y x y --+=_______． 【答案】2 分x y ，同号、x y ，异号两种情形讨论14．（1）（“希望杯”邀请赛试题）11x x ++-的最小值为_______．（2）（北京市“迎春杯”竞赛题）111213x x x ++-++的最小值为_______．【答案】（1）2 （2）25 15．（“希望杯”邀请赛试题）有理数a b 、在数轴上对应的位置如图所示： 则代数式11a ab aa a a b+--+-+-11b b --的值为（ ）． A ．1- B ．0 C ．1 D ．2【答案】D16．（北京市中考题）若22(1)0m n ++-=，则2m n +的值为（ ）．A ．4-B ．1-C ．0D ．4 【答案】C17．如图，已知数轴上点A B C 、、所对应的数a b c 、、都不为0，且C 是AB 的中点．C B A 如果2220a b a c b c a b c +--+--+-=，那么原点O 的位置在（ ）．A ．线段AC 上B ．线段CA 的延长线上C ．线段BC 上D ．线段CB 的延长线上 （江苏省竞赛题） 【答案】A 提示：2a bc +=原式化为||||||a b b a +=- 18．（重庆市竞赛题）设1m x x =+-，则m 的最小值为（ ）． A ．0 B ．1 C ．1- D ．2 【答案】B19．已知点A 在数轴上对应的数为a ，点B 对应的数为b ，且24(1)0a b ++-=，A B 、之0a间的距离记作AB ． （1）求线段AB 的长AB ；（2）设点P 在数轴上对应的数为x ，当2PA PB -=时，求x 的值；（3）若点P 在A 的左侧，M N 、分别是PA PB 、的中点，当点P 在A 的左侧移动时，式子PN PM -的值是否发生改变？若不变，请求其值；若发生变化，请说明理由．【答案】（1）||5;AB =（2）12x =-；（3）5||||2PN PM -=，值不变． 20．（“华罗庚杯”香港中学竞赛题）已知a b c abcx a b c abc=+++，且a b c 、、都不等于0，求x 的所有可能值． 【答案】4或0或4- 应用探究乐园 21．（“希望杯”邀请赛试题）绝对值性质（1）设a b 、为有理数，比较a b +与a b +的大小．（2）已知a b cd 、、、是有理数，916a b c d --，≤≤，且a b c d --+=25，求b a d c ---的值．【答案】（1）||||||a b a b ++≤，当且仅当a b 、同号或a b 、至少有一为0时等号成立．（2）因||9||a bc d --，，≤≤故||||91625a b c d -+-+=≤，又因为25|||()()||a b c d a b d c a b d c =--+=-+--+-，≤≤所以||9||16a b c d -=-=，，故原式9167=-=-．22．已知数轴上两点A B 、对应的数分别为13-，，点P 为数轴上一动点，其对应的数为x ． （1）若点P 到点A 、点B 的距离相等，求点P 对应的数．（2）数轴上是否存在点P ，使点P 到点A 、点B 的距离之和为5？若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由．（3）当点P 以每分钟1个单位长的速度从O 点向左运动时，点A 以每分钟5个单位长的速度向左运动，点B 以每分钟20个单位长的速度向左运动，问它们同时出发，几分钟后P 点到点A 、点B 的距离相等？【答案】（1）1；（2）3.5或-1.5；（3）B 未追上A 时，223t =；b 追上A 时，415t =．3．有理数的运算问题解决例1 （1）（成都市中考题）已知21(123)(1)n a n n ==+，，，，记112(1)b a =-，2b =122(1)(1)a a --，，122(1)(1)(1)n n b a a a =---，则通过计算推测n b 的表达式n b =_______．（用含n 的代数式表示） （2）（“希望杯”邀请赛试题）若a b 、是互为相反数，c d 、是互为倒数，x 的绝对值等于2，则42x cdx a b +--的值是_______． 【答案】（1）21n n ++ （2）20例 2 （江苏省竞赛题）已知整数a b c d 、、、满足25abcd =，且a b c d ＞＞＞，那么a b c d +++等于（ ）． A ．0 B ．10 C ．2 D ．12【答案】D 51(1)(5)5115abcd a b c d =⨯⨯-⨯-===-=-，，，，． 例3 计算 （1）（广西竞赛题）1121231259233444606060⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （2）（“祖冲之杯”邀请赛试题）111112123123100+++++++++++； （3）（“五羊杯”竞赛题）77371217381727111385271739172739⎛⎫⎛⎫+-÷+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【答案】（1）885 设原式=S ,又12132159581233444606060S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，两式相加得2123591770S =++++=，所以885;S = （2）200112112;201123(1)12nn n n n ⎛⎫===- ⎪++++++⎝⎭ （3）2 原式34247616261022272739A A ⎛⎫=+-÷=÷= ⎪⎝⎭，其中1712388135272739A =+-．例4 （辽宁省大连市中考题）在数学活动中，小明为了求2341111122222n+++++的值（结果用n 表示），设计了如图所示的几何图形．图①图②（1）请你用这个几何图形求2341111122222n +++++的值； （2）请你用图②，再设计一个能求2341111122222n+++++的值的几何图形． 【答案】（1）原式=112n -；（2）略． 例5 在1，2，…，2002前面任意添上正号和负号，求其非负和的最小值．分析与解 首先确定非负代数和的最小值的下限，然后通过构造法证明这个下限可以达到即可．整数的和差仍是整数，而最小的非负整数是0．代数和的最小值能是0吗？能是1吗？由于任意添“+”号或“-”号，形式多样，因此，不可能一一尝试再作解答，从奇数、偶数的性质入手．因a b +与a b -的奇偶性相同，故所求代数和的奇偶性与1+2+3+…+2001+2002=2002(12002)2⨯+=10012003⨯的奇偶性相同，即为奇数．因此，所求非负代数和不会小于1． 又∵(12)(3456)(78910)(11121314)(199920002001-++--++--++--+++--+ 2002)1=，∴所求非负代数和的最小值为1．类比类比是一种推理方法，根据两种事物在某些特征上的相似，作出它们在其他特征上也可能相似的结论．触类旁通，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题的途径和方法． 例6 观察下面的计算过程 111111111111141122334451223344555⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-+-+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 问：（1）从上面的解题方法中，你发现了什么？用字母表示这一规律． （2）“学问”，既要学会解答，又要学会发问．爱因斯坦曾说：“提出问题比解决问题更重要”． 请用类比的方法尽可能多地提出类似的问题．分析与解 （1）111(1)1n n n n =-++．（2）从连续自然数到连续偶数，从2个到3个，从分数到整数，类比可提出下列计算问题： ①111244620122014+++⨯⨯⨯；②111123234201220132014+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯；③12233420122013⨯+⨯+⨯++⨯； ④22221232012++++．数学冲浪知识技能广场 1．（2012年潍坊市中考题）如图，每一个小方格的面积为1，则可根据面积计算得到如下算式：1357+++++(21)n -=_______．（用n 表示，n 是正整数）．【答案】2n 2．（2012年河北省中考题）某数学活动小组的20位同学站成一列做报数游戏，规则是：从前面第一位同学开始，每位同学依次报自己顺序数的倒数加1，第1位同学报111⎛⎫+ ⎪⎝⎭，第2位同学报112⎛⎫+ ⎪⎝⎭，第3位同学报113⎛⎫+ ⎪⎝⎭，……这样得到的20个数的积为_______．【答案】21 3．计算：（第1题）n2n-1n1234（1）（“希望杯”邀请赛试题）211(455)365455211545545365⨯-+⨯-⨯+⨯=_______． （2）（广西桂林市中考题）23181920222222-----+=_______． 【答案】（1）154000；（2）6 21n +-22n n = 4．（2012年湖北省黄石市中考题）“数学王子”高斯从小就善于观察和思考，在他读小学时就能在课堂上快速地计算出1+2+3+…+98+99+100=5050，今天我们可以将高斯的做法归纳如下：123S =+++…+98+99+100 ① S =100+99+98+…+3+2+1 ②①+②有2(1100)1005050S S =+⨯=，． 请类比以上做法，回答下列问题：若n 为正整数，3+5+7+…+（21n +）=168，则n =_______． 【答案】12 由(321)1682n n ++=，得(21214n n +=⨯ 5．（“希望杯”邀请赛试题）设0a ＜，在代数式20092010a a a aa --，，，，，22a a a a a a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，中负数的个数是（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B 6．（2012年四川省竞赛题）我国邮政国内外埠邮寄印刷品邮资标准如下：100克以内0.7元，每增加100克（不足100克按100克计）0.4元．某人从成都邮寄一本书到上海，书的质量为470克，则他应付邮资（ ）元．A ．2.3B ．2.6C ．3D ．3.5 【答案】A 470100310070=+⨯+7．（湖北省鄂州市中考题）为了求232012222+++++的值，可令23200812222S =+++++，则2222S =++342009222+++，因此2009221S S -=-，所以23200820091222221+++++=-．仿照上面推理计算出23200915555+++++的值是（ ）．A ．200951- B ．201051- C ．2009514- D ．2010514-【答案】D8．（江苏省中考题）下面是按一定规律排列的一列数：第1个数：11122-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；第2个数：2311(1)(1)1113234⎛⎫⎛⎫---⎛⎫-+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；第3个数：234511(1)(1)(1)(1)11111423456⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----⎛⎫-+++++ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；……第n 个数：232111(1)(1)(1)111112342n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫----⎛⎫-++++ ⎪⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（ ）． A ．第10个数 B ．第11个数 C ．第12个数 D ．第13个数【答案】A 提示：第n 个数为1122n -+，把第10、11、12、13个数分别求出． 9．（2012年益阳市中考题）观察图形，解答问题： ⑤④③②-33-9-5-817-4-5-1①xy 11-2-325517-1（1（2【答案】（1）略（2）图④：5(8)(9)3605(8)(9)12360(12)30;y ⨯-⨯-=+-+-=-=÷-=-，，图⑤：13313x x ⋅⋅=-++，解得2x =-．10．（2012年广东省中考题）观察下列等式：第1个等式：111111323a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭； 第2个等式：2111135235a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭； 第3个等式：3111157257a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭； 第4个等式：4111179279a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭； ……请解答下列问题： （1）按以上规律列出第5个等式：5a =_______=_______；（2）用含n 的代数式表示第n 个等式：n a =_______=________（n 为正整数）； （3）求1234100a a a a a +++++的值．【答案】（1）51111;9112911a ⎛⎫==- ⎪⨯⎝⎭（2）1111;(21)(21)22121n a n n n n ⎛⎫==- ⎪--=+⎝⎭（3）原式100201=思维方法天地 11．计算：（1）（“华罗庚杯”邀请赛试题）1111111113243546⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯+⨯+⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111979998100⎛⎫⎛⎫+⨯+= ⎪ ⎪⨯⨯⎝⎭⎝⎭_______． （2）（“希望杯”邀请赛试题）1511914117111234567892612203042567290-+-+-+-+=_______．（3）（江苏省竞赛题）555111139139993311993311⎛⎫⎛⎫++÷++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_______．【答案】（1）1.98；（2）9110；（3）1.04 12．设三个互不相等的有理数，既可分别表示为1a b a +，，的形式，又可分别表示为0abb ，，的形式，则20042001a b +=_______．【答案】2 这两个三数组在适当的顺序下对应相等，于是可以断定，a b +与a 中有一个为0，ba与b 中有一个为1，可推得11a b =-=，． 13．（“五羊杯”竞赛题）已知31x x =+，则22005(64489)x x ++=_______．【答案】114．（四川省竞赛题）已知a b c 、、满足()()()0a b b c c a +++=且0abc ＜，则代数式a b ca b c ++的值是______． 【答案】115．（北京市竞赛题）11111161111161621212626313136+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯的值是（ ）． A ．118 B ．136 C ．133 D ．166 【答案】B16．如果4个不同的正整数m n p q 、、、满足(7)(7)(7)(7)4m n p q ----=，那么m n ++ p q +等于（ ）． A ．10 B ．21 C ．24 D ．26 E ．28 【答案】E 42(2)1(1)=⨯-⨯⨯- 17．（河北省竞赛题）如果3121231t t tt t t ++=，那么123123t t t t t t 的值为（ ）． A ．1- B ．1 C ．1± D ．不确定【答案】A 18．（济南市中考题）观察下列各式： （1）211=；（2）22343++=；（3）2345675++++=；（4）2456789107++++++=；……请你根据观察得到的规律判断下列各式正确的是（ ）． A ．210051006100730162011++++= B ．210051006100730172011++++= C ．210061007100830162011++++= D ．210071008100930172011++++= 【答案】C 19．（“希望杯”邀请赛试题）观察下面的等式： 224224⨯=+=，；313134342222⨯=+=，； 414145453333⨯=+=，； 515156564444⨯=+=，． （1）小明归纳上面各式得出一个猜想：“两个有理数的积等于这两个有理数的和”，小明的猜想正确吗？为什么？（2）请你观察上面各式的结构特点，归纳出一个猜想，并证明你的猜想． 【答案】（1）小明的猜想显然是不正确的，易举出反例，如131 3.⨯≠+ （2）将第一组等式变形为22242411⨯=+=，，得出如下猜想：“若n 是正整数，则11(1)(1)n n n n n n ++⨯+=++”．证明：左边=111(1)(1)n n n n n +⎛⎫++=++= ⎪⎝⎭右边． 20．（四川省内江市中考题）同学们，我们曾经研究过n n ⨯的正方形网格，得到了网格中正方形的总数的表达式为2222123n ++++．但n 为100时，应如何计算正方形的具体个数呢？下面我们就一起来研究并解决这个问题．首先，通过探究我们已经知道1011223(1)3n n n ⨯+⨯+⨯++-⨯=(1)(1)n n +-时，我们可以这样做：（1）观察并猜想：2222212(10)1(11)2101212(12)(0112)123(10)1+=+⨯++⨯=+⨯++⨯=++⨯+⨯++=+⨯+，(11)2(12)3101212323(123)(011223)+⨯++⨯=+⨯++⨯++⨯=+++⨯+⨯+⨯，22221234(10)1(11)2(12)3_______101212323_______+++=+⨯++⨯++⨯+=+⨯++⨯++⨯+(1234)(_______)=++++；……（2）归纳结论：[]2222123(10)1(11)2(12)31(1)n n n ++++=+⨯++⨯++⨯+++-101212323(1)n n n =+⨯++⨯++⨯+++-⨯(_______)(__________)=+ ______________=+1_______6=；（3）实践应用：通过以上探究过程，我们就可以算出当n为100时，正方形网格中正方形的总个数是______．【答案】（1）(13)4;434;01122334;+⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯（2）123;n++++0⨯1+1⨯2+2⨯3+…+(1)n n-；12n(1);n+13(1)(1);n n n+-(1)(21)n n n++；（3）338350．应用探究乐园21．（山东省青岛市中考题）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．数形结合的基本思想，就是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案．例如，求1234n+++++的值，其中n是正整数．对于这个求和问题，如果采用纯代数的方法（首尾两头加），问题虽然可以解决，但在求和过程中，需对n的奇偶性进行讨论．如果采用数形结合的方法，即用图形的性质来说明数量关系的事实，那就非常的直观．现利用图形的性质来求1234n+++++的值，方案如下：如图，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为123n，，，，个小圆圈排列组成的，而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子1234n+++++的值．为求式子的值，现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形．此时，组成平行四边形的小圆圈共有n行，每行有(1)n+个小圆圈，所以组成平行四边形小圆圈的总个数为(1)n n+个，因此，组成一个三角形小圆圈的个数为(1)2n n+，即(1)12342n nn++++++=．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙n∙∙∙∙∙∙n43211234（1）仿照上述数形结合的思想方法，设计相关图形，求1357(21)n+++++-的值，其中n是正整数．（要求：画出图形，并利用图形作必要的推理说明）（2）试设计另外一种图形，求1357(21)n+++++-的值，其中n是正整数．（要求：画出图形，并利用图形作必要的推理说明）【答案】原式=2n，构造平行四边形或正方形．22．（四川省竞赛题）在“□1□2□3□4□5□6□7□8□9”的小方格中填上“+”、“-”号，如果可以使其代数和为n，就称数n是“可被表出的数”（如1是可被表出的数，这是因为12345++--++6789--+是1的一种可被表出的方法）．（1）求证：7是可被表出的数，而8是不可被表出的数；（2）求25可被表出的不同方法的种数．【答案】（1）1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，无论怎样填“+”、“-”号，代数和一定是奇数，又1234567897--++-+-+=，故7是可被表出的数，而8是不可被表出的数．（2）设填“+”号的数字和为x ，填“-”号的数字和为y ，则25x y -=，又45x y +=，解得3510x y ==，，因910123410<+++=，，故填“-”号的数字至少有2个至多有4个，由此知填“-”号的数之和为10，只要计算出从1到9中选出若干个其和为10的数字的不同方法，就得到25可表出的不同方法，经讨论知有4+4+1=9种．4．信息技术中的数学问题问题解决例1 （广西竞赛题）给出下列程序x k b →→⨯→+→入立方出输输，且已知当输入的x 值为1时，输出值为1；输入的x 值为1-时，输出值为3-，则当输入的x 值为12时，输出值为_______．【答案】由条件得13k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，得2k b ==-，1，故当12x =时，33132(1)24kx b ⎛⎫+=⨯+-=- ⎪⎝⎭．例2 （湖北省荆门市中考题）计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0、1，将一个十进制数转化为二进制数，只需把该数写成若干个2n 数的和，依次写出1或0即可．如4321()(2)19162112020212110011=++=⨯+⨯+⨯+⨯+=十．为二进制下的5倍数，则十进数2004是二进制下的（ ）．A ．10位数B ．11位数C ．12位数D ．13位数 【答案】 B 2004=1024+980=1⨯102+980．例3 （第17届“希望杯”邀请赛试题）一条信息可通过如图所示的网络线由上（A 点）往下向各站点传送．例如信息到2b 点可由径1a 的站点送达，也可由经2a 的站点送达，共有两条途径传送，那么信息由A 点到达3d 的不同途径共有多少条．【答案】画出路线图：b 2c 3c 3c 2c 2d 3d 3d 3d 3d 3b 2b 3c 2a 1b 1a 2d 3c 3A故有6条不同途径． 例 4 （《时间学习报》数学文化节试题）你觉得手机很神奇吗？它能在瞬间清晰地传递声音、文字、图像等信号，据说以后还能发送味道、触觉信息呢！这里都有手机中电脑芯片的54321。