规定为
a11 L
kA k M
am1
L
a1n ka11 L
M M
amn
kam1
L
ka1n
M
kamn
• 矩阵的加法与数乘两种运算统称为矩阵的线性运算.
❖ 线性运算律
设 A, B, C 为同型矩阵, k, l 为数, 则成立
(1) A B B A;
(2) ( A B) C A (B C ); (kl)A k(lA);
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❖ 两矩阵的和
设有两个 mn 矩阵 A(aij) 和 B(bij), 矩阵 A 与 B 的和记作 AB, 规定为
a11 L
A B M
am1
L
a1n b11 L
M M
amn
bm1
L
b1n
M
bmn
a11 b11 L
M
am1
bm1
L
a1n b1n
M
amn
bmn
• 用粗体大写字母表示矩阵, 以上矩阵记为 A (aij).
• 当标明矩阵 A 的行列数时, 表示为 Amn , 或 (aij)mn .
• 只有一行(列)的矩阵称为行(列)矩阵或行(列)向量.
n 维行向量(行矩阵)记作
A (a1,a2,L ,an )
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❖ 同型矩阵 若两个矩阵都是m×n矩阵, 则称它们是同型矩阵.
分别记线性变换(1), (2), (3) 的系数矩阵为 A, B, C,
定义 C AB, 即
a11
a21
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a12 b11
a22
b21
b12 b22
a11b11 a21b11
a12b21 a22b21
a11b12 a12b22
a21b12
a22b22
12
❖ 两矩阵的乘积
a11 a12 L a1n
记
A
a21 M
am1
a22 M
am 2
L L
a2n M
amn
称矩阵 A 为线性变换的系数矩阵.
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矩阵及其线性运算
❖ mn 矩阵
a11 a12 L
a21 M
a22 M
L
am1 am2 L
a1n
a2n M
amn
• aij : 矩阵的第 i 行第 j 列的元素, 简称 (i, j)元.
cij (ai1
b1 j
ail )
ai1b1 j
blj
ailblj
例如： a11
a21
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a12 b11
a22
b21
b12 b22
a11b11 a21b11
a12b21 a22b21
a11b12 a12b22
a21b12
a22b22
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❖ 两矩阵的乘积
列向量
a1
a2
an
或 (a1 , a2 , , an )T
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分量全部为零的向量称为零向量，记为 0 。 向量可视为特殊的矩阵, 因此, 向量的加法、数乘定义 如下：
设 (a1 , a2 , , an )， (b1 , b2 , , bn ),
则
(a1 b1 , a2 b2 , , an bn )， k (ka1 , ka2 , , kan ) .
和
y1 y2
b11 x1 b21 x1
b12 x2 b22 x2
(2)
将(2)代入(1), 得
z1 z2
(a11b11 (a21b11
a12b21 )x1 a22b21 )x1
(a11b12 (a21b12
a12b22 )x2 a22b22 )x2
(3)
线性变换(3)称为由线性变换(1)与线性变换(2)复合而成的复合线性变换.
• 负矩阵
矩阵 A(aij) 的负矩阵定义为 -A(-aij).
• 矩阵的减法
b11 - a11 L b1n - a1n
B - A B (- A) M
M
bm1
-
am1
L
bmn
-
amn
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❖ 数与矩阵的乘积 数 k 与矩阵 A(aij) 的乘积称为数乘运算, 记作 kA,
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线性变换与系数矩阵：一个简单的例子
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一般的线性变换和系数矩阵
设有从变元 x1,…, xn 到变元 y1,…, ym 的线性变换
y1 a11 x1 a12 x2 L a1n xn
y2 a21 x1 a22 x2 L LLLL
a2n xn
ym am1 x1 am2 x2 L amn xn
设 A (aik )ml , B (bkj )ln , 记 cij ai1b1 j ai2b2 j ailblj (i 1, , m; j 1, , n) 称矩阵 C (cij )mn为矩阵 A 与 B 的乘积, 记为 C AB.
x 2u - 3 0 2v 4 0 7 2 y - x 0 y4-v 0
Hale Waihona Puke 解得 x -5, y -6, u 4, v -2.
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到从 矩连 阵续 的两
乘次 法线
性 变
换
设有两个线性变换
z1 z2
a11 a21
y1 y1
a12 y2 a22 y2
(1)
线性代数讲义1 矩阵与行列式
张宏浩
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教材
邓小成等主编，《简明线性代数》，中国人民大学出版社
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向量的概念
n 个数组成的有序数组 (a1 , a2 , , an ) 称为 一个 n 维向量。
a1, a2 , , an 称为向量 的分量或坐标。
行向量
(a1 , a2 , , an )
设 A (aik )ml , B (bkj )ln , 记 cij ai1b1 j ai2b2 j ailblj (i 1, , m; j 1, , n) 称矩阵 C (cij )mn为矩阵 A 与 B 的乘积, 记为 C AB.
• AB 中第 i 行第 j 列的元素为 A 的第 i 行与 B 的第 j 列的乘积.
❖ 相等矩阵
如果 A (aij) 与 B (bij) 是同型矩阵, 并且它们的对应元素相等, 即
aij bij (i 1,L ,m; j 1,L ,n)
那么称矩阵 A 与矩阵 B 相等, 记为 A B. ❖ 零矩阵
所有元素为 0 的矩阵称为零矩阵, 用 0 记之. 注: 不同型的零矩阵是不相等的.
(3) k( A B) kA kB;
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(k l)A kA lA.
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练习1： 设 A2B -C 0, 其中
A
x 7
0 y
,
B
u y
v 2
,
C
3 x
-4 v
求 x, y, u, v 的值.
解
A
2B
-
C
x 7
2u 2y
-
3 x
由 A2B -C 0, 得
2v 4 y 4 - v