第二十四章检测题(时间：100分钟满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．(2019·柳州)如图，A，B，C，D是⊙O上的点，则图中与∠A相等的角是DA．∠B B．∠C C．∠DEB D．∠D2．⊙O的半径为4 cm，点A到圆心O的距离OA＝6 cm，则点A与⊙O的位置关系为CA．点A在圆上B．点A在圆内C．点A在圆外D．无法确定3．(黔西南州中考)如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB＝8，OC＝5，则CD的长是CA．3 B．2.5 C．2 D．1第1题图第3题图第4题图第5题图4．(2019·宜昌)如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠OBC＝40°时，∠A的度数是A A．50°B．55°C．60°D．65°5．(2019·陕西)如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB 交于点C，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠F的度数是BA．20°B．35°C．40°D．55°6．(2019·遵义)圆锥的底面半径是5 cm，侧面展开图的圆心角是180°，圆锥的高是A A．53cm B．10 cm C．6 cm D．5 cm7．如图，圆形薄铁片与直角三角尺、直尺紧靠在一起平放在桌面上．已知铁片的圆心为O，三角尺的直角顶点C落在直尺的10 cm处，铁片与直尺的唯一公共点A落在直尺的14 cm处，铁片与三角尺的唯一公共点为B.下列说法错误的是CA．圆形铁片的半径是4 cm B．四边形AOBC为正方形C．弧AB的长度为4πcm D．扇形OAB的面积是4πcm2第7题图第8题图第9题图第10题图8．(2019·青岛)如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D.若AC＝BD＝4，∠A＝45°，则CD的长度为BA ．πB ．2πC ．22 πD ．4π9．(2019·云南)如图，△ABC 的内切圆⊙O 与BC ，CA ，AB 分别相切于点D ，E ，F ，且AB ＝5，BC ＝13，CA ＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是AA ．4B ．6.25C ．7.5D ．910．(2019·泸州)如图，等腰△ABC 的内切圆⊙O 与AB ，BC ，CA 分别相切于点D ，E ，F ，且AB ＝AC ＝5，BC ＝6，则DE 的长是DA ．31010B ．3105C ．355D ．655二、填空题(每小题3分，共15分)11．(2019·娄底)如图，C ，D 两点在以AB 为直径的圆上，AB ＝2，∠ACD ＝30°，则AD ＝1．第11题图 第13题图 第14题图 第15题图12．(2019·贺州)已知圆锥的底面半径是1，高是15 ，则该圆锥的侧面展开图的圆心角是90度．13．(2019·湘潭)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积＝12(弦×矢＋矢2).弧田是由圆弧和其所对的弦围成(如图中的阴影部分)，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理(当半径OC ⊥弦AB 时，OC 平分AB)可以求解．现已知弦AB ＝8米，半径等于5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为10平方米．14．(2019·盘锦)如图，△ABC 内接于⊙O ，BC 是⊙O 的直径，OD ⊥AC 于点D ，连接BD ，半径OE ⊥BC ，连接EA ，EA ⊥BD 于点F.若OD ＝2，则BC ＝4 5 ．15．(宁波中考)如图，正方形ABCD 的边长为8，M 是AB 的中点，P 是BC 边上的动点，连接PM ，以点P 为圆心，PM 长为半径作⊙P.当⊙P 与正方形ABCD 的边相切时，BP 的长为3或4 3 ．三、解答题(共75分)16．(8分)如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足P 是OB 的中点，CD ＝6 cm ，求直径AB 的长．解：∵AB ⊥CD ，∴PC ＝PD ，连接OC ，在Rt △OCP 中，设OC ＝x cm ，则有OP 2＋PC 2＝OC 2，∴(12x)2＋32＝x 2，∵x ＞0，∴x ＝2 3 ，所以直径AB 为4 3 cm17．(9分)(2019·长春)如图，四边形ABCD 是正方形，以边AB 为直径作⊙O ，点E 在BC 边上，连接AE 交⊙O 于点F ，连接BF 并延长交CD 于点G.(1)求证：△ABE ≌△BCG ；(2)若∠AEB ＝55°，OA ＝3，求BF 的长．(结果保留π)解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，AB 为⊙O 的直径，∴∠ABE ＝∠BCG ＝∠AFB ＝90°，∴∠BAF ＋∠ABF ＝90°，∠ABF ＋∠EBF ＝90°，∴∠EBF ＝∠BAF ，在△ABE与△BCG 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAF ＝∠EBF ，AB ＝BC ，∠ABE ＝∠BCG ，∴△ABE ≌△BCG(ASA ) (2)如图，连接OF ，∵∠ABE ＝∠AFB ＝90°，∠AEB ＝55°，∴∠BAE ＝90°－55°＝35°，∴∠BOF ＝2∠BAE ＝70°，∵OA ＝3，∴BF 的长＝70π×3180 ＝7π618．(9分)(2019·邵阳)如图，在等腰△ABC 中，∠BAC ＝120°，AD 是∠BAC 的角平分线，且AD ＝6，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧EF ，交AB 于点E ，交AC 于点F.(1)求由弧EF 及线段FC ，CB ，BE 围成图形(图中阴影部分)的面积；(2)将阴影部分剪掉，余下扇形AEF ，将扇形AEF 围成一个圆锥的侧面，AE 与AF 正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高h.解：(1)∵在等腰△ABC 中，∠BAC ＝120°，∴∠B ＝30°，∵AD 是∠BAC 的角平分线，∴AD ⊥BC ，BD ＝CD ，∴BD ＝ 3 AD ＝6 3 ，∴BC ＝2BD ＝12 3 ，∴由弧EF 及线段FC ，CB ，BE 围成图形(图中阴影部分)的面积＝S △ABC －S 扇形EAF ＝12×6×12 3 －120π·62360 ＝36 3 －12π (2)设圆锥的底面圆的半径为r ，根据题意得2πr ＝120π·6180 ，解得r＝2，这个圆锥的高h＝62－22＝4 219．(9分)(2019·雅安)如图，已知AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，OE∥AC交BC于E，过点B作⊙O的切线交OE的延长线于点D，连接DC并延长交BA的延长线于点F.(1)求证：DC是⊙O的切线；(2)若∠ABC＝30°，AB＝8，求线段CF的长．解：(1)如图，连接OC，∵OE∥AC，∴∠1＝∠ACB，∵AB是⊙O的直径，∴∠1＝∠ACB＝90°，∴OD⊥BC，由垂径定理得OD垂直平分BC，∴DB＝DC，∴∠DBE＝∠DCE，又∵OC＝OB，∴∠OBE＝∠OCE，即∠DBO＝∠OCD，∵DB为⊙O的切线，OB是半径，∴∠DBO＝90°，∴∠OCD＝∠DBO＝90°，即OC⊥DC，∵OC是⊙O的半径，∴DC是⊙O的切线(2)在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，∴∠3＝60°，又OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠COF＝60°，在Rt△COF中，∠F＝30°，CF＝ 3 OC.∴CF＝4 320．(9分)(2019·铜仁)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，BE是⊙O的直径，连接BF，延长BA，过F作FG⊥BA，垂足为G.(1)求证：FG是⊙O的切线；(2)已知FG＝2 3 ，求图中阴影部分的面积．解：(1)证明：如图，连接OF，AO，∵AB＝AF＝EF，∴AB＝AF＝EF，∴∠ABF＝∠AFB＝∠EBF＝30°，∵OB＝OF，∴∠OBF＝∠BFO＝30°，∴∠ABF＝∠OFB，∴AB∥OF，∵FG⊥BA，∴OF⊥FG，∴FG是⊙O的切线(2)∵AB＝AF＝EF，∴∠AOF ＝60°，∵OA ＝OF ，∴△AOF 是等边三角形，∴∠AFO ＝60°，∴∠AFG ＝30°，∵FG ＝2 3 ，∴AF ＝4，∴AO ＝4，∵AF ∥BE ，∴S △ABF ＝S △AOF ，∴图中阴影部分的面积＝60π×42360 ＝8π321．(10分)(2019·江西)如图1，AB 为半圆的直径，点O 为圆心，AF 为半圆的切线，过半圆上的点C 作CD ∥AB 交AF 于点D ，连接BC.(1)连接DO ，若BC ∥OD ，求证：CD 是半圆的切线；(2)如图2，当线段CD 与半圆交于点E 时，连接AE ，AC ，判断∠AED 和∠ACD 的数量关系，并证明你的结论．解：(1)证明：如图1，连接OC ，∵AF 为半圆的切线，AB 为半圆的直径，∴AB ⊥AD ，∵CD ∥AB ，BC ∥OD ，∴四边形BODC 是平行四边形，∴OB ＝CD ，∵OA ＝OB ，∴CD ＝OA ，∴四边形ADCO 是平行四边形，∴OC ∥AD ，∵CD ∥BA ，∴CD ⊥AD ，∵OC ∥AD ，∴OC ⊥CD ，∴CD 是半圆的切线 (2)∠AED ＋∠ACD ＝90°，理由：如图2，连接BE ，∵AB 为半圆的直径，∴∠AEB ＝90°，∴∠EBA ＋∠BAE ＝90°，∵∠DAE ＋∠BAE ＝90°，∴∠ABE ＝∠DAE ，∵∠ACE ＝∠ABE ，∴∠ACE ＝∠DAE ，∵∠ADE ＝90°，∴∠DAE ＋∠AED ＝∠AED ＋∠ACD ＝90°22．(10分)(河南中考)如图，AB 为半圆O 的直径，点C 为半圆上任一点．(1)若∠BAC ＝30°，过点C 作半圆O 的切线交直线AB 于点P.求证：△PBC ≌△AOC ；(2)若AB ＝6，过点C 作AB 的平行线交半圆O 于点D .当以点A ，O ，C ，D 为顶点的四边形为菱形时，求BC 的长．解：(1)∵AB 为半圆O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∵∠BAC ＝30°，∴∠ABC ＝60°，∵OB ＝OC ，∴△OBC 是等边三角形，∴OC ＝BC ，∠OBC ＝∠BOC ＝60°，∴∠AOC ＝∠PBC ＝120°，∵CP 是⊙O 的切线，∴OC ⊥PC ，∴∠OCP ＝90°，∴∠ACO ＝∠PCB ，在△AOC 和△PBC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ACO ＝∠PCB ，OC ＝BC ，∠AOC ＝∠PBC ，∴△AOC ≌△PBC(ASA )(2)如图①，连接OD ，AD ，CD ，∵四边形AOCD 是菱形，∴OA ＝AD ＝CD ＝OC ，则OA ＝OD ＝OC ，∴△AOD 与△COD 是等边三角形，∴∠AOD ＝∠COD ＝60°，∴∠BOC ＝60°，∴BC 的长＝60π×3180＝π；如图②，同理∠BOC ＝120°，∴BC 的长＝120π×3180 ＝2π，综上所述，BC 的长为π或2π23．(11分)(淮安中考)问题背景：如图①，在四边形ADBC 中，∠ACB ＝∠ADB ＝90°，AD ＝BD ，探究线段AC ，BC ，CD 之间的数量关系．小吴同学探究此问题的思路是：将△BCD 绕点D ，逆时针旋转90°到△AED 处，点B ，C 分别落在点A ，E 处(如图②)，易证点C ，A ，E 在同一条直线上，并且△CDE 是等腰直角三角形，所以CE ＝ 2 CD ，从而得出结论：AC ＋BC ＝ 2 CD.简单应用：(1)在图①中，若AC ＝ 2 ，BC ＝2 2 ，则CD ＝3；(2)如图③，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙上，AD ︵ ＝BD ︵ ，若AB ＝13，BC ＝12，求CD 的长；拓展规律：(3)如图④，∠ACB ＝∠ADB ＝90°，AD ＝BD ，若AC ＝m ，BC ＝n(m ＜n)，求CD 的长．(用含m ，n 的代数式表示)解：(1)由题意知：AC ＋BC ＝ 2 CD ，∴ 2 ＋2 2 ＝ 2 CD ，∴CD ＝3(2)连接AC ，BD ，AD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝∠ACB ＝90°，∵AD ＝BD ，∴AD ＝BD ，将△BCD 绕点D 顺时针旋转90°到△AED 处，如图1，∴∠EAD ＝∠DBC ，∵∠DBC ＋∠DAC ＝180°，∴∠EAD ＋∠DAC ＝180°，∴E ，A ，C 三点共线，∵AB ＝13，BC ＝12，∴由勾股定理可求得AC ＝5，∵BC ＝AE ，∴CE ＝AE ＋AC ＝17，∵∠EDA ＝∠CDB ，∴∠EDA ＋∠ADC ＝∠CDB ＋∠ADC ，即∠EDC ＝∠ADB ＝90°，∵CD ＝ED ，∴△EDC 是等腰直角三角形，∴CE ＝ 2 CD ，∴CD ＝1722(3)以AB 为直径作⊙O ，连接OD 并延长交⊙O 于点D 1，连接D 1A ，D 1B ，D 1C ，如图2，由(2)的证明过程可知：AC ＋BC ＝ 2 D 1C ，∴D 1C ＝2（m ＋n ）2，又∵D 1D 是⊙O 的直径，∴∠DCD 1＝90°，∵AC ＝m ，BC ＝n ，∴由勾股定理可求得：AB 2＝m 2＋n 2，∴D 1D 2＝AB 2＝m 2＋n 2，∵D1C 2＋CD 2＝D 1D 2，∴CD 2＝m 2＋n 2－（m ＋n ）22 ＝（m －n ）22 ，∵m ＜n ，∴CD ＝2（n －m ）2。