28.实验与操作问题解决例1 （第4届《时代学习报》数学文化节试题）循环往复 图中的程序表示，输入一个整数x 便会按程序进行计算．设输入的x 值为18，那么根据程序，第1次计算的结果是9；第2次计算的结果是4，……这样下去第5次计算的结果是_______，第2009次计算的结果是_______．【答案】-4；-4 输入18，依次得到的结果为：9，4，2，1，4-，2-，1-，6-，3-，8-，4-，2-，1-，…显然，除去前4次的结果外，从第5次的结果-4开始，每6次一个循环，而（2009-4）÷6=2005÷6=334余1，故第2009次计算的结果为4-．例2 将一个正方形纸片依次按图①、图②方式对折，然后沿图③中的虚线截剪，最将图④的纸再展平铺平，所看到的图案是（ ）．图④（向右对折）（向上对折）A B C D图①图②图③【答案】D例3 （贵州省中考题）如图，有一正方形，通过多次划分，得到若干个正方形，具体操作如下：……（第3次）（第2次）（第1次）第1次把它等分成4个小正方形，第2次将上次分成小正方形的其中一个又等分成4个小正方形……依此操作下去．（1）请通过观察和猜想，将第3次、第4次和第n 次划分图中得到的正方形总个数(m )填入下表.（2）请你推断，按上述操作方法，能否得到103个正方形？为什么？【答案】（1）当n=3时，13m=；4n=时，17m=；……一般的41m n=+．（2）由41m n=+，得1034125.5n n=+=，，因n不是正整数，故按此要求操作不可能得到103个正方形．例4（太原市竞赛题）有1997枚硬币，其中1000枚国徽朝上，997枚国徽朝下．现在要求每一次翻转其中任意6枚，使它们的国徽朝向相反．问：能否经过有限次翻转后，使所有硬币的国徽都朝上？给出你的结论，并给出证明．【答案】用1997枚硬币的朝向情况可用1997个数的乘积来表示．若这些数之积为1-（或+1），表明有奇数（或偶数枚硬币朝下）．开始时，其乘积为1000997(1)(1)1+⨯-=-．每次翻折6枚硬币，即每次改变6个数的符号，其结果是1997个数之积仍为1-．经过有限次翻转后，这个结果总保持不变，即国徽朝下的硬币数永远是奇数枚，故回答是否定的．例5在2×2方格纸中，以格点连线为边作面积为2的多边形（含凹多边形），请尽可能多地找出答案，在寻找答案的过程中你能发现什么规律吗？分析与解若没有规律性的认识，则要无遗漏重复地找出全部解答是困难的．恰当的方法是：选择一些图形作基本图形，通过基本图形的组合找出解答，可将下列7个图形作为基本图形：（5）（6）（7）（4）由此可得如下23个解答，其中凸多边形7个，凹多边形16个：（23）（22）（21）（19）（18）（12）（20）（9）（15）（7）（8）俄罗斯方块例6游戏机的“方块”中共有下面7种图形，每种“方块”都由4个1×1的小方格组成．现用这7种图形拼成一个7×4的长方形（可以重复使用某些图形）．问：最多可以用这7种图形中的几种图形？分析与解 为了形象化地说明问题，对7×4的长方形的28个小方格黑白相间染色，除“品”字形必占3个黑格1个白格或3个白格1个黑格外，其余6个方块各占2个黑格2个白格． 用其中的6种不同的图形方块可以拼成7×4的长方形，方法很多，如图①仅出示一种． 下面证明不能7种图形方块都各用一次．将7×4的长方形的28个小方格黑白相间染色，则如图②所示，黑、白格各14个．若7×4的长方形能用7种不同的方块拼成，则每个方块用到一次且只用一次．其中“品”字形如图③必占3个黑格1个白格或3个白格1个黑格，其余6个方块各占2个黑格2个白格．7种不同的方块占据的黑格总数、白格总数都是奇数个，不会等于14．矛盾．因此，不存在7种图形方块每个各用一次拼成7×4的长方形的方法． 所出，要拼成7×4的长方形，最多可以用这7种图形方块中的6种．图①图②图③数学冲浪知识技能广场 1．（《时代学习报》数学文化节试题）乐在其中七巧板的起源要追溯到我国先秦时期，古算书《骨髀算经》中即有正方形分割术，经历代演变而成“七巧图”（又称为“益智图”和“智慧板”，如图①）．19世纪传到国外，多称其为“唐图”（意为“来自中国的拼图”），引起人们的极大兴趣，欧美许多国家纷纷出版书籍予以介绍．（第1题）图①图②如果有一副七巧板的总面积是100平方厘米，那么其中正方形的那一块的面积是_______平方厘米． 图②“乐在其中”的每个字都是由一副七巧板摆拼所得，请在图中用线段画出模块之间的“拼缝”．【答案】12.5 画图略 2．（乌鲁木齐市中考题）如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形的方法有_______种． 【答案】5（第3题）（第2题）3．（乌鲁木齐市中考题）如图，将长度为20cm ，宽为2cm 的长方形的纸带，折成如图所示的图形并在其一面着色，则着色部分的面积为_______cm 2． 【答案】36 4．（浙江省嘉兴市中考题）定义一种对正数n 的“F ”运算：①当n 为奇数时，结果为35n +；②当n 为偶数时，结果为2k n （其中k 是使2kn为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如：取26n =，则26134411F F F −−−→−−−→−−−→第一次第二次第三次②①②…若449n =，则第449次“F ”运算的结果是_______．【答案】8 5．（浙江省金华市中考题）图中的大正三角形是由9个相同的小正三角形拼成的，将其部分涂黑，如图①、②所示．图④（第5题）图③图②图①观察图①、图②中涂黑部分构成的图案.它们具有如下特征：①都是轴对称图形，②涂黑色部分都是三个小正三角形．请在图③、图④内分别设计一个新图案，使图案具有上述两个特征． 【答案】略 思维方法天地 6．（《时代学习报》数学文化节试题）折折剪剪一张正方形纸片，通过两次对折，然后按阴影部分进行裁剪并展开，可以得到如图（1）末的“蝴蝶结”：（第6题①）第三次对折第二次对折第一次对折请你仿图①，将下面的正方形纸片经过两次对折后裁剪并展开，得到如图②末的图形，请画出虚线和实线表示折叠过程，并用阴影表示剪去的部分．（第6题②）【答案】或7．（深圳市“启智杯”数学思维能力竞赛题）把四个完全相同的空啤酒瓶放置在桌面上，使得四个啤酒瓶底中心的距离两两相等，请写出摆法关键步骤（可画图辅助说明）：___________________________________________________．【答案】先将三个空啤酒瓶放置成底面中心成“正三角形”的位置，再将一个空啤酒瓶倒置放在这个三角形中心P的位置，保持中心P的位置不变，适当移动三个底朝下的空啤酒瓶，放大或缩小“正三角形”，可使瓶底中心构成四个边长相等的“正三角形”如图（答案不唯一）．（第8题）（第7题）8．（俄罗斯萨温市竞赛题）方格纸上有3个图形，你能沿着格线把每一个图形都分成完全相同的两个部分吗？【答案】9．（“希望杯”邀请赛试题）有依次排列的3个数：3，9，8．对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，1-，8，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也可以产生一个新数串：3，3，6，3，9，10-，1-，9，8．继续依次操作下去．问：从数串3，9，8开始操作至第100次以后所产生的那个新数串的所有数之和是多少？【答案】一个依次排列的n个数组成一个数串：123na a a a，，，，，依题设操作方法可得新增的数为：2132431n na a a a a a a a-----，，，，，则新增数之和为：2132()()a a a a-+-+ 4311()()n n na a a a a a--++-=-（※）原数串为3个数：3，9，8．第1次操作后所得数串为：3，6，9，1-，8，根据（※）可知，新增2项之和为：6+（1-）=5=83-，第2次操作后所得数串为：3，3，6，3，9，10-，1-，9，8，根据（※）可知，（第7题）新增4项之和为3+3+（10-）+9=5=8-3，按这个规律下去，第100次操作后所得新数串所有数的和为：（3+9+8）+100×（83-）=520． 10．（五城市联赛题）有三堆石子的个数分别是19，8，9，现在进行如下的操作：每次这三堆石子中的任意两堆中各取出1个石子，然后把这2个石子都加到另一堆中去，试问能否经过若干次这样的操作后，使得：（1）三堆石子的数分别是2，12，22； （2）三堆都是12．如能，请用最快的操作完成；不能，则说明理由[注：若从第一、二堆各取1个到第三堆，可表示为（19，8，9）⇒（18，7，11）等]． 【答案】（1）经过6次操作可达到要求：（19，8，9）⇒（21，7，8）⇒（23，6，7）⇒（25，5，6）⇒（24，4，8）⇒（23，3，10）⇒（22，2，12）．（2）不可能．因为每次操作后，每堆码数要么加2，要么少1，而19，8，9被3除余数分别为1，2，0，经过任何一次操作后余数分别是0，1，2，不可能同时被3整除． 11．（中国科技技术大学“少年班”招生入学试题）如图a 所示的展览馆有36个陈列室，每两个相邻陈列室之间有门可通，其人口与出口位置如图b 所示，现有人希望每个陈列都能参观，但只经过每个展室一次．这可能吗？如果可能，请为他设计一条参观路线；如果不能，请说明理由．ba入口展览大厅==进口出口【答案】不可能 我们设想36个展室都依次相间地铺上了两种颜色的地毯，则参观者无论怎样走法，只能按白→黑→白→黑→白→……的次序前进．因此，不管参观者怎样走法，第36次只能走到一间黑色地毯的展室，绝不可能走到铺白色地毯的展室出口．应用探究乐园12．（江苏省竞赛题）如图是一张“3×5”（表示边长分别为3和5）的长方形，现要把它分成若干边长为整数的长方形（包括正方形）纸片，并要求分得的任何两线纸片都不完全相同． （1）能否分成5张满足上述条件的纸片？ （2）能否分成6张满足上述条件下纸片？若能分，用“a ×b ”的形式分别表示出各张纸片的边长，并画出分割的示意图；若不能分，请说明理由．【答案】（1）把可分得的边长为整数的长方形按面积从小到大排列，有1×1，1×2，1×3，1×4，2×2，1×5，2×3，2×4，3×3，2×5，3×4，3×5．若能分成5张满足条件的纸片，因为其面积之和应为15，所以满足条件的有1×1、1×2、1×3、1×4、1×5（如图①）或1×1、1×2、1×3、2×2、1×5（如图②）（第12题）出口进口（第11题）图①图②（第12题）（2）若能分成6张满足条件的纸片，则其面积之和仍应为15，但上面排在前列的6个长方形的面积之和为1×1+1×2+1×3+1×4+2×2+1×5=19>15．所以分成6张满足条件的纸片是不可能的． 13．（河北省中考题）图形的操作过程（本题中四个矩形的水平方向的边长均为a ，竖直方向的边长均为b ）在图①中，将线段12A A 向右平移1个单位到12B B ，得到封闭图形1221A A B B （即阴影部分）； 在图②中，将折线123A A A 向右平移1个单位到123B B B ，得到封闭图形123321A A A B B B （即阴影部分）．（1）在图③中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移1个单位，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影；（2）请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积： 1S =_______，2S =_______，3S =_______；（3）联想与探索：如图④，在一块矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少？并说明你的猜想是正确的．图③33A B B A 22图④图①图②【答案】（1）略；（2）123S S S 、、的结果都是ab b -；（3）这是有关道路形状及草地面积的研究题，其中包含阅读、作图、计算及猜想等步骤．关键是探索：当道路由笔直到任意弯曲的变化中，矩形中空白部分（即草地）面积情况．猜想：依据前面的计算，无论小路怎么弯曲，可以猜想草地的面积仍然是ab b -．方法是将“小路”沿左右两个边界剪去，将其中一侧的草地平移一个单位向另一侧草地靠拢，得到一个新的矩形．此时，在新的矩形中，其纵向宽仍然是b ，其水平方向的长度变成了1a -，所以草地面积是(1)b a ab b -=-．设而不求（微探究）（第13题）字母示数是代数式的一个重要特征，是由算术跨越到代数的桥梁，是数学发展史上的一个飞跃．字线示数具有简明性、一般性，在求代数式的值、形成公式、解应用题等方面有广泛的应用． 为了沟通数量间的关系，或将有些不明朗的关系表示出来，我们需要设元，而所设的字母不能或不需要求出，这就是设而不求的基本涵义．例1 （四川省竞赛题）老师报出一个5位数，同学们将它的顺序倒排后得到的5位数减去原数，甲、乙、丙、丙的结果分别是34567，34056，23456，34956，老师判定4个结果中只有1个正确，答对的是_______．【答案】乙 所得差=11×[909(e a -)+90(d b -)]是11的倍数例2 （2012年湖北省恩施自治州中考题）某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失10%．假设不计超市其他费用，如果超市要想获得20%的利润，那么这种水果的售价在进价基础上应至少提高（ ）．A ．40%B ．33.4%C ．33.3%D ．30%【答案】B 设水果质量为m ，进价为a ，售价在进价的基础上至少提高x ，则101(1)20100100m x a ma ma⎛⎫-+- ⎪⎝⎭-，解得33.4%x ≈． 例3 （江苏省竞赛题）某地区的民用电，按白天时段和晚间规定了不同的单位．某户8月份白天时段用电量比晚间时段用电量多50%，9月份白天时段用电量比8月份白天时段用电量少60%，结果9月份的用电量虽比8月份的用电量多20%，但9月份的电费却比8月份的电费少10%．求该地区晚间时段民用电的单价比白天时段的单价低的百分数．【答案】设白天的单价为a 元/度，晚间的单价比白天低的百分数为x ，即晚间的单价为（1-x ）a 元/度，又设8月份晚间用电量为n 度，则8月份白天用电量为（1+50%）n =1.5n 度，8月份电费为1.5(1)(2.5)na x na x na +-=-元，9月份白天用电量为1.5(160%)0.6n n -=度，9月份晚间用电量为（ 1.5n n +）（120%+）-0.6 2.4n n =度，9月份电费为0.6 2.4(1)(3 2.4)na x na x na +-=-．由题意得，（3 2.4-x ）na =（2.5-x ）（110-%）na ，解得0.550%x ==．例4 从两个重量分别为12千克和8千克，且含铜的百分数不同的合金上切下重量相等的两块，把所切下的每块和另一块剩余的合金放在一起，熔炼后两个合金含铜的百分数相等．求所切下的合金的重量是多少千克？【答案】设所切下的合金的重量为x 千克，重12千克的合金的含铜百分数为p ，重8千克的合金的含铜百分数为()q p q ≠，于是有(12)(8)128xq x p xp x q-+-=，整理得()24()p q p x q p -=-．因为p q ≠，所以0p q -≠，因此 4.8x =，即所切下的合金重4.8千克．例5 （“华罗庚杯”邀请赛试题）能否找到7个整数，使得这7个整数沿圆周排成一圈后，任3个相邻数的和都等于29？如果能，请举一例；如果不能，请简术理由． 分析 假设存在7个整数1234567a a a a a a a ，，，，，，排成一圈后，满足题意，由此展开计算推理．若推得矛盾，则原假设不成立． 解 由题意aa 4a1232342929a a a a a a ++=++=……6717122929a a a a a a ++=++=将上述7式相加，得312345673()297a a a a a a a ++++++=⨯，12345672673a a a a a a a ∴++++++=，与1234567a a a a a a a ++++++为整数矛盾，故不存在满足题设要求的7个整数． 难解的结英国剑桥大学有一位数学家（真名叫道奇逊），用刘易士·卡洛尔的笔名写了不少非常有趣的科普读物，其中有一本《乱纷纷的结》，书中的每一章都叫做“绳结”，意即这些问题像绳结一样复杂难解，下面就是一个“绳结”的题目：例6 两个步行者正在急促地以每小时6千米的速度向山下走去，一个年轻人像羚羊似的边跳边走，他的同伴吃力地跟在后面．年轻人说，只怪我们上山的时候走得太慢了，每小时只走3千米．在平地的时候走得多快？他的同伴回答，在平路上每小时走4千米．年轻人说，能赶得上回去吃夜饭吗？同伴说，这要看我们了．我们3点钟出来，8点钟该我们回到旅馆的时候了．今天可真走了不少路．年轻人说，到底走了多少路呢？同伴不耐烦地说，你自己去想吧．题目就是这样，似乎条件不充分，你能解开这个“结”吗？解 设旅行都一共走过的路程为x 千米，上坡（或下坡）走过的路程为y 千米， 整个行程分为四段：走平路、上坡、下坡、再走平路．开始走平路所花的时间是124x y-小时，上坡所花的时间是3y 小时，下坡所花的时间是6y 小时，再走平路所花的时间是124x y -小时． 依题意可得方程：112254364x y x yy y --+++=， 原方程化简得15204x x ==，，故他们一共走了20千米． 练一练 1．（2012年“希望杯”邀请赛试题）已知23566914x y z y z x -=+=--，，则x y z ，，的平均数是_______．【答案】4932．（世界数学团体锦标赛试题）A B 、两校男生、女生人数的比分别为8∶7，30∶31，两校合并后男生、女生人数的比是27∶26．若用一位整数的比近似表示合并前A B 、两校的人数的比，则这个近似比是_______．【答案】453614≈ 3．（“希望杯”邀请赛试题）甲、乙两车从A 向B 行驶，甲比乙晚出发6小时，开始时甲、乙的速度比是4∶3．甲出发6小时后，速度提高1倍，甲、乙两车同时到达B ．则甲从A 到B 共走了_______小时．【答案】8.4 设甲出发6小时后再用t 小时即可追上乙，甲原速为u ，乙速为v ，由题设知当甲出发行驶6小时，乙已经行驶了12小时，故有(12)62t v u tu +=+，即12t +=(62)t u v +=(62t +)·u v =（6+2t ）·43，故363248 2.4t t t +=+=，（小时）．故甲共走了6+2.4=8.4（小时）．4．某服装厂生产某种定型冬装，9月份销售每件冬装的利润是出厂价的25%（每件冬装的利润=出厂价–成本），10月份将每件冬装的出厂价调低10%（每件冬装的成本不变），销售件数比9月份增加80%，那么该厂10月份销售这种冬装的利润总额比9月份的利润总额增长（ ）．A ．2%B ．8%C ．40.5%D ．62%【答案】B 设9月份每件冬装的出厂价为x 元，则每件成本为0.75x 元，10月份每件冬装的利润为（1-10%）0.75x x -=0.15x 元，又设9月份销售冬装m 件，则10月份销售冬装（1+80%）m =1.8m 件，故10月份的利润总额与9月份相比，增长0.15 1.80.258%0.25x m xmxm⋅-=．5．（“希望杯”邀请赛试题）甲、乙、丙、丁四人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为29，23，21和17，则这四人中最大年龄与最小年龄的差是（ ）． A ．28 B ．27 C ．19 D ．18 【答案】D 6．（“希望杯”邀请赛试题）一辆汽车从A 地匀速驶往B 地，如果汽车行驶的速度增加%a ，则所用的时间减少6%，则a b 、的关系是（ ）． A ．1001%a b a =+ B ．1001%b a =+ C ．1a b a =+ D ．100100ab a=+【答案】D 设A B 、两地之间的距离为S ，汽车行驶的速度为v ，汽车从A 地到B 地所用的时间为t ，则(1%)(1%)S vt v a t b ==+-． 7．（环求城市数学奥林匹克试题）如图3×3数表各行、各列及两条对角线之和彼此相等，设为S ．求证：（1）S =3e ；（2）2()4a c g i b d f h e +++=++++．【答案】（1）S a e i b e h c e g d e f =++=++=++=++， 相加得43S a b c d e f g h i i e =++++++++++，故3S e =． （2）S a b c b e h =++=++，故a c e h +=+，同理a g e f g i e b c i e d +=++=++=+，，，四式相加得2()4a c g i b d f h e +++=++++．8．（湖北省黄冈市竞赛题）在一次数学竞赛中，组委会决定用NS 公司赞助的款购买一批奖品．若以1台NS 计算器和3本《数学竞赛讲座》书为一份奖品，则可买100份奖品；若以1台NS 计算器和5本《数学竞赛讲座》书为一份奖品，则可买80份奖品．问这笔钱全部用来购买计算器或《数学竞赛讲座》书，可各买多少？【答案】设每台计算器x 元，每本《数学竞赛讲座》书y 元，则100(3)x y +=80（5x y +），d i h g fe c b a解得5x y =，故可购买计算器100(3)10085x y yx y+⨯==160（台）， 书100(3)1008800()x y yy y+⨯==本． 9．（河北省中考题）甲、乙二人分别从A B 、两地出发，相向而行．若同时出发，经24分钟相遇；若乙比甲提前10分钟出发，甲出发20分钟与乙相遇．求甲从A 地到B 地、乙从B 地到A 地各需多少分钟？ 【答案】40分钟、60分钟 10．（广州市中考题）在车站开始检票时，有(0)a a >名旅客在候车室排队等候检票进站，检票开始后，仍有旅客继续前来排队等候检票进站．设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的．若开放一个检票口，则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则只需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；现在要求在6分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以使后来到站的旅客能随时随检，问需要同时开放几个检票口？【答案】设需要开放x 个窗口，每个窗口每分钟检出的人数是c ，每分钟来排队的人数是b ，则30301021066a b c a b c a b cx +=⎧⎪+=⨯⎨⎪+=⎩①②③由①，②得302a b c b ==，．将302a b c b ==，带入③，得3x =．借助图形思考（微探究）数学是研究数量关系与空间形式的科学，数与形，以及数和形的关联与转化，这是数学研究的永恒主题．当代美国数学家斯蒂恩说：“如果一个特定的问题可以被转化为一个图形，那么思维就整体地把握了问题，并能创造性地思考问题．”现阶段借助图形思考主要体现为：通过构造图形或拼图解与数量关系相关联的问题．例 1 A B C D E F 、、、、、六个足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天时，统计出A B C D E 、、、、五队已分别比赛了5、4、3、2、1场球，则这没有与B 队比赛的球队是_______．【答案】E 队D例2 （山东省威海市中考题）古希望常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图①中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，故将其称为三角形数．类似地，称图②中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数．下列数中，既是三角形数，又是正方形数的是（ ）．A ．289B ．1024C ．1225D ．1378图②图①……1361014916【答案】C 图①中第n 个图共有石子1+2+…+n =(1)2n n +（个），图②中第n 个图共有石子2n （个），1225=249501225352⨯=，． 例3 （浙江省衢州市中考题）有足够多的长方形和正方形卡片，如下图：（1）如果选取的1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙），请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义．122333______________________________________________________________________________ 这个长方形的代数意义是___________________________________________________ （2）小明想用类似方法解释多项式乘法（3a b +）（2a b +）=22273a ab b ++，那么需要用2号卡片_______张，3号卡片_______张．【答案】（1）或2232()(2)a ab b a b a b ++=++．（2）3；7 眼见亦可为虚例4 一只小渔船在海上遇到了台风，触到礁石上，船身撞出了一个窟窿．如果不把它堵上，渔船就有沉淀的危险．船中只有一块边长是8cm 的正方形木板．但是和船的窟窿相比，木板的面积少1cm 2．怎么办好呢？正在焦急当中，有一个船员用锯把这块正方形的木板裁开（如下图），然后用胶粘接拼成了长方形木板．13×5=65 (cm 2)8×8-64 (cm 2)5855333①②③④④③②①从图中的计算可知：原来的正方形木板的面积是64cm 2，可是改成长方形以后的木板的面积却变成了65cm 2了，正好多出1cm 2．船员赶紧把它堵在窟窿上，避免渔船的沉没．可是大家都感到惊奇的是，这1cm 2是从哪里多出来的呢，你能告诉他们吗？ 【答案】如图，形成“对角线”的三角形之边与梯形之边不在同一条直线上，则180αβ+≠︒，这便函是问题的症结所在．横看成岭侧成峰例5 21()()()()()()24222a b a b a b a b a b a b a b +-⎡⎤-=+-=+-⨯=⨯⨯⎢⎥⎣⎦． 下面的图形，形象直观验证了平方差公式：baaa b abb a柳卡趣题例6 法国数学家柳卡·施斗姆生于瑞士，因数学上的成就，于1836年当选为法国科学院院士，他对射影几何与微分几何研究都作出了重要贡献．在某次国际科学会议期间，一次有许多著名数学家参加的晚宴上，他提出了如下的一个轮船问题，人们称它为“柳卡趣题”． 每天中午有一艘轮船从法国巴黎的勒阿佛尔开往美国的纽约，且每天同一时间也有一艘轮船从纽约开往勒阿佛尔．轮船在途中需要七天七夜．假定所有轮船都以同一航线、同速匀速行驶，问某艘从勒阿佛尔开出的轮船，在到达纽约时，能遇到几艘从纽约开来的轮船？ 这个问题难倒了在场的所有数学家，连柳卡本人也没有彻底解决．后来有一位数学家通过构图解法，才能使问题最终得以解决． 解 用“时间—路程图”解答．日期171234567891011121314151616151413121110987654321纽约日期勒阿佛尔17从图上可以很清楚地看到，某艘从勒阿佛尔开出的轮船，在中途可以遇到13艘从纽约开来的轮船，加上开航时与到达时相遇的2艘，因此一共遇到了15艘从纽约开出的轮船． 练一练 1．（浙江省湖州市中考题）如图，甲类纸片是边长为2的正方形，乙类纸片是边长为1的正方形，丙类纸片是长、宽分别为2和1的长方形，现有甲类纸片1张，乙类纸片4张，则应至少取丙类纸片_______张，才能用它们拼成一个新的正方形．【答案】4 设至少取丙类纸片n 张，新的正方形边长为a ，则2222142n a +⨯+=． 2．（四川省眉山市中考题）有若干张如图①所示的正方形和长方形卡片，如果要拼一个长为（2a b +），宽为（a b +）的矩形，则需要A 类卡片_______张，B 类卡片_______张，C 类卡片_______张，请你在图②中的大矩形中画出一种拼法．【答案】2；1；3 拼法略3．小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形如图①所示，恰好可以拼成一个大的长方形． 小红看见了，说：“我来试一试．”结果七拼八凑，拼成如图②那样的正方形．咳，怎么中间还留下了一个边长为2mm 的正方形洞！你能帮他们解开其中的奥秘吗？【答案】图①的面积为2480mm ，图②的面积为4842mm ． 4．（江苏省盐城市中考题）如图①，现有a ×a 、b b ⨯的正方形纸片和a b ⨯的矩形纸片各若干块，试选用这些纸片（每种纸片至少用一次）在下面的虚线方框中拼成一个矩形（每两个纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须丙乙甲Ca+b2a+b图①图②a A a B bb （第3题）图①图②（第4题）ba ab b a保留拼图痕迹），使拼出的矩形面积为22252a ab b ++，并标出此矩形的长和宽．【答案】22252(2)(2)a ab b a b a b b a ++=++>，，矩形的长为2a b +，宽为2a b +，给出如图所示的两种拼法．babba abba b b a5．用新方法解释旧模式常会推导绝妙的公式．请你依下列图形直观分别写出相应公式．图③3333图①图②图③3+=图④【答案】（1）(1)123;2n n n +++++=（2）2135(21)n n ++++-=； （3）333212(12)n n +++=+++；（4）2223(12)(12)(21)n n n +++=++++，代入1+2+…+n =(1)2n n +， 得22212n +++=(1)(21)2n n n ++．6．（安徽省芜湖市竞赛题）如图，九块大小不等的正方形纸片A B ，，…，I 无重叠、无缝隙地铺满了一块长方形，已知E 的边长为7，求其余各正方形的边长． 【答案】设a b c h i ，，，，，分别表示正方形A B C ，，，H I ，，的边长，由其相互位置可得到8个线性无关（独立）的方程，从该方程组不难解得：B CD EF G H AI。