1 (1) ∑ ; n = 1 n!
解
un+1 ( n + 1)! 10 n n + 1 ( 2) Q → ∞ ( n → ∞ ), = ⋅ = n +1 un n! 10 10 ∞ n! 故级数 ∑ n 发散. n=1 10 un+1 ( 2n − 1) ⋅ 2n = lim = 1, ( 3) Q lim n→ ∞ u n→ ∞ ( 2n + 1) ⋅ ( 2n + 2) n
y
y=
1 ( p > 1) p x
1
2 3 4
x
= 1 + ∫1
n
dx 1 1 1 (1 − p−1 ) < 1 + p = 1+ x p−1 n p−1
即sn有界,
则P − 级数收敛 .
时 当p > 1 , 收敛 P − 级数 时 当p ≤ 1 , 发散
重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数. 重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数.
un = l, 设 un 与 v n 都是正项级数, 如果 lim n→ ∞ v n n =1 n =1
则(1) 当 0 < l < +∞ 时, 二级数有相同的敛散性; (2) 当 l = 0 时，若
∞ ∞
∑
∞
∑
∞
∑ vn 收敛,则 ∑ un 收敛; n =1
n =1
(3) 当 l = +∞ 时, 若
例 2 证明级数
∑
n =1
∞
1 是发散的. 是发散的 n( n + 1)
证明
1 1 Q , > n( n + 1) n + 1
1 而级数 ∑ 发散, n =1 n + 1
∴ 级数 ∑
n =1 ∞
∞
1 发散 . n( n + 1)
4.比较判别法的极限形式: 4.比较判别法的极限形式: 比较判别法的极限形式
第二讲
常数项级数的敛散性判别法
• 内容提要
1．正项级数及其审敛法； 正项级数及其审敛法； 交错级数判别方法； 2．交错级数判别方法； 绝对收敛与条件收敛. 3. 绝对收敛与条件收敛.
• 教学要求
1．掌握正项级数的比较判别法； 掌握正项级数的比较判别法； 熟悉比值判别法，了解根值判别法； 2．熟悉比值判别法，了解根值判别法； 掌握交错级数判别方法； 3．掌握交错级数判别方法； 4. 判断级数的绝对收敛与条件收敛. 判断级数的绝对收敛与条件收敛 绝对收敛与条件收敛.
n→ ∞
发散
比值判别法的优点: 不必找参考级数. 比值判别法的优点 不必找参考级数.
两点注意: 两点注意
1.当 时比值审敛法失效; 1.当ρ = 1时比值审敛法失效;
1 例 级数 ∑ 发散 , n =1 n
∞
级数 ∑
n =1
∞
n
(ρ = 1) 1 收敛 , 2
2.条件是充分的,而非必要. 2.条件是充分的,而非必要. 条件是充分的
≤ u1
n→ ∞
数列s2n是有界的,
Q lim u2 n+1 = 0,
n→ ∞
∴ lim s2 n = s ≤ u1 .
∴ lim s2 n+1 = lim ( s2 n + u2 n+1 ) = s ,
n→ ∞ n→ ∞
∴ 级数收敛于和 s , 且s ≤ u1 .
余项 rn = ± ( un+1 − un+ 2 + L),
∞
∞
∞
例6
sin n 的收敛性. 判别级数 ∑ 的收敛性. 2 n =1 n
∞ sin n 1 1 Q 2 ≤ 2 , 而 ∑ 2 收敛 , n=1 n n n
∞
解
sin n ∴ ∑ 2 收敛 , n n=1
故由定理知原级数绝对收敛. 故由定理知原级数绝对收敛
∑ v n 发散,则∑ un 发散;
n =1 n =1
∞
∞
un 证明 (1) 由lim = l n→ ∞ v n
l 对于ε = > 0, 2
l un l ∃ N , 当n > N时, l − < < l + 2 vn 2
l 3l 即 v n < un < v n 2 2 (n > N )
由比较审敛法的推论, 得证. 由比较审敛法的推论 得证
∞ m =1
uN + 3 < ruN + 2 < r 2 uN +1 , L ,
而级数 ∑ r m −1uN +1收敛 ,
m =1
m −1
uN +1 ,
∞
∴ ∑ uN + m =
∑ uu收敛, n = N +1
收敛
当ρ > 1时, 取ε < ρ − 1, 使r = ρ − ε > 1, 时
当n > N时, un+1 > run > un , lim un ≠ 0.
n =1 ∞
正项级数收敛⇔部分和所成的数列 sn有界.
均为正项级数， 3.比较判别法 设 ∑ un和 ∑ vn均为正项级数， 比较判别法
n =1
∞
∞
) 且un ≤ vn (n = 1, 2,L ,若∑vn 收 ,则 un 收 ； 敛 ∑ 敛
n =1 ∞
∞
散 则 散 反 ， ∑un 发 ， ∑vn 发 . 之 若
x 故函数 单调递减 , ∴ un > un+1 , x −1 n 又 lim un = lim = 0. 原级数收敛. 原级数收敛 n→ ∞ n→ ∞ n − 1
三、绝对收敛与条件收敛
定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数. 定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.
定 理 若
∑u
rn = un+1 − un+ 2 + L,
满足收敛的两个条件, 满足收敛的两个条件
∴ rn ≤ un+1 .
定理证毕. 定理证毕
( −1) n 例 5 判别级数∑ 的收敛性. 的收敛性. n−1 n= 2
n
∞
解
x − (1 + x ) )′ = Q( < 0 ( x ≥ 2) 2 x −1 2 x ( x − 1)
n=1
∞
n
收 ,则 敛
∑u 收敛.
n=1 n
∞
1 证明 令 v n = ( un + un ) ( n = 1,2,L), 2 ∞ 且 v n ≤ un , ∴ ∑ v n收敛 , 显然 v n ≥ 0,
又 Q ∑ un = ∑ ( 2v n − un ),
n =1 n =1
∞
∞
∴ ∑ un 收敛 收敛.
2 + ( −1) 3 例 Q un = ≤ n = vn , n 2 2
n
2 + ( −1)n ∴ 级数 ∑ un = ∑ 收敛 , n 2 n =1 n =1
∞
∞
un+1 2 + ( −1)n+1 但 = = an , n un 2( 2 + ( −1) )
lim a 2 n
n→ ∞
1 = , 6
∞
n=1 ∞
n=1
证明 (1) 设 σ = ∑ vn Q un ≤ vn ,
且 sn = u1 + u2 + L + un ≤ v1 + v2 + L + vn ≤ σ ,
n =1
n=1
∞
n=1
即部分和数列有界
∴
∑ un收敛. n =1
∞
( 2) 设 sn → ∞ ( n → ∞ ) 且 un ≤ v n ,
一、正项级数及其敛散性判别法
1.定义: 1.定义: 如果级数 ∑ un中各项均有 un ≥ 0， 定义 这种级数称为正项级数. 这种级数称为正项级数. 2.正项级数收敛的充要条件 正项级数收敛的充要条件: 2.正项级数收敛的充要条件: s1 ≤ s2 ≤ L ≤ sn ≤ L 部分和数列 { sn } 为单调增加数列. 为单调增加数列. 定理
n =1
n =1 ∞
上定理的作用： 上定理的作用： 任意项级数
∞
∞
正项级数
定义:若 ∑ un 收敛, 则称∑ un 为绝对收敛; 收敛, 为绝对收敛; 定义:
n =1
n =1
发散, 收敛, 为条件收敛. 若 ∑ un 发散,而 ∑ un 收敛, 则称 ∑ un 为条件收敛.
n =1 n =1 n =1
5.极 限判 5.极 判 法 限 别法 别 ：
设
∑u 为正项级数,
n=1 n
n→∞ n→∞
∞
果 如 limnun = l > 0 (或limnun = ∞), 级 则 数
∑u 发散;
n=1 n
∞
果 如 有p > 1, 使 limnpun存 , 得 在
n→∞
级 则 数
∑un 收敛. n=1
∞
判定下列级数的敛散性: 例 3 判定下列级数的敛散性:
∞
证明 当ρ为有限数时 , 对∀ε > 0,
un+1 ∃ N , 当n > N时, 有 − ρ < ε, un
un+1 即 ρ −ε < < ρ +ε un
(n > N )
当ρ < 1时, 取ε < 1 − ρ, 时
使r = ε + ρ < 1,
∞