课堂互动讲练
ξ 0 2345 P 0.03 p1 p2 p3 p4
(1)求q2的值； (2)求随机变量ξ的数学期望Eξ； (3)试比较该同学选择都在B处投篮得 分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3 分的概率的大小．
课堂互动讲练
【思路点拨】 首先由P(ξ＝0)＝ 0.03计算出q2，从而可写出分布 列．本题便可求解．
课堂互动讲练
P(X≥7)＝P(X≤3) ＝12×[1－P(3＜X＜7)]， ＝12×(1－0.9544)＝0.0228， ∵P(4＜X＜6)＝0.6826， ∴P(5＜X＜6)＝12P(4＜X＜6) ＝0.3413.
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考点二 求离散型随机变量的均值与方差
求离散型随机变量X的均值与方差的步 骤：
【解】 (1)由题设知，“ξ＝0”对 应的事件为“在三次投篮中没有一次投 中”，由对立事件和相互独立事件性质 可知
P(ξ＝0)＝(1－q1)(1－q2)2＝0.03， 解得q2＝0.8.
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(2)根据题意 p1＝P(ξ＝2)＝(1－q1)C21(1－q2)q2 ＝0.75×2×0.2×0.8＝0.24. p2＝P(ξ＝3)＝q1(1－q2)2＝0.25×(1－ 0.8)2＝0.01. p3＝P(ξ＝4)＝(1－q1)q22＝0.75×0.82 ＝0.48. p4＝P(ξ＝5)＝q1q2＋q1(1－q2)q2 ＝0.25×0.8＋0.25×0.2×0.8＝0.24. 因此Eξ＝0×0.03＋2×0.24＋3×0.01 ＋4×0.48＋5×0.24＝3.63.
基础知识梳理
参数μ，σ在正态分布中的实际 意义是什么？
【思考·提示】 μ是正 态分布的期望，σ是正态分布 的标准差．
1．若随机变量X的分布列如下，则X 的数学期望是( )
X
0
1
P
p
A.p C．1
答案：B
q
B．q D．pq
三基能力强化
2．正态总体N(0,1)在区间(－2，－1)
和(1,2)上取值的概率为P1，P2，则( )
(1)理解X的意义，写出X的所有可能取 值；(2)求X取每个值的概率；(3)写出X的分布 列；(4)由均值的定义求EX；(5)由方差的定义 求DX.
另外，当随机变量X服从两点分布或二 项分布时，可不用列出分布列，直接由公式 求出EX和DX.
课堂互动讲练
例2 (2009年高考山东卷)在某学校组织的一
答案：1.24
三基能力强化
5．(2009年高考广东卷)已知离散型随 机变量X的分布列如下表．若EX＝0，DX ＝1，则a＝________，b＝________.
X －1 0 1 2
Pa 答案： 5 1
12 4
b
c
1 12
课堂互动讲练
考点一
正态分布
关于正态总体在某个区间内取值的 概率求法
(1)熟记P(μ－σ＜X≤μ＋σ)，P(μ－2σ ＜X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)的值．
第5课时 离散型随机变量的均 值与方差、正态分布
基础知识梳理
1．均值 (1)若离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn
基础知识梳理
则称EX＝ x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋ 离xn散pn型随为机随变机量变取量值X的的均值平或均数水学期平望，它．反映了
∴P(6＜X＜7)＝0.22718＝0.1359.
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【名师点评】 在利用对称性转 化区间时，要注意正态曲线的对称轴 是x＝μ，而不是x＝0(μ≠0)．
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互动探究
若其他条件不变，则P(X≥7)及P(5＜ X＜6)应如何求解？
解：由σ＝1，μ＝5， P(3＜X＜7)＝P(5－2×1＜X＜5 ＋2×1)＝0.9544，
(1)曲线位于x轴 上方 ，与x轴 不相交 ； (2)曲线是单峰的，它关曲线与x轴之间的面积为
1
σ 2π
；
；
基础知识梳理
(5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平
移；
(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确
定． σ越小 ，曲线越“瘦高”，表示总体的分 布越 集中 ； σ越大 ，曲线越“矮胖”， 表示总体的分布越 分散 ．
基础知识梳理
n
则称 DX＝ (xi－EX)2pi 为随机变
i＝1
量 X 的方差，其 算术平方根 DX 为随
机变量 X 的标准差，记作 σX .
(2)D(aX＋b)＝ a2DX .
(3)若X服从两点分布，则DX＝
p(1－p) ．
(4)若X～B(n，p)，则DX＝ np(1－p) ．
基础知识梳理
3．正态曲线的特点
次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3 次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进 一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即 停止投篮，否则投第三次．某同学在A处的 命中率q1为0.25，在B处的命中率为q2.该同 学选择先在A处投一球，以后都在B处投， 用ξ表示该同学投篮训练结束后所得的总分， 其分布列为
(2)充分利用正态曲线的对称性和曲 线与x轴之间的面积为1.
课堂互动讲练
例1
设X～N(5,1)，求P(6＜X＜7)．
【思路点拨】 利用正态分布的 对称性，P(6＜X＜7)＝P(3＜X＜4)．
课堂互动讲练
【解】 由已知μ＝5，σ＝1. ∵P(4＜X＜6)＝0.6826， P(3＜X＜7)＝0.9544. ∴P(3＜X＜4)＋P(6＜X＜7) ＝0.9544－0.6826＝0.2718. 如图，由正态曲线的对称性可得 P(3＜X＜4)＝P(6＜X＜7)
(2)若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也
是随机变量，且E(aX＋b)＝ aEX＋b . (3)①若X服从两点分布，则EX＝ p ；
②若X～B(n，p)，则EX＝ np.
基础知识梳理
2．方差 (1)设离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn
A．P1＞P2
B．P1＜P2
C．P1＝P2
D．不确定
答案：C
三基能力强化
3．一名射手每次射击中靶的概率为
0.8，则独立射击3次中靶的次数X的期望值
是( )
A．0.83
B．0.8
C．2.4
D．3
答案：C
三基能力强化
4．(教材习题改编)某人进行射击，每 次中靶的概率均为0.8，现规定：若中靶就 停止射击；若没有中靶，则继续射击．如 果只有3发子弹，则射击次数X的数学期望 为________．(用数字作答)