x8 5·
0x00－48＝32，
当且仅当5x＝8 0x00，即 x＝200 时取等号．
∴年产量为 200 吨时，每吨平均成本最低，最低为 32 万元．
(2)设可获得总利润为 R(x)万元， 则 R(x)＝40x－y＝40x－x52＋48x－8 000 ＝－x52＋88x－8 000 ＝－15(x－220)2＋1 680 (0≤x≤210)． ∵R(x)在[0,210]上是增函数，∴x＝210 时， R(x)有最大值为－15(210－220)2＋1 680＝1 660. ∴年产量为 210 吨时，可获得最大利润 1 660 万元．
第二章 函数、导数及其应用
第9节 函数模型及应用
1．了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合 具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型 增长的含义．
2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段 函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．
[要点梳理] 1．几类函数模型及其增长差异 (1)几类函数模型
C．3 小时
D．2 小时
[解析] 212＝4096，分裂了 12 次．

[答案] C
3．某种动物繁殖量 y(只)与时间 x(年)的关系为 y＝alog3(x
＋1)，设这种动物第 2 年有 100 只，到第 8 年它们发展到( )
A．200 只
B．300 只
C．400 只
D．500 只
[解析] 由已知得 100＝alog3(2＋1)，得 a＝100，
f(x)＝axn＋b(a，b 为常数，a≠0)
(2)三种函数模型的性质
函数
性质
y＝ax(a＞1)
y＝logax(a＞1)
y＝xn(n＞0)
在(0，＋ ∞)上的增 减性
单调_递__增___
单调__递__增__
单调递增
增长速度 越来越快
越来越慢
相对平衡
随x的增大逐渐 图像的变化 表现为与__y_轴__
(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低， 并求最低成本；
(2)若每吨产品平均出厂价为 40 万元，那么当年产量为多 少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
思路点拨 (1)根据函数模型，建立函数解析式．(2)求函数 最值．
[解] (1)每吨平均成本为yx(万元)．
则yx＝5x＋80x00－48≥2
④幂函数增长比直线增长更快． ⑤指数函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化 量较大的实际问题中． 其中正确的命题是________．(写出所有正确命题的序号)
[解析] ①错误．当 x∈(0,2)和(4，＋∞)时，2x>x2，当 x∈
(2,4)时，x2>2x.
②正确．由两者的图像易知．
③错误．增长越来越快的指数型函数是 y＝a·bx＋c(a>0，
则当 x＝8 时，y＝100log3(8＋1)＝200(只)．故选 A.
[答案] A
4．给出下列命题： ①函数 y＝2x 的函数值在(0，＋∞)上一定比 y＝x2 的函数值 大． ②在(0，＋∞)上，随着 x 的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会 超过并远远大于 y＝xα(α>0)的增长速度． ③“指数爆炸”是指数型函数 y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1) 增长速度越来越快的形象比喻．
函数模型 一次函数模型 反比例函数模型
函数解析式 f(x)＝ax＋b(a、b 为常数，a≠0) f(x)＝kx＋b(k，b 为常数且 k≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0)
函数模型 指数函数模型
对数函数模型 幂函数模型
函数解析式 f(x)＝bax＋c(a，b，c 为常数，b≠0，a＞0 且 a≠1) f(x)＝blogax＋c(a，b，c 为常数，b≠0，a ＞0 且 a≠1)
b>1)．
④错误．幂函数 y＝xn(0<n<1，x>1)的增长速度比直线 y＝
x(x>1)的增长速度慢．
⑤正确．根据指数函数 y＝ax(a>1)函数值增长特点知⑤正
确．
[答案] ②⑤
5．(2015·安阳模拟)某工厂生产某种产品固定成本为 2 000 万元，并且每生产一单位产品，成本增加 10 万元．又知总收入 K 是单位产品数 Q 的函数，K(Q)＝40Q－210Q2，则总利润 L(Q) 的最大值是________万元．
拓展提高 二次函数是常用的函数模型，建立二次函数模 型可以求出函数的值域或最值．解决实际中的优化问题时，一 定要分析自变量的取值范围．利用配方法求最值时，一定要注 意对称轴与给定区间的关系：若对称轴在给定的区间内，可在 对称轴处取最值，在离对称轴较远的端点处取另一最值；若对 称轴不在给定的区间内，最值都在区间的端点处取得．
平行
随x的增大逐渐表 现为与_x_轴___平行
随n值变化而各有 不同
值的比较
存在一个x0，当x＞x0时，有logax＜xn＜ax
2．解函数应用问题的步骤(四步八字) (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初 步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为 符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)解模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义．
[基础自测]
1 ． (2015·南 昌 质 检 ) 往 外 埠 投 寄 平 信 ， 每 封 信 不 超 过 20
g，付邮费0.80元，超过20 g而不超过40 g，付邮费1.60元，依
此类推，每增加20 g需增加邮费0.80元(信的质量在100 g以
内)．如果某人所寄一封信的质量为 72.5 g，则他应付邮费
()
A．3.20元
B．2.90元
C．2.80元
D．2.40元
[解析] 由题意得 20×3<72.5<20×4，则应付邮费 0.80×4 ＝3.20(元)．故选 A.
[答案] A
2．某种细胞，每 15 分钟分裂一次(1→2)这种细胞由 1 个
分裂成 4096 个需经过( )
A．12 小时
B．4 小时
[解析] 由已知得 L(Q)＝K(Q)－10Q－2 000＝(40Q－210Q2)
－10Q－2 000＝－
1 20
(Q－300)2＋2 500，
所以当 Q＝300 时，L(Q)max＝2 500(万元)．
[答案] 2 500
考向一 二次函数模型 例 1 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品， 其生产的总成本 y(万元)与年产量 x(吨)之间的函数关系式可以 近似地表示为 y＝x52－48x＋8 000，已知此生产线年产量最大为 210 吨．