(1) 判断该系列 的平稳性及纯随机性； (2) 对该系列进行函数运算：
并判断序列 的平稳性及纯随机性。 解 (1) 序列时序图和样本自相关图
案件数序列时序图
40 35 30 25 20 15 10
5 0
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 6以
于是 所以
15. 对于平稳时间序列，以下等式哪些一定成立？ (1) (2) (3) (4)
解 对于平稳时间序列，(1)(2)(3)一定成立。(4)不成立。
16. 对于 AR (1)模型： 已求出
,求：
(1) 的 95%的置信区间；
，根据 个历史观察值数据：…，10.1，9.6，
解 模型改写为：
则模型的传递形式为：
＝
，确定该模型的 Green 函数，使该
故该模型的 Green 函数为： 该模型可以等价表示为无穷阶 MA 模型形式为：
13. 某 ARMR(2,2)模型为： .
解因
所以
，求 . 其中
, .
14. 证明 ARMR(1,1)序列 解 方法一 因为 所以
的自相关系数为：
(3) 为 MA(2)模型，因 ，故该模型是可逆的.
(4) 为 MA(2)模型，因
，故该模型不是可逆的.
(5) 为 ARMA(1,1)模型，因
，故该模型是平稳的和可逆的.
(6) 为 ARMA(2,1)模型，因 不平稳的，也是不可逆.
，故该模型是
12. 已知 ARMR(1,1)模型为： 模型可以等价表示为无穷阶 MA 模型形式.
(2) 假定新获得观察值数据 解 (1) 由题意，
＝ ，用更新数据求 的 95%的置信区间. ，计算预测值：
又因
，故预测方差为：
于是， 的 95%的置信区间为： (2) 已知新观察值 ＝ ，计算修正预测值：
修正方差为： 于是，用更新数据后， 的 95%的置信区间为：
， 的自相关系数
只与时间间隔长度有关，与起始时间无关，因此 的 1 阶差分序列 为平稳序列.
11. 检验下列模型的平稳性与可逆性，其中 为白噪声序列：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
解 (1) 为 AR(2)模型，因
，故该模型不是平稳的.
(2) 为 AR(2) 模 型 ， 因 ，故该模型是平稳的.
解 由于 ＝
解得 ＝ ， ＝ 。
，
，即
＝
，且
，
，
，
3. 已知某 AR(2)模型为： ， ，其中 ， ， 。
解 模型改写为：
于是
；
又由
解得
， ＝
，
，求 ，
，
，
，
；
，即
，
，
，
4. 已知 AR(2)序列为：
，其中 为白噪声序列。确定 的取值范围，
以保证 为平稳序列，并给出该序列 的表达式。
解 由 AR(2)的平稳域知， 满足：
从差分序列时序图看，该系列是平稳的。从样本自相关图可见，自相关系数具有短期的 自相关性，然后快速衰减，故该差分系列是平稳的。
纯随机检验如下： 延迟 6 12 18 24
LB 统计量值 29.46 35.94 38.61 57.43
P值 <0.001 <0.001 <0.01 <0.001
P 值都非常小，表明该序列不是纯随机序列。
P值
6
64.02
<0.0001
12
88.98
<0.0001
18
96.32
<0.0001
24
137.26
<0.0001
(2) 差分序列时序图和自相关图
差分值系列时序图
30 20 10
0 -10 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 -20 -30
6. 对于 AR(1)模型：
(1)
；
(2)
(3)
；
(4)
(5)
解 (1) 因为
， ；
；
，判断如下命题是否正确： ；
故(1)不正确。 (2) 因 ，故(2)不正确。 (3) 因
故(3)正确。
(4) 由于
,故
故(4)不正确。 (5) 由于
所以
故(5)不正确。
7. 已知某中心化 MA(1)模型 1 阶自相关系数 解 因为
9. 已知 MA(2)模型为： .
解
.
.
.求
及
10. 证明：(1) 对任意常数 ，如下定义的无穷 MA 序列一定是非平稳序列：
，
(2) 的 1 阶差分序列一定是平稳序列，并求 的自相关系数表达式，其中 ＝
.
解 (1) 因 非平稳序列.
，当 时， 的方差为无穷大，故 是
(2) 由于 ＝
，该序列均值、方差均为常数:
故该可逆的中心化 MA(1)模型为： ＋
，求该模型的表达式。 或
8. 确定常数 的值，以保证如下表达式为 MA(2)模型：
解 对序列 中心化.设 ，则序列 满足：
，对上式取期望得：
，故 ＝ . 令
于是
因此，只要选择 使 的根即可，也即
含有因子
，即使 为
此时，
所以，
或
此表明， 满足 MA(2)模型.
LB 统计量值 95.84 190.40 266.29 324.39
P值 <0.0001 <0.0001 <0.0001 <0.0001
由于 P 值<0.0001，故从纯随机性检验看，该序列也不是纯随机的。
6. 1969 年 1 月至 1973 年 9 月在芝加哥海德公园每 28 天发生的抢包案件数见下表（行 数据）。
10 15 10 10 12 10 7 7 10 14 8 17 14 18 3 9 11 10 6 12 14 10 25 29 33 33 12 19 16 19 19 12 34 15 36 29 26 21 17 19 13 20 24 12 6 14 6 12 9 11 17 12 8 14 14 12 5 8 10 3 16 8 8 7 12 6 10 8 10 5
样本自相关系数图
1.2 1
0.8 0.6 0.4 0.2
0 -0.2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 -0.4 -0.6 -0.8
-1
自相关系数如下：
延迟
1
2
3
4
5
6
7
8
自相关系数 0.7395 0.4570 0.0812 -0.3201 -0.6188 -0.7210 -0.6293 -0.3396
(2) 判断该系列的平稳性 从时序图看，该时序具有明显的周期性，故该时序是不平稳的。从样本自相关图可见， 该时序的样本自相关呈周期性，且并没有快速衰减趋于 0，故该时序是不平稳的。 (3) 判断该系列的纯随机性 纯随机系列必然是平稳系列，该系列是不平稳的，故也不是纯随机的。
纯随机性检验： 延迟 6 12 18 24
1.5
样本自相关系数图
1
0.5
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
-0.5
自相关系数如下：
延迟
1
2
3
4
5
6
7
8
自相关系数 0.5060 0.5385 0.3736 0.2907 0.2578 0.1475 0.2696 0.1862
50 0
2003 年 117 178 149 178 248 202 162 135 120 96 90 63
Jan-00 Mar-00 May-00
Jul-00 Sep-00 Nov-00 Jan-01 Mar-01 May-01 Jul-01 Sep-01 Nov-01 Jan-02 Mar-02 May-02 Jul-02 Sep-02 Nov-02 Jan-03 Mar-03 May-03 Jul-03 Sep-03 Nov-03
延迟
9
10
11
12
13
14
15
16
自相关系数 0.1776 0.2584 0.2070 0.2263 0.1375 -0.0268 -0.0532 -0.1124
延迟
17
18
19
20
21
22
23
24
自相关系数 -0.1392 -0.1551 -0.1446 -0.2838 -0.2287 -0.3064 -0.2107 -0.3133
数据模拟：
01 2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 …
0 1 -1
2
0
1
-1
2
0
1
-1 -2
1
0…
19.5 21 21.6 19.9 19.5 21 21.6 19.9 19.5 17 20.6 21.6 …
21 21.6 19.9 19.5 21 21.6 19.9 19.5 17 20.6 21.6 …
延迟
9
10
11
12
13
14