❖ 旋涡（vortex,有旋流动）在自然界普遍存在 ❖ 旋涡（有旋流动）的产生和变化对流体运动有重 要的影响
中国海洋大学
高等流体力学
王树青
中国海洋大学
高等流体力学
王树青
中国海洋大学
空中看鸣门海峡
高等流体力学
王树青
中国海洋大学
空中看鸣门海峡
高等流体力学
王树青
中国海洋大学
高等流体力学
王树青
卫星云图：气旋
涡束：截面无限小的涡管称为微元涡管。涡管中充满着的 作旋转运动的流体称为涡束，微元涡管中的涡束称为微元 涡束或涡丝。
中国海洋大学
高等流体力学
王树青
一. 涡量、涡线、涡管、涡通量
❖ 涡通量和涡管强度
涡通量：在流场中取某曲面A，则涡量的面积分称为涡通量。
对应流量 I Ω ndA n该平面的法向量
中国海洋大学
高等流体力学
王树青
四. 旋涡随时间的变化规律
❖ 速度环量的时间变化率
Lu dL
d dt
L
du dt
dL
z
证明过程略
o x
中国海洋大学
高等流体力学
L’ L
y
王树青
四. 旋涡随时间的变化规律
❖ 开尔文速度速度环量定理
定理：理想、正压流体在有势的质量力作用下，沿任何封闭 流体周线的速度环量不随时间变化：
2. 推广到有多个孤立涡管的情况；
中国海洋大学
高等流体力学
王树青
三. 旋涡随空间的变化规律
❖ 涡管强度守恒定理：
同一时刻、同一涡管上任一截面的涡通量是相同的，即 涡管强度保持不变。
证明：于某时刻，任取涡管如图
截面A1、A2和侧面A3（涡面）组成封闭曲面A，其体积为
V
ndA dV 0
( u) 0
A
涡管强度：通过涡管任一截面的涡通量 称为该涡管的涡管强度。
中国海洋大学
高等流体力学
王树青
二. 速度环量和斯托克斯定理
❖ 速度环量
速度环量：流场中流速沿任一封闭曲线L的线积分
udL
L
L ux dx u y dy uz dz
速度环量是一代数量，它的正负与速度的方向和线积 分的绕行方向有关。对非定常流动，速度环量是一个瞬 时的概念，应根据同一瞬时曲线上各点的速度计算，积 分时t为参变量。
涡线方程：
与速度场中的流线相对应
dr 0 dr 0
dx dy dz x y z
dx dy dz
x y z
中国海洋大学
高等流体力学
王树青
一. 涡量、涡线、涡管、涡通量
❖ 涡管
与流场中的流管相对应
涡管：在涡量场中任取一不是涡线的封闭曲线，在同一时 刻过该曲线每一点的涡线形成的管状曲面称作涡管
第五章 有旋运动和无旋运动
中国海洋大学
高等流体力学
王树青
第五章 有旋运动和无旋运动
§5.1 有旋运动 §5.2 旋涡的诱导速度 §5.3 卡门涡街 §5.4 有势流动 §5.5 理想不可压流体恒定平面势流 §5.6 流网的特征及其绘制 §5.7 基本的平面势流 §5.8 势流叠加原理
5.1 有旋流动
A
V
n1dA n2dA n3dA 0 n3
A1
A2
A3
中国海洋大学
n1
n1
A3
A 高等流体力学
1
n2 A2
王树青
三. 旋涡随空间的变化规律
❖ 涡管强度守恒定理：
n1dA n2dA 0
A1
A2
将A1的外法线n1改为内法线n1’ ，使其与n2方向一致，则
n1dA n2dA
uz x
z
u y x
ux y
在流场的全部或部分存在角速度的场，称为涡量场。如同在
速度场中引入了流线、流管、流束和流量一样。在涡量场中同样
也引入涡线、涡管、涡束和旋涡强度的概念。 与流场中的速度
中国海场洋相大学对应
高等流体力学
王树青
一. 涡量、涡线、涡管、涡通量
❖ 涡线
涡线：一条在有涡运动中反映瞬时旋转角速度方向的曲线， 即在某同一时刻，处于涡线上的所有各点的流体质点的角 转速方向都与该点的切线方向重合。

证明：
d dt
L
du dt
dL
0
du f 1 p
dt
理想流体粘度为 0，故N-S方程可 以写成此种形式
0
d dt
L
f
1
p
dL
L
f
dL
L
1
p
0
dL
d 0 dt
由于质量力以及是流体正压，故二者 环量为0
中国海洋大学
高等流体力学
王树青
四. 旋涡随时间的变化规律
❖ 开尔文速度速度环量定理
定理：理想、正压流体在有势的质量力作用下，沿任何封闭 流体周线的速度环量（涡通量、涡管强度）不随时间变化：
A1
A2
I1 I2
中国海洋大学
n1
A 高等流体力学
1
n3
n1
A3
n2 A2
王树青
三. 旋涡随空间的变化规律
❖ 涡管强度守恒定理：
元涡管，截面的法线方向与涡矢量方向一致，并认为为常数，则
ΩndA ΩdA const
结论：涡管截面不可能收缩为零，即涡管不能在流体中终止或 开始。 涡管的存在形式： （1）本身封闭；（2）两端位于边界或无穷远。
u dL ndA
A
1. 斯托克斯定理将线积分和 面积分联系起来；
2. 即将速度环量和旋涡强度 （涡通量）联系起来
中国海洋大学
高等流体力学
u dL u ndA A王树青
二. 速度环量和斯托克斯定理
❖ 斯托克斯定理：——双连通域
ndA C L
A
C
L
中国海洋大学
高等流体力学
王树青
北半球
中国海洋大学
高等流体力学
南半球
王树青
一. 涡量、涡线、涡管、涡通量
❖ 涡量
涡量用来描述流体微团的旋转运动。涡量的定义为：
Ω 2ω u
涡量的方向：微团的瞬时转动轴 涡量场：(x,y,z,t)---速度场的旋度
涡量是点的坐标和时间的函数。它在直角坐标系中的投影为：
x
uz y
u y z
y
ux z
速度环量是标量，有正负号，规定沿曲线逆时针绕行 的方向为正方向，沿曲线顺时针绕行的方向为负方向。 速度环量是旋涡强度的量度，通常用来描述旋涡场。
中国海洋大学
高等流体力学
王树青
二. 速度环量和斯托克斯定理
❖ 斯托克斯定理：联系速度环量和涡通量——单连通域
内容：沿包围单连通面域的有限封闭曲线的速度环量 等于通过此单连通域的涡通量。
二. 速度环量和斯托克斯定理
❖ 斯托克斯定理：——双连通域 处理：双连通域－－－转化为单连通域
ndA C L
A
C L
B E
中国海洋大学
高等流体力学
王树青
二. 速度环量和斯托克斯定理
❖ 孤立涡管情况
ndA C L
A
0 C I
I
C LA
C I
说明：
1. 沿涡管外任一围绕涡管的封闭曲线的速度环量等于该 孤立涡管的涡管强度；