高等数学教案第十章重积分§10-1 二重积分的概念与性质一、二重积分的概念（一）引例1. 曲顶柱体的体积设有一空间立体 ,它的底是xoy面上的有界区域D,它的侧面是以D的边界曲线为准线,而母线平行于z轴的柱面,它的顶是曲面(.)z f x y=。

当(,)x y D∈时,(,)f x y在D上连续且(,)0f x y≥,以后称这种立体为曲顶柱体。

曲顶柱体的体积V可以这样来计算:(1) 用任意一组曲线网将区域D分成n个小区域1σ∆，2σ∆，，nσ∆，以这些小区域的边界曲线为准线,作母线平行于z轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体Ω分划成n个小曲顶柱体1∆Ω，2∆Ω，，n∆Ω。

（假设iσ∆所对应的小曲顶柱体为i∆Ω,这里iσ∆既代表第i个小区域,又表示它的面积值, i∆Ω既代表第i个小曲顶柱体,又代表它的体积值。

)图10-1-1从而1niiV==∆Ω∑ (将Ω化整为零)(2) 由于(,)f x y连续,对于同一个小区域来说,函数值的变化不大。

因此,可以将小曲顶柱体近似地看作小平顶柱体,于是∆Ω∆∆i i i i i i if≈∀∈()()()ξησξησ(以不变之高代替变高, 求i∆Ω的近似值)(3) 整个曲顶柱体的体积近似值为V fi i iin≈=∑()ξησ∆1(4) 为得到V的精确值,只需让这n个小区域越来越小,即让每个小区域向某点收缩。

为此,我们引入区域直径的概念:一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者。

所谓让区域向一点收缩性地变小,意指让区域的直径趋向于零。

设n个小区域直径中的最大者为λ, 则V fni i ii=→=∑lim(),λξησ01∆2.平面薄片的质量设有一平面薄片占有xoy面上的区域D, 它在(),x y处的面密度为(),x yρ,这里(),0x yρ≥,而且(),x yρ在D上连续,现计算该平面薄片的质量M。

图10-1-2将D分成n个小区域1σ∆，2σ∆，，nσ∆，用iλ记iσ∆的直径,iσ∆既代表第i个小区域又代表它的面积。

当{}1maxii nλλ≤≤=很小时, 由于(),x yρ连续, 每小片区域的质量可近似地看作是均匀的, 那么第i小块区域的近似质量可取为ρξησξησ(,)(,)i i i i i i∆∆∀∈于是∑=∆≈niiiiM1),(σηξρMi i iin=→=∑lim(,)λρξησ01∆两种实际意义完全不同的问题, 最终都归结同一形式的极限问题。

因此,有必要撇开这类极限问题的实际背景, 给出一个更广泛、更抽象的数学概念,即二重积分。

（二）二重积分的定义1．定义：设(),f x y 是闭区域D 上的有界函数, 将区域D 分成个小区域∆∆∆σσσ12,,, n ,其中,i σ∆既表示第i 个小区域, 也表示它的面积, i λ表示它的直径。

λλ=≤≤max{}1i ni∀∈(,)ξησi i i ∆ 作乘积 (,)(1,2,)i i i f i n ξησ∆=作和式1(,)niiii f ξησ=∆∑若极限 ()01lim,niiii f λξησ→=∆∑ 存在,则称此极限值为函数(),f x y 在区域D 上的二重积分,记作(),Df x y d σ⎰⎰。

即(),Df x y d σ=⎰⎰()01lim ,ni i ii f λξησ→=∆∑其中: (),f x y 称之为被积函数,(),f x y d σ称之为被积表达式,d σ称之为面积元素,,x y 称之为积分变量,D 称之为积分区域,()1,ni i i i f ξησ=∆∑称之为积分和式。

2． 几个事实(1) 二重积分的存在定理若(),f x y 在闭区域D 上连续, 则(),f x y 在D 上的二重积分存在。

声明: 在以后的讨论中,我们总假定在闭区域上的二重积分存在。

(2)(),Df x y d σ⎰⎰中的面积元素d σ象征着积分和式中的iσ∆。

图10-1-3由于二重积分的定义中对区域D 的划分是任意的,若用一组平行于坐标轴的直线来划分区域D ,那么除了靠近边界曲线的一些小区域之外,绝大多数的小区域都是矩形,因此,可以将d σ记作dxdy (并称dxdy 为直角坐标系下的面积元素),二重积分也可表示成为(),Df x y dxdy ⎰⎰。

(3) 若(),0f x y ≥,二重积分表示以(),f x y 为曲顶,以D 为底的曲顶柱体的体积。

二、二重积分的性质二重积分与定积分有相类似的性质 1. 线性性[(,)(,)](,)(,)]αβσασβσ⋅+⋅=⋅+⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰f x y g x y d f x y d g x y d DDD其中: ,αβ是常数。

2. 对区域的可加性若区域D 分为两个部分区域12,D D ,则f x y d f x y d f x y d DD D (,)(,)(,)σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰213. 若在D 上,(),1f x y ≡, σ为区域D 的面积,则σσσ==⎰⎰⎰⎰1d d DD几何意义: 高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积。

4. 若在D 上,()(),,f x y x y ϕ≤,则有不等式⎰⎰⎰⎰≤DDd y x d y x f σϕσ),(),(特别地,由于()()(),,,f x y f x y f x y -≤≤，有σσd y x f d y x f DD⎰⎰⎰⎰≤),(),(5. 估值不等式设M 与m 分别是(),f x y 在闭区域D 上最大值和最小值,σ是M 的面积,则⎰⎰⋅≤≤⋅DM d y x f m σσσ),(6. 二重积分的中值定理设函数(),f x y 在闭区域D 上连续, σ是D 的面积,则在D 上至少存在一点(),ξη,使得⎰⎰⋅=Df d y x f σηξσ),(),(7 、对称性（偶倍奇零）设函数(),f x y 在闭区域D 上连续, D 关于x 轴对称, D 位于 x 轴上方的部分为1D ,在D 上(1)(,)(,),f x y f x y -=则(,)d Df x y σ⎰⎰12(,)d D f x y σ=⎰⎰(2)(,)(,),f x y f x y -=-则(,)d 0Df x y σ=⎰⎰当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍有类似结果. 例1比较下列各对二重积分的大小 （1）2()Dx y d σ+⎰⎰与3()Dx y d σ+⎰⎰，其中22:(2)(1)2D x y -+-≤。

（2）ln()Dx y d σ+⎰⎰与2[ln()]Dx y d σ+⎰⎰，其中D 是三角形区域，三顶点分别为(1,0),(1,1),(2,0)。

例2 判断积分2222341d d x y x y x y +≤--⎰⎰的正负号.[负]例3 估计下列积分之值22d d I :10100cos cos Dx yD x y x y=+≤++⎰⎰[1.96 I 2]三、二重积分的几何意义1．若(,)0f x y >，(,)Df x y d σ⎰⎰ 表示曲顶柱体的体积2．若(,)0f x y <，(,)Df x y d σ⎰⎰ 表示曲顶柱体的体积的负值3．(,)Df x y d σ⎰⎰ 表示曲顶柱体的体积的代数和例4. 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积.[3163R ]小结： 二重积分的定义（和式的极限）；二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）；二重积分的性质。

作业：习题 10-1（P136）基础题：4(1) ;5(1)高等数学教案§10-2 二重积分的计算法利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的,二重积分的计算是通过两个定积分的计算(即二次积分)来实现的。

一、 利用直角坐标计算二重积分１、x -型区域，y -型区域我们用几何观点来讨论二重积分(),Df x y d σ⎰⎰的计算问题。

讨论中,我们假定(),0f x y ≥； 假定积分区域D 可用不等式 a x b x y x ≤≤≤≤ϕϕ12()()表示,其中()()12,x xϕϕ在[],a b上连续。

图10-2-1 图10-2-2据二重积分的几何意义可知, (),Df x y dσ⎰⎰的值等于以D为底,以曲面(),z f x y=为顶的曲顶柱体的体积。

图10-2-3在区间[],a b上任意取定一个点0x,作平行于yoz面的平面0x x=,这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间()()1020,x xϕϕ⎡⎤⎣⎦为底,曲线(),z f x y=为曲边的曲边梯形,其面积为()()()()201000,xxA x f x y dyϕϕ=⎰一般地,过区间[],a b上任一点x且平行于yoz面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为()()()()21,xxA x f x y dyϕϕ=⎰利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为V A xadx f x y dy dxbxxab==⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎰⎰⎰()(,)()()ϕϕ12从而有dxdyyxfdyxfbaxxD⎰⎰⎰⎰⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=)(2)(1),(),(ϕϕσ(1)上述积分叫做先对Y,后对X的二次积分,即先把x看作常数,),(yxf只看作y的函数,对),(yxf计算从)(1xϕ到)(2xϕ的定积分,然后把所得的结果( 它是x的函数 )再对x从a到b计算定积分。

这个先对y, 后对x的二次积分也常记作f x y d dx f x y dyD abxx(,)(,)()()σϕϕ⎰⎰⎰⎰=12在上述讨论中,假定了(),0f x y≥，利用二重积分的几何意义,导出了二重积分的计算公式(1)。

但实际上,公式(1)并不受此条件限制,对一般的),(yxf (在D上连续),公式(1)总是成立的。

类似地,如果积分区域D可以用下述不等式c yd y x y≤≤≤≤,()()φφ12表示,且函数φ1()y,φ2()y在[,]c d上连续, (),f x y在D上连续,则f x y d f x y dx dy dy f x y dxD yycdcdyy(,)(,)(,)()()()()σφφφφ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥=1212(2)图10-2-4 图10-2-5显然,(2)式是先对x,后对y的二次积分。

2．二重积分化二次积分时应注意的问题（1）. 积分区域的形状前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点:对于I 型(或II 型)区域, 用平行于y 轴(x 轴 )的直线穿过区域内部,直线与区域的边界相交不多于两点。

如果积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化归为I 型(或II 型)区域的并集。

（2）. 积分限的确定二重积分化二次积分, 确定两个定积分的限是关键。

这里,我们介绍配置二次积分限的方法 -- 几何法。