(n N ) ，
由比较判别法可知结论成立。
（2）∵ lim un 0 ， n vn
∴对 1 ，NN ， n N 时，有
un vn
1
，
vn un
vn
(n N ) ，
由比较判别法可知，当vn 收敛时， un 也收敛。
n1
n1
（3）∵ lim un ， lim vn 0 ，
n vn
n un
由反证法及（2）即知结论成立。
n1
n1
（2）当 L 0 ，且 vn 收敛时， un 也收敛；
n1
n1
（3）当 L ，且 vn 发散时， un 也发散。
n1
n1
证明： （1）∵ lim un L ，
n vn
∴对
L 2
0
，NN
，
n N
时，有
un L L ，即 L un 3L ，
vn
2
2 vn 2
从而
L 2 vn
un
3L 2 vn
n
un1 un
，则
（1）当 1时 ， un 收敛；
n1
（2）当 1 时， un 发散 ；
n1
（3）当 1时 ， un 可能收敛也可能发散。
n1
证：（1）当 lim un1 1 时， n un
取 0 ，使得q1 。
而对此给定的 ，必 NN ，当 n N 时 ，
有 un1 。 un
故得 un1 ， un
n1
∵unvn (n1,2, ) ，
故 nSnM ，
∴ n有界 ，故 un 收敛。
n1
（2）用反证法。若vn 收敛，则由（1）知 un 收敛，
n1
n1
这与 un 发散矛盾，故vn 发散。
n1
n1
推论：设 un 和vn 都是正项级数，若存在常数
n1 n1
C 0 ， NN ，使当n N 时 恒有un Cvn 成立，则
n
n 1
lim lnn ，
n
而
1 发散，
n1 n
n
∴
lnn 发散。
n1 n
为了便于使用比较判别法，需了解下列无穷大之
间的关系，它们按照阶由低往高排列为：
ln n ， n ，an(a1) ，n! ，nn ，其中(0, 0) 。
定理 2.3（比值判别法，达朗贝尔判别法）
设
un
n1
为正项级数，若 lim
故
Sn
有界
，从而
n1
1 np
收敛。
p 级数
n1
1 np
当p1时, 当p1时,
收敛, 发散.
例 3．判定级数的敛散性：
（1）
1
n1 2n n
解：（1）∵ 2n n2n1 (2n1 n)2n1 ，
∴
1 2n
n
1 2n1
( n1,
2,
)，
而
1 是公比为1 的收敛的等比级数，
n1 2n1
2
∴
1
收敛。
n1 2n n
极限形式的比较判别法在两个正项级数的通项均
趋向于零的情况下，其实是比较两个通项作为无穷小
量的阶。它表明：当 n 时，如果un 是比 vn 高阶或
Hale Waihona Puke 是与vn 同阶的无穷小，而级数vn 收敛，则级数un
n1
n1
收敛；如果 un 是比 vn 低阶或是与vn 同阶的无穷小，
而级数 vn 发散，则级数un 发散。
由 vn 收敛 un 收敛；
n1
n1
由 un 发散 vn 发散。
n1
n1
例
2． 讨论
p
级数
n1
1 np
的敛散性，其中
p 0
。
解：（1）当
p1
时， 1 np
1 n
(n1,2,3, ) ，
而 1 发散，故 1 发散。
n1 n
n1 n p
（2）当
p1 时，对于n1 xn
，有 1 xp
1 np
un1 un
q
，un1
qun
（n N
），
即 uN2 quN1 ， uN3 quN2 q2uN1 ，
……
uNk quNk1qk1uN1 ，
……
因此正项级数 uN 2 uN3 uNk 的各项小于收
敛的等比级数 quN 1 q2uN 1 qk1uN 1 的对应项。
，可得
1
np
n1 n1n p
dx
n n1
1 xp
dx
(n2, 3,
)
，知部分和
Sn
1
1 2p
1 np
1
2 1
1 xp
dx
n1 n1 x p dx
用1比 较n1 审x1p敛dx法1判定11正p 项x1级p数n1 是否收敛时，
常用1等 比p1级1(数1和n p1p1级)数1作p为 11比。较级数。
解：对当∵级nn数lim的时3通n，1项1n3先1l43nn1作n1n分2～析3n1l：nim，3 3nlnn1nnln2(1n1lnn2(1)n22
， ) ～2
n
，
从而而3nn111n1l43n
收 n敛2 ，与 1
n
4
n3
同阶。
∴
3 n1
1 lnn2 n1 n
收敛。
（3）
lnn
n1 n
lnn
解：∵ lim
n1
n1
例 4．判别下列正项级数的敛散性
（1）
1
sin
2
n1 n
n
解：对级数的通项先作分析：
当 n 时，sin 2 ～ 2 ，从而 1 sin 2 ～2 。
nn
n nn
∵ lim n
1 sin n
2
2
n
1 ，而
2
n1n
发散，
n
∴
1 sin 2
发散。
n1 n
n
（2）
3
n1
1 ln n1
n2 n
n1
2n 收敛。 2n
定理 2.1（比较判别法）
设有正项级数 un 和 vn ，且 un vn (n1,2, )
n1
n1
（1）若vn 收敛，则un 也收敛；
n1
n1
（2）若un 发散，则vn 也发散。
n1
n1
证：（1）设vn 和un 的部分和分别为Sn及n ，
n1 n1
若 vn 收敛，则Sn 有界，即 M 0 ，使得 Sn M 。
（2）
1
n1 n(n1)
解：∵ 1 1 （n1, 2, ）， n(n1) n1
而
1 1 1 1 ，发散，
n1n1 2 3
n1
∴
1
发散。
n1 n(n1)
推论 2.1（比较判别法的极限形式）
设
un
n1
和
vn
n1
均为正项级数，且 lim un n vn
L
，则
（1）当 0 L 时， un 与 vn 具有相同的敛散性；
第九章 常数项级数
常数项级数的概念与性质 常数项级数的判敛法 反常积分判敛法
2.1 正项级数的判敛法
级数 un ， un 0 (n1,2,3, ,) 称为正项级数。
n1
∵ Sn Sn1un Sn1 ，∴Sn是单调增加的数列。
若Sn有界，则 lim Sn 必存在，从而 un 收敛。
n
n1
反之，若 un 收敛，则 lim Sn S ，Sn 必有界。
n1
n
定理 2.1 正项级数 un 收敛 它的部分和数列Sn有界。
n1
sin
例 1．试判定正项级数
2n 的收敛性。
n1 2n
解：
Sn
1 2
sin 4
4
sin 6
8
sin 2n
2n
，
1 2
1 4
1 8
1 2n
1[1( 2
1
1
2 1
)n
] 1(
1 2
)n
1
2
sin
即Sn有界，故正项级数