圆锥曲线的焦半径——角度式
一 椭圆的焦半径
设P 是椭圆22
221x y a b +=（0a b >>）上任意一点，F 为它的一个焦点，则
PFO θ∠=，则2
cos b PF a c θ
=
- 上述公式定义PFO θ∠=，P 是椭圆上的点，F 是焦点，O 为原点，主要优点是焦点在左右上下均适用，无需再单独讨论
证明：设PF m =，另一个焦点为F '，则PF FF FP ''=- 两边平方得：2
2
2
2PF FF FF FP FP '''=-⋅+ 即：222(2)44cos a m c cm m θ-=++
得：2
cos b PF a c θ
=-
1 过椭圆22
143
x y +=的右焦点F 任作一直线交椭圆于A 、B 两点，若AF BF +=
AF BF λ，则λ的值为
2 （2002全国理）设椭圆22
221x y a b
+=（0a b >>）的一个焦点F ，过F 作一条直
线交椭圆于P 、Q 两点，求证：11
PF QF
+为定值，并求这个定值
结论：椭圆的焦点弦所在的焦半径的倒数和为定值，即
2112a AF BF b
+=
3（2007重庆理）在椭圆22
221x y a b
+=（0a b >>）上任取三个不同的点1P ，2P ，3P ，
使122223321PF P P F P P F P ∠=∠=∠，2F 为右焦点，证明12
2232111
PF P F P F ++为定值，并求此定值
结论：若过F 作n 条夹角相等的射线交椭圆于1P ，2P ，
，n P ，则
21
211
1n na
PF P F P F b
+++
= 4 F 是椭圆2
212
x y +=的右焦点，由F 引出两条相互垂直的直线a ，b ，直线a 与
椭圆交于点A 、C ，直线b 与椭圆交于B 、D ，若1FA r =，2FB r =， 3FC r =，
4
FD r =，则下列结论一定成立的是（ ）
A 1234
r r r r +++=1234r r r r
+++=C
1234
1111r r r
r +++=12341111
r r r r +++=5 F 是椭圆22
143
x y +=的右焦点，过点F 作一条与坐标轴不垂直的直线交椭圆于
A 、
B ，线段AB 的中垂线l 交x 轴于点M ，则AB
FM
的值为
6（2010辽宁理）设椭圆C ：22
221x y a b
+=（0a b >>）的左焦点为F ，过点F 的
直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，2AF FB =
（1） 求椭圆C 的离心率 （2） 如果15
4
AB =，求椭圆C 的方程
7（2010全国Ⅱ理）已知椭圆C ：22
221x y a b
+=的离心率为2，过右焦点F 且斜
率为k （0k >）的直线与C 相交于A ，B 两点，若3AF FB =，则k =（ ）
8 已知椭圆C ：22
221x y a b
+=（0a b >>）的右焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C
相交于A ，B 两点，若2BF AF =，则椭圆的离心率e 的取值范围是（ ）
A 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦
B 0,2⎛ ⎝⎦
C 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭
D 1,13⎛⎫
⎪⎝⎭
9（2007全国Ⅰ理）已知椭圆22
132
x y +
=的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆于B ，D 两点，过2F 的直线交椭圆于A ，C 两点，且AC BD ⊥，求四边形ABCD 的面积的最小值
10（2005全国卷Ⅱ理）P ，Q ，M ，N 四点都在椭圆2
2
12
y x +=上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点，已知PF 与FQ 共线，MF 与FN 共线，且0PF MF ⋅=，
求四边形PQMN 面积的最大值和最小值
11 已知过椭圆22
1259
x y +
=左焦点1F 的弦（非长轴）交椭圆于A ，B 两点，2F 为右焦点，求使2F AB ∆的面积最大时直线AB 的方程
二 双曲线的焦半径
设P 是椭圆22
221x y a b -=（0a >，0b >）上任意一点，F 为它的一个焦点，
则PFO θ∠=，则2
cos b PF c a
θ=±
式中“±”记忆规律，同正异负，即当P 与F 位于轴的同侧时取正，否则取负，取PFO θ∠=，无需讨论焦点位置，上式公式均适用
1（2009全国Ⅱ理）已知双曲线C ：22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，
过F C 于A ，B 两点，
若4AF FB =，则C 的离心率为（ ） A 65 B 75 C 58 D 95
2 （2007重庆理）过双曲线224x y -=的右焦点F 作倾斜角为105°的直线交双曲线于P 、Q 两点，则FP FQ ⋅的值为
三 抛物线的焦半径
已知A 是抛物线C ：22y px =（0p >）上任意一点，F 为焦点，AFO θ∠=，则1cos p
AF θ
=
+
证明：PN 为准线，于是AF AN =，其中PF p =，cos FM AF θ=⋅ 于是cos AN PF FM P AF θ=-=- 所以cos AF P AF θ=- 故1cos p
AF θ
=+
1 过抛物线22y x =的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若11
1AF BF
-=，则直线l 的倾斜角θ（02
π
θ<≤）等于（ ）
A 2π
B 3π
C 4π
D 6
π
2（2008江西）过抛物线22x py =（0p >）的焦点F 作倾斜角为30°的直线与抛物线分别交于A ，B 两点（点A 在y 轴左侧），则
AF
FB
= 3（2008全国理）已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过F 且斜率为1的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，设FA FB >，则FA 与FB 的比值等于
4（2010重庆理）已知以F 为焦点的抛物线24y x =上的两点A ，B 满足
3AF FB =,，则弦AB 的中点到准线的距离为
5 已知抛物线24y x =，准线与x 轴交于E 点，过点E 的直线(1)y k x =+交抛物线于A ，B 两点，F 是焦点，且满足060AFB ∠=，求AB
6 已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线
1l 与C 交于A ，B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，则AB DE +的最小值为
7 抛物线1C ：2
2y px =和圆2C ：222()24
p p x y -+=，直线l 经过1C 的焦点，与1
C 交于A 、
D ，与2C 交于B 、C ，则AB CD ⋅的值为（ ）
A 24p
B 23p
C 2
2
p D 2p。