lim(1
n
1 2
1 2n
)
3/26
二、概念
1. 级数的定义: un u1 u2 u3 un
n1
——(常数项)无穷级数，
部分和 sn u1 u2 un
一般项
2. 级数的收敛与发散:
若{sn }收敛（于 s）,称 un 收敛, s 为 un 的和.
n1
n1
写成s = un .如果{sn }发散,称 un 发散.
n1
n1
余项 rn un1 un2 s sn .
4/26
例 1 讨论等比级数(几何级数) (a 0) aqn a aq aq2 aqn 的收敛性.
n0
解 当q 1时
sn a aq aq2
若q 1 limqn
若q
1
n
lim
q
n
若q 1, 级n数 为
n 2n
1, 2
假设调和级数收敛, 其和为s.
于是lim( s2n sn ) s s 0, 便 有
n
这是不可能的. 级数发散 .
0 1, 2
14/26
或由 2项
2项
4项
8项
(1 1) (1 1) (1 1 1 1) (1 1 1 ) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16
(
1 2m
1
1 2m
2
1 2m1
)
加 括 号 后 一 般 项vn
1 2
，v
n
0
（加括号后）级数发散 .
由性质4推论,调和级数发散.
2m项
15/26
例6 判别收敛性：1) 1 1 1 1 ；
解
2)
原式 1
1
,
2
发
4
散
6
。
8
1 2 1 n11n 1 1 1
T
T
4
2
T
1
1
0 14
2
1
8
Zeno： T T T T ，
248
这是一个没有终结的过程，因此永远跑不到 原点。
实际经验告诉我们：若等速行进，跑一
半路程化时间T，则跑完全程应化时间2T，即
有
？ T T T T 2T .
248
如何理解此等式?
解决此悖论，要引进极限方法：
T
先T2 算T4前 T8n项 之2Tn和1 ：(11211n )T
第十一章 无穷级数
第一节 常数项级数的概念与性质
1. 实例 2. 概念 3. 性质 4. 必要条件 5. 小结、作业
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• 例 无穷级数概念的引入
2 1 0.4 0.01 0.004
问题：如何理解无穷多个数相加(这是“不 可完成”的！)得出一个数？
历史争论：Zeno’s Paradox(芝诺悖论)
2T (1
1 2n )
2
让 n ，上述和 2T ．(与实际经验相符！)
可见， 要把无限多项之“和”＝2T 理解为前 n 项之和，当n 时的极限。
但是，如果以如下方式减速前进：
T
T
3
2
T
1
1
0 14
2
1
此时需化为 8 T T T T ？ 234
实际经验不能给我们任何启示！
若先考虑
n
sn
lim
n
sn1
s
s
0.
注意 1. 一般项不趋于零级数发散;
例如 1 2 3 (1)n1 n 发散
234
n1
2. 条件不充分：一般项趋于零级数收敛.
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例5 调和级数 1 1 1 1
23
n
有
lim
n
un
0,
但级数是否收敛?
s2n
sn
1 n1
1 n2
1 2nΒιβλιοθήκη 1) 51( 1 2 2n 1
1) 2n 1
1 (1 1 ) 1 级数收敛（于1）.
2 2n 1 2
2
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三、性质
性质 1 对 k0， kun =k un .
n1
n1
性质 2 若 s un 、 vn 收敛,则
n1
n1
(un vn ) 收敛,并且其和为 s .
n1
Sn
T
T 2
T 3
T n
，则有
lim
n
Sn
在这种情况下，Zeno是有道理的：
永远不能到达终点。
几点结论：
1．无穷级数是以加法形式出现的极限问题；
2．正由于本质是极限，故出现“极限是否存 在”的问题，即无穷多项“相加”可能是 “没有和”的；
3．正由于本质是极限，故加法的性质(如交换 律、结合律等)不可以无条件平移过来；
aqn1 a aqn a aqn
0 lnlniimm1ssn nq1a1,q,发q收散敛1; ;
q
a a a a , 发散.
,
当q 1时，sn na , 发散.
综上,
n0
aq
n
当 当
q q
1时,收敛; 1时,发散.
记住！
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例 2 判别收敛性：（1） 22n31n .
一、实例
1. 计算圆的面积A---割圆术
正六边形的面积 a1
R
正十二边形的面积 a1 a2
正3 2n边形的面积 a1 a2 an
有 A a1 a2 an
lnim(a1 a2 an )
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2. (正方形的面积) 1
1 2
1 22
1 23
1 24
1 25
1
2n
n1
解 un 22n31n 3 4／3n ,为等比级数，
公比q 4／3, | q | 1,级数发散.
（2） 1 1
1
.
13 35
(2n 1) (2n 1)
（拆项法） 解
un
(2n
1 1)(2n
1)
1( 1 2 2n 1
1 2n
), 1
sn
1 (1 2
1) 3
1 (1 23
即: 收敛的级数可以逐项相加与逐项相减.
思考: 收敛级数与发散级数的和的收敛性如何?
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例 4 求
n1
5 n(n
1)
1 2n
的和.
解
5
n1 n(n 1)
1 2n
5 n1 n(n 1)
1 n1 2n
n1
5 n(n
1)
5
n1
1 n
n
1
1
5 lim n 1 1 5 lim(1 1 ) 5,
例如 (1 1) (1 1) 收敛;
1 1 1 1 发散. 推论 按某一方式加括号后级数发散原级数发散.
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四、收敛的必要条件
级数收敛的必要条件: 一般项 un趋于零, 即
n1
un收
敛
lim
n
un
0.
*证 设 un s, 由 un sn sn1 ,
有
n1
lim
n
un
lim
n k1 k k 1 n n 1
n1
1 2n
1／2 1 1／2
1, 故 5 n1 n(n 1)
1 2n
51
6.
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性质 3 任意添加、删除、修改级数的有限个项,
级数的收敛性不变.
性质 4 收敛级数加括号后所成的级数仍然收敛， 且和不变.
注意 收敛级数去括号后所成的级数不一定收敛.