bn
而 bn 收敛 由比较法得 an 收敛
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例10
讨论 an n1 n p
的敛散性 ( p 0,a常数)
解
对级数 an
lim un1

n1 n
lim(
p
n
) p | a || a |
n un n n 1
| a | 1 | a | 1
un 同阶或 等价的无穷小
如

(
n

sin

n
)
lim
n
x
sin x3
x

1 6
记

un n sin n
vn

1 n3
则
un与 vn同敛散
⑦当所讨论的级数中含有参数时，一般都要
对参数的取值加以讨论
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数学分析教研组
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二、典型例题
例1 求极限
3n
lim
n
n!2n
解
考察正项级数
un
3n n!2n
lim un1 n un

lim
n
(n
3n1 1)!2n1
n!2n 3n
lim 3 0 1
n 2(n 1)
由检比法
3n n!2n
收敛
由级数收敛的必要条件得
发散 条件收敛
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关于常数项级数审敛
正项级数
由级数收敛的必要条件要使 un 收敛必须
un 0 但在一般项趋于 0 的级数中为什么有的收敛有 的却发散，问题的实质是级数收敛与否取决于
un 0 的阶
因此从原则上讲，比较法是基础，更重要更 基本，但其极限形式（包括极限审敛法）则 更能说明问题的实质，使用起来也更有效
f ( x) 1 1 0 ( x 1), 在 (1,) 上单增, x
即 1 单减, x ln x
故 1 当 n 1时单减, n ln n

un

n
1 ln n

(n

1)
1 ln(n

1)Biblioteka un1(n

1),
所以此交错级数收敛， 故原级数是条件收敛．
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例5 设
an
cn 都收敛 且 an bn cn
试证 bn 收敛
证 由 an bn cn 知 0 bn an cn an
因 an cn 都收敛 故正项级数 (cn an ) 收敛 再由比较审敛法知 正项级数 (bn an ) 收敛
而 bn (bn an ) an 即
bn 可表为两个收敛级数 (bn an ) an 之和 故 bn 收敛
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例6 设 an 0,bn 0 且 an1 bn1 an bn
若 bn 收敛 则 an 也收敛
证 由题设知 an1 an a1
bn1 bn
b1

an

a1 b1
4.绝对收敛
5.D-判别法 A-判别法
4.充要条件
5.比较法
6.比值法 7.根值法 8.积分判别法
4.莱布尼茨定理)
un发散
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un
N
un 0
un收敛
lim un1 un
Y
lim n un
0 un vn
Y 1
N N
1
Y
vn收敛 un发散 un收敛 vn发散
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数学分析课件
华南农业大学应用数学系
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常数项级数审敛
内容提要与典型例题
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常数项级数审敛法
一般项级数 正 项 级 数
交错级数
1. 若 Sn S ,则级数收敛; 2. 当 n , un 0, 则级数发散; （必要条件） 3.按基本性质;（三条）

n1
an np

n1
an np
收敛

n1
an np
发散

n1
an np
绝对收敛 发散
| a | 1
分情况说明
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1
a 1 级数成为 n1 n p
p 1 收敛 p 1
a 1 级数成为
(1)n
n1 n p
p 1 绝对收敛 p 1
是否收敛？如果收敛，
n1 n ln n
是条件收敛还是绝对收敛？
解 1 1 , n ln n n
而 1 发散, n n1


(1)n


1 发散,
n1 n ln n n1 n ln n
即原级数非绝对收敛．
(1)n 是交错级数, 由Leibniz定理：
n1 n ln n
lim ln n lim ln x lim 1 0,
n n
x x
x x
数学分析电子教案 1

lim
n
n
1 ln n

lim
n
1
n ln n

0,
n
f ( x) x ln x ( x 0),
注 ①比较法、比较法的极限形式、检比法、
检根法、积分审敛法，只能对正项级数方 可使用
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②检比法、检根法只是充分条件而非必要条件
③L—准则也是充分条件而非必要条件
④通项中含 an , nn , n! 等常用检比法 ⑤通项中含 有以 n 为指数幂的因子时常用检根法
⑥使用比较法的极限形式时，关键在于找出与
lim
n
3n n!2n

0
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例2
设
lim
n
nan

a

0
试证
an 发散
证 不妨设 a > 0 由极限保号性知
N 当n N时 an 0
由于
lim
n
nan

lim
n
an 1
a
0
n
故由比较法的极限形式得 an 发散
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例4 判断级数
(1)n
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ln的im一uu种nn1估和计得lni到m检n u比n 法作和为检u根n 变法化，快检慢比法 和检根法的实质是把所论级数与某一几何级数 作比较，虽然使用起来较方便但都会遇到“失 效”的情况。
| un | 收敛 un收敛
这一结论将许多级数的敛散性判定问题归结为正项 级数的敛散性判定