江西省上饶中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题（特零班）
考试时间: 120分钟 分值：150分
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知复数2
3()z m m mi m =-+∈R 为纯虚数，则m =（ ）
A.0
B.3
C.0或3
D.4
2．某校高一年级从815名学生中选取30名学生参加庆祝建党98周年的大合唱节目，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从 815 人中剔除5人，剩下的810人再按系统抽样的方法抽取，则每人入选的概率（ ） A ．不全相 B ．均不相等 C ．都相等，且为
6163
D ．都相等，且为1
27
3．已知数列{}n a 中，3=2a ，7=1a ．若数列1
{}n
a 为等差数列，则9=a ( ) A.
12 B.
54
C.
45 D.45
- 4．若数列{}n a 是等差数列，12...n
n a a a b n
+++=，则数列{}n b 也为等差数列，类比这一
性质可知，若{}n c 是正项等比数列，且{}n d 也是等比数列，则n d 的表达式应为（ ） A.12...n
n c c c d n
+++=
B.12....n
n c c c d n
=
C.n d =
D.n d =5．若x ，y 满足|1|x y ≤-，且y ≥−1，则3x+y 的最大值为（ ） A ．−7 B ．1 C ．5 D ．7
6．定积分
2
2
x
e dx =⎰
（ ）
A ．2e
B ．1e -
C ．22e -
D ．
1122
e - 7．已知函数()ln
f x x x a =+在点()()
1,1f 处的切线经过原点，则实数a =（ ） A ．1-
B ．0
C ．
1
e
D ．1 8．如图，线段MN 是半径为2的圆O 的一条弦，且MN 的长为2.在圆O 内，将线段MN 绕N 点按逆时针方向转动，使点M 移动到圆O 上的新位置，继续将线段MN 绕M 点按逆时针方向转动，使点N 移动到圆O 上的新位置，依此继续转动……点M 的轨迹所围成的区域是图中阴影部分.若在圆O 内随机取一点，则此点取自阴影部分内的概率为（ ）
A ．4π-
B ．12π
-
C ．2
π-
D ．
2π
9．执行如图所示的程序框图，若将判断框内“100?S >”改为关于n 的不等式“0?n n ≥”，且要求输出的结果不变，则正整数0n 的取值为（ ） A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
10．()6
211x x x ⎛⎫-- ⎪⎝
⎭展开式中的常数项为（ ） A ．35-
B ．5-
C ．5
D ．35
11．定义平面凸四边形为平面上没有内角度数大于
的四边形，在平面凸四边形中，
，
，
，
，设
，则的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
12．已知函数()x
a f x e x
-=
-（a R ∈且0x >），若存在实数p ，q （p q <），使得()0
f x ≤的解集恰好为[],p q ，则a 的取值范围是（ ） A ．10,e
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
B ．1,e
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
C ．10,
e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

）
13．某工厂生产A ，B ，C 三种不同型号的产品，产量分别为400，800，600件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取90件进行检验，则应从C 种型号的产品中抽取________件.
14．函数y x =与函数1
2y x =在第一象限的图象所围成封闭图形的面积是_____． 15．安排,,,,,A B C D E F 六名义工照顾甲、乙、丙三位老人，每两位义工照顾一位老人．考虑到义工与老人住址距离问题，义工A 不安排照顾老人甲，义工B 不安排照顾老人乙，安排方法共有___________．
16．在数列{}n a 中，1253a a +=，()()
11280n n n a na n N *
+--+=∈，若
()12n n n n b a a a n N *++=⋅⋅∈，则{}n b 的前n 项和取得最大值时n 的值为__________．
三、解答题（17题10分，18-22题，每题12分，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．若0a >，0b >，且(1a b +=． （1）求ab 的最大值；
（2）是否存在,a b ，使得1123a b +
18．已知等比数列{}n a 的公比0q >，其前n 项和为n S ，且562S =，4a ，5a 的等差中项
为33a 。

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()2221
log log n n n b a a +=，数列{}n b
的前n 项和为n T ，求n T ．
19．如图所示，在ABC ∆中，点D 在边AB 上，CD BC ⊥
，AC =5CD =，
2BD AD =.
（1）求cos ADC ∠的值； （2）求ABC ∆的面积
.
20．已知函数3
()32f x x ax =-+，曲线()y f x =在1x =处的切线方程为30x y m ++=.
（Ⅰ）求实数a ，m 的值；
（Ⅱ）求()f x 在区间[1,2]上的最值.
21．已知函数().x
f x ae x a =-++ （1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）若函数()f x 恰好有2个零点，求实数a 的取值范围.
22．某医药开发公司实验室有(
)*
n n N
∈瓶溶液，其中()m m N ∈瓶中有细菌R ，现需要
把含有细菌R 的溶液检验出来，有如下两种方案： 方案一：逐瓶检验，则需检验n 次；
方案二：混合检验，将n 瓶溶液分别取样，混合在一起检验，若检验结果不含有细菌R ，则n 瓶溶液全部不含有细菌R ；若检验结果含有细菌R ，就要对这n 瓶溶液再逐瓶检验，此时检验次数总共为1n +.
(1)假设52n m ==，，采用方案一，求恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌R 的概率；
(2)现对n 瓶溶液进行检验，已知每瓶溶液含有细菌R 的概率均为(01)P p ≤≤. 若采用方案一.需检验的总次数为ξ,若采用方案二.需检验的总次数为η. (i )若ξ与η的期望相等.试求P 关于n 的函数解析式()P f n =; (ii )若4
11-
-=e
P ，且采用方案二总次数的期望小于采用方案一总次数的期望.求n 的最大
值.
参考数据：ln 20.69,ln3 1.10,ln5 1.61,ln 7 1.95≈≈≈=。