《点集拓扑》复习题一、概念叙述1、拓扑空间2、邻域、邻域系3、集合A的凝聚点4、闭包5基子基6、子空间7、(有限)积空间8、隔离了集9、连通集10、连通集11、连通分支12、局部连通空间13、人空间14、%空间15、可分空间16> Lindeloff空间17、7；空间(/=：1,2,3,4)18、正则空间19、正规空间20、紧致空间21、可数紧空间22、列紧空间23、序列紧空间24、局部紧空间二、判断题1、有限集不可能有聚点( )2、拓扑空间X的子集A是闭集的充要条件是A = A ()3、女口果贝= ()4、设Y是拓扑空间X的子空间，A是Y的子集，则A在Y中的导集是A在X中的导集与Y的交。
()5、若是同胚映射，贝lj f(X)= Y ( )6、离散空间屮任意子集的导集都是空集(7、拓扑空间中每个连通分支都是既开集又是闭集（）8、度量空间必是血空间（）9、在尺屮，仏叶是开集（）1 0、映射f：X^Y是连续映射的o若拓扑空间X中序列匕｝收敛于xeX,贝时卜拓空间Y中和应序列｛/&）｝收敛于/⑴（）1 1、设X为拓扑空间，C为连通分支，Y是X的一个连通子集，则丫u c （）1 2、％空间必为可分空间（）1 3、止则且止规空间必为7；空间（）1 4、紧致空间的闭子集必为它的紧致子集（）1 5、设X是一个拓扑空间，AuX,则点兀是集合A的一个凝聚点o在A - ｛”中有一个序列收敛于兀（）1 6、度量空间也是拓扑空间（）1 7、如果一个空间中有每个单点集都是闭集，那么这个空间必是离散空间（）1 8、拓扑空间X是一个连通空间当且仅当X屮不存在既开又闭的非空真子集.（）19、若拓扑空间中的子集A是连通集，则它的闭包方也是一个连通集。
20、设A、B是拓扑空间X屮的两个连通子集，则A 58也是X的一个连通子集（）21、如果人、B是拓扑空间X中两个不交的开子集，贝剧、B必是X 中隔离子集（）22、拓扑空间的可分性是一个可遗传性（）23>正规空间必是Hausdorff空间（）24、在一个紧致的石空间中，一个集合是紧致子集o它是一个闭集（）25、紧空间必是Lindelof空间（）26、度量空间中紧致集必是有界闭集（）27、正则空间必是Hausdorff空间（）28、设X = X”2是空间X］、X?的积空间，A U X\,B U X2分别是X|、X2中闭集（）29、设A、3是拓扑空间X中两个子集，并且则有d（AcB）= d（A）cd（B）（）30、若拓扑空间X是连通空间，则X必是局部连通空间（）三、填空1、设f：X->Y是同胚映射，则/必是一一映射，并且—和—都是连续的。
2、_______________________________________________ 设丫是拓扑空间(x,s)的子集，卩的拓扑亂称为_____________________ ；拓扑空间(r,3|r)称为(x,® 的________ o3、连通空间X中既开又闭的子集只能是—和—o4、_______________________________ 设X是拓扑空间，若X的每一_______________________________ 覆盖都有一个 ___________ ,则X是Lindelof空间。
5、___________________________ 止规的—空间或紧致的空间是7；空间。
6、_____________________________X是拓扑空间。
若X的每一个开覆盖都有________________________,则X是可数紧致空间。
7、______________________________________________________ 如果4是离散空间X中一个非空连通子集，则力必是_____________ o8、如果X是一个可数集，则X上的可数补拓扑空间必定是_______ o9、设X是离散度量空间，X上度量为= 则*中任一点[0,兀=儿x的球形邻域B(x,l) = _________ o10、在拓扑空间X中，如果子集A是开集，B是闭集，则A-3是—B-A是 _______ o11、设(X,3)是实数集上的可数补空间，A是X中一个可数集，B是X中一个不可数集，贝 _______________________________ o 12、如果集合X上的任一拓扑3,拓扑空间(X,3)都是紧致空间,则X必是 _______________ o13、在平面空间F中，度量。
定义为任意两点d =(旺,兀2)# = ()1』2),°(")=卜]-开| +卜2 -力|，贝U以原点O为中心，£>0为半径的球形邻域3(0,可的图形是__ o 14、积空间X = X,xX2的子基元素的一般形式是或_________ O15、设y = [0,l)u[2,3)是实数空间/?的一个子空间，则0的子集[0,1)是F的__________ O16、_____________________________________________________ 在实数空间/?中，取A为整数集，B为有理数集，则丄___________ ,B = __________ o17、^X={a9b y c} , X 上拓扑3 = {0,X,仏b}},取子集A = {b}9则d (A)二________ o18、如果X是平庸空间，则X必为紧致空间，它的每一个开覆盖A,必有有限子覆盖人= ___________ O四、单选题1、设X={a,b,c},它的一个拓扑是()(A){0,{d},{d,b},{d,b,c}} (B) {0,{b},{c},{a,b,c}}(C) {0,{a,b},{a,c},{a,b,c}} (£>) {0,{a}{b},{c},{a,b y c}}2、设X是拓扑空间，F为所有闭集构成的族，则有（）.(4)若 A.G F (i = l,2,L)则有A,U A2U L uA fl uL e F(B)若A, wF (心1,2,L )则有A t c A2C L C A n cL G F (C)0,X《F(D)若AwF 贝iJX-AeF3、设X为拓扑空间，则对PA,BuX ,必有().(A) 0 = X (B) AczA (C) AUB = AnB (D)灭是闭集4、设X为拓扑空间，"X,则有（）・（A）兀的任意邻域都是X的开集（町x的任意邻域都是X的闭集（C）包含兀的开集都是兀的邻域（D）若402是兀的邻域，但U^U2不是x的邻域5、已知（0,1）是实数空间的一个开子空间，那么下列集合中是空间（0,1）中的开集是（）.（力）[0,b）（B）仏列（C）[a9b]（£＞）0其中w（O,l）・6、设X ={a,b,c}, 3是平庸拓扑，（X,®中两子集是隔离的是（）. （A）{a}与{/?} （B） {a,b}与{b,c} （C） {a}与{b,c} （D） 0 与{a}7、下面命题中止确的是（）.（A）平庸空间是7；空间（B ） 在錢空间中，存在收敛于两个不同的极限点的序列（C ） 7；空间未必是％空间 （D ）£空间中每一单点集都是闭集 8>若X 是Hausdorff 空间，则X 必是（ ）・9、下面不连通的拓扑空间是（）・拓扑学家正弦曲线5=jp,sin-L/?2|0<x<l A X 丿10、卜面止确的命题是（）.（A ） 设f:X^Y 是连续映射，若X 满足第二可数性公理（即X 是％ 空间）,则7也是％空间。
（B ） A 空间必存在一个子空间不满足第二可数性公理。
（C ） 若拓扑空间X y （l</<n ）都是短空间,则积空间X,X X 2X L X X M 也 是仏空间。
（D ） %空间未必满足第一可数性公理。
11>拓扑空间X 中，是隔离子集，则在子空间A^B 中子集A 是()・（A ）开集，但不是闭集（〃）闭集，但不是开集（A ）正则空间 （B ）止规空间（C ）7；空间 （D ） 7；空间（A ）实数空间 （C ）包含多于两个点的离散空间（B ）平庸空间(°)（c）既是开集，又是闭集（D）既不是开集，又不是闭集12、在实数空间中，子集4 = （0,1], B = [0,l）, C =（0.1）, D = [0,l],其屮可能有同胚关系的是（）.（A）A 与B （B） C 与D（C） A 与 C （D） B 与D13、拓扑空间中“每一个序列至多收敛于一点”是“这个空间为Hausdorff空间"的（）。
（人）充分条件（B）必要条件（C）充分必要条件（D）既不是充分条件，也不必要条件14、设y = [0,l）u[2,3）是实数空间R的一个子空间，则丫中的子集[0,1）是丫的（）.（A）开集，但不是闭集（B）闭集，但不是开集（C）既是开集，乂是闭集（D）既不是开集，乂不是闭集15、设（X,3）集合/?上的下限拓扑空间，则下述四个性质中，不正确的是（）（力）X是A空间（B）X是舛空间（C）X是可分空间（D） X是Lindeloff空间16、拓扑空间X中“只有单点集”是“X为离散空间”的（）（A）充分条件（B）必要条件(C)充分必要条件(P)既不是充分条件，也不必要条件五、证明题1、设X是一个集合，令3 = {0, X},则3是X的一个拓扑.2、有理数集Q作为实数空间R的子空间是不连通的.3、包含不可数个点的离散空间不满足第二可数性公理.4、拓扑空间X的子集U是开集的充要条件是U是它的每一点的邻域.5、若X是E空间，则X屮的每个单点集都是闭集。
6实数空间R不是一个紧致空间。
7、包含不少于两个点的平庸空间不是T。
空间。
8、设(X, °)为度量空间，如果X为有限集，证明:(X, °)为离散空间。
9、设(X, 3)为拓扑空间，证明：如果X的每一个子集A都满足d(A) = 0,贝lJ(X,可是离散空间。
10、设X为拓扑空间，f.XiR (其中/?为实数空间)是连续映射, 证明X中的子集A = {xeX|/(x)<0}为开集。
11、证明：正则的7；空间必是7；空间。
12、证明：实数集上的可数补拓扑空间必是一个Lindeloff空间。
13、设(X,°)是度量空间，证明：如果X有一个基只含有有限个元素, 则X必为有限集，且(X,°)是离散空间。
14、证明：可分空间的任一个开子空间都是可分空间。