第5章 分布滞后与动态模型§5.1 分布滞后模型很多经济模型在回归方程中有滞后项，例如，因为修建桥和高速公路需要很多时间，所以公共投资对GDP 的影响有一个滞后期，而且这个影响可能会持续数年；研发新产品需要时间，而后把这个新产品投入生产也需要时间；在研究消费行为时，一个工资的变化可能影响好几期的消费。

在消费的恒久收入理论中，消费者会用若干期去决定真实可支配收入的变化是暂时的还是永久的。

例如，今年额外的咨询费收入明年是否还会继续？同样，真实可支配收入的滞后值会在回归方程中出现，是因为消费者在平滑其消费行为时十分重视他自身的终身收入。

一个人的终身收入可以用他过去和现在的收入来推测。

换句话说，回归关系可以写为：T t X X X Y t s t s t t t ,,2,1110 =+++++=--εβββα （5.1） 其中，t Y 代表被解释变量Y 在第t 期的观测值，t s X -代表解释变量X 第t s -期的观测值，α为截距项，0β，1β，…，s β是t X 当期和滞后期的系数。

方程（5.1）式就是分布滞后模型因为它把收入增长对消费的影响分为s 期。

X 的一个单位变化对Y 的短期影响由0β来表示，而X 的一个单位变化对Y 的长期影响由(s βββ+++ 10)来表示。

假设我们观察从1955年到1995年的t X ，1t X -为相同的变量，但是提前一期的，也就是1954-1994。

因为1954年的数据观察不到，我们就从1955年开始观察1t X -，到1994年结束。

这意味着当我们滞后一期时，t X 序列将从1956年开始到1995年结束。

对于实际的应用来说，也就是当我们滞后一期时，我们将从样本中丢失了一个观测值。

所以如果我们滞后s 期，将丢失s 个观测值。

更进一步，对于每一个滞后值，都要估计出一个额外的β值。

因此，自由度会产生双重损失，即观测值数目的减少（因为引进滞后项），以及所需估计的参数增加。

除了自由度的丢失以外，方程（5.1）式的解释变量相互间还可能存在高度相关。

事实上，大部分经济时间序列通常存在趋势，和它们的滞后值间存在高度相关。

这些解释变量的多重共线性程度越高，回归估计的可行性就越低。

对于这个模型，OLS 仍旧是BLUE ，因为仍然满足经典线性回归的基本假设。

在方程（5.1）式中我们所做的就是引入额外的自变量（s t t X X --,,1 ）。

这些变量与随机误差项不相关，因为它们都滞后于变量t X ，而t X 假设与t ε无关。

图5.1 线性算术滞后为了克服自由度减少的问题，我们可以施加更多的结构在β上。

施加在这些参数上的一种最简单的假设就是线性算术滞后（linear arithmetic lag ）（图5.1），即[(1)]i s i ββ=+- 0,1,...,i s = （5.2） X 滞后项的系数值等额递减，从t X 的(1)s β+递减到t s X -的β。

把（5.2）式代入（5.1）式得到00[(1)]st i t i ti s t i ti Y X s i X αβεαβε-=-==++=++-+∑∑ （5.3）令0[(1)]st t i i Z s i X -==+-∑这样方程（5.3）式表示为由被解释变量t Y 对常数项和t Z 回归估计得到。

t Z 可由给定的s 和t X 计算得到。

因此，我们可以把参数估计的任务从0β，1β，…，sβ减少到只有β一个。

一旦得到ˆβ，那么ˆiβ（0,1,...,i s =）就可以由（5.2）式计算得到。

尽管这个过程很简单，但是这种滞后项的设定受到太多限制，所以实际上并不经常使用。

令(),0,1,...,i f i i s β==，如果()f i 是定义在一个闭区间上的连续函数，它可以由一个r 阶多项式来逼近，即01()...r r f i i i ααα=+++ （5.4） 例如，如果2r =，那么2012i i i βααα=++ 0,1,2,...,i s =所以， 001012201224βαβαααβααα==++=++…. … … …2012s s s βααα=++一旦估计得到01,αα和2α，就可以计算得到0β，1β，…，s β。

事实上，把 2012i i i βααα=++代入方程（5.1）式，我们可以得到201202012000()s t t i ti s s s t i t i t i ti i i Y i i X X iX i X ααααεααααε-=---====++++=++++∑∑∑∑ （5.5）（5.5）式表明01,,ααα和2α可以由以t Y 为被解释变量，00s t i i Z X -==∑、10s t i i Z iX -==∑以及220s t i i Z i X -==∑为解释变量的回归估计得到。

这个方法由Almon （1965）提出并称为Almon 多项式法。

这里需要注意的是，应用该方法的问题是要选择s 和r ，即t X 的滞后项数和每个多项式的次数。

Davidson 和MacKinnon （1993）建议，以回归方程（5.1）式为基础，首先确定合理的最大滞后值s *，使之与理论保持一致，然后考察随着s *的下降，方程的拟合度是否会下降。

考察方程拟合度的一些可行标准包括：（i ）最大化2R ；（ii ）最小化AIC （Akaike, 1973），其中2/()(/)s T AIC s RSS T e=；或者(iii)最大化BIC ，其中/()(/)s T BIC s RSS T T =，RSS 代表残差平方和。

2R 、AIC 和BIC 会给予较高的s 值一个惩罚，从而避免自由度的过度损失。

多数回归软件如SHAZAM 、Eviews 和SAS 均提供上述统计值。

确定滞后长度s 值后，就可以进一步确定多项式的次数r 值。

首先选择一个较高的r 值并按照（5.5）构造变量Z 。

如果r =4是所选择的多项式最高次数，且4440s t i Z i X -==∑的系数4a 不显著，那么去除4Z ，并令3r =，重新运行回归，如果3Z 的系数显著，则停止该过程，否则进一步降低r 值，令2r =，再重新运行回归直至停止。

研究者通常施加终端约束在Almon 滞后模型上。

一个近终端约束是指（5.1）式中的10β-=。

这意味着在等式（5.5）中，这个终端约束对二次多项式中的α值产生一个约束：1012(1)0f βααα-=-=-+=。

这个约束使我们可以在给定12,αα条件下求出0a 。

事实上，构造012ααα=-代入（5.5）式，回归方程变为：110220()()t t Y Z Z Z Z αααε=+++-+ （5.6） 这样，一旦估计得到1a 和2a ，就可以计算0a ，从而可以计算i β。

这个约束实际上表明1t X +对t Y 无影响。

这可能并不是合理的假设，特别是在本章消费—收入的例子中，其中下一年的收入将进入到恒久收入或终身收入中。

当10s β+=时，一个更为合理的假设是远终端约束。

图5.2 具有终端约束的多项式滞后这意味着(1)t s X -+对t Y 无影响。

时间越早的变量，对当期的影响就越小。

我们要做的就是要回溯到足够早，以使其对当期的影响不显著。

这个远终端约束等同于把(1)t s X -+从等式中移走。

而一些学者把()i f i β=施加在这些约束上，例如1(1)0s f s β+=+=。

当2r =时产生下面的约束：2012(1)(1)0a s a s a ++++=。

解得0a 后代入（5.5）式，约束回归方程变为：2110220[(1)][(1)]t t Y Z s Z Z s Z αααε=+-++-++ （5.7） 我们也可以同时使用两个终端约束，把回归方程中要估计的三个a 值减少到一个。

通过使回归方程中不包含1t X +和(1)t s X -+，可施加约束110s ββ-+==。

然而，这个终端约束施加了一些额外的约束，即关于a 的多项式必须在1i =-和(1)i s =+时经过0，如图5.2所示。

这些额外的约束可能是错的。

换句话说，这个多项式可以与X 轴相交于其他点而不是-1或(1)s +。

施加这些约束，无论其是否是真的，都减少了估计量的方差，如果约束不是真的，则会产生偏倚。

这从直觉上就可以看出，因为这些约束提供了额外的信息，这些信息可以提高估计的可信度。

可以用均方误差标准来决定是否应施加这些限制，具体参见Wallace （1972）。

一般说来，我们在使用这些约束必须非常小心，它们有时看起来是不合理的或无效的，因此必须进行正式检验，具体参见Schmidt and Waud （1975）。

§5.2 无穷分布滞后模型5.2.1 柯依克（Koyck ）模型在§5.1节中，我们分析的是对t X 施加有限阶滞后。

一些滞后有时是无穷阶的，例如，几十年前对高速公路和道路的投资可能在今天仍然对GDP 有影响。

在这种情况下，我们把方程（5.1）式重新写成：1t i t i t i Y X αβε∞-==++∑， 1,2,...,t T = （5.8）用T 个观测值去估计无限个i β，唯一可行的方法是对i β施加更多结构。

首先，我们标准化这些i β值，也即令/i i ωββ=，其中0i i ββ∞==∑。

如果所有这些i β值有相同的符号，即与β的符号相同，且对所有的i 有01i ω≤≤和01i i ω∞==∑。

这意味着i ω可被视为概率值。

Koyck （1954）对i ω施加了几何滞后，也即，(1)i i ωλλ=-，0,1,...,i =∞。

把(1)i i i ββωβλλ==-代入（5.8）式，可得(1)i t t i t i Y X αβλλε∞-==+-+∑ （5.9）方程（5.9）式是Koyck 滞后的无穷滞后形式。

t X 的一单位变化对t Y 的短期影响为(1)βλ-；另一方面，t X 一单位变化对t Y 的长期影响为00i i i i ββωβ∞∞====∑∑。

Koyck 滞后结构暗示着随着时间推移，t X 的一单位变化对t Y 的影响逐渐降低。

例如，如果1/2λ=，那么0/2ββ=，1/4ββ=，2/8ββ=等等。

定义1t t LX X -=，作为滞后算子，我们有i t t i L X X -=，化简式（5.9）式，得到0(1)()(1)/(1)i t t ti t tY L X X L αβλλεαβλλε∞==+-+=+--+∑ （5.10）这里我们定义01/(1)i i c c ∞==-∑，把（5.10）式左右边都乘以(1)L λ-，可得 11(1)(1)t t t t t Y Y X λαλβλελε---=-+-+-即有11(1)(1)t t t t t Y Y X λαλβλελε--=+-+-+- （5.11） 这是无穷分布滞后的自回归形式，因为其把被解释变量t Y 的自回归项作为解释变量。