范文 范例 指导 参考§ 1.1 微分方程：某些物理过程的数学模型§ 1.2 基本概念习题 1.21 ．指出下面微分方程的阶数，并回答方程是否线性的：1) dy4x 2y ；dx22 2)d 22y dy12xy 0； dx 2dx 23) dyx dy3y 2 0； dx dx4) x d2y5 dy3xy sin x； dx2dx5) dycosy 2x 0 ； dx解 （ 1）一阶线性微分方程； （ 2）二阶非线性微分方程； （3）一阶非线性微分方程； （ 4）二阶线性微分方程； （5）一阶非线性微分方程； （6）二阶非线性微分方程．1） ycos x ； 2） y C 1cos x （C 1是任意常数 ）；3） ysin x ；4） yC 2 sin x （C 2是任意常数 ） ； 5） yC 1cos x C 2 sin x (C 1, C 2是任意常数6）yAsin( x B) (A,B 是任意常数 )．第一章 绪论6） sin d 2y dx 2e yx ．2．试验证下面函数均为方程 d 2ydx222y 0的解，这里0是常数．cos x 为方程的解．C 1 cos x 为方程的解．sin x 为方程的解．3．验证下列各函数是相应微分方程的解：sin x1)yx， xyycosx ；2) y 2 C 1 x 2 ， (1 x 2)y xy 2x (C 是任意常数) 3) yCe x，y 2y y 0( C 是任意常数) ；4)yxx e ， y e 2 yx 2 x2 ye 1 e ；5)ysin x ， y2 y22 y sin x sin x cos x 0 ；6) y12 ， x y x2 x 2y xy 1 ； 7)yx 2 1， y 2 y(x 2 1)y 2x ；解 ( 1)dydxsin x , d 2ydx 22 co 22y，所以ddx22y0，2 )y C 1 sin x,C12 cos 22y所以 ddx 22y3) d d yxcos x , d 2y dx 2sin所以d 22ydxC2cos xC22 si 22y所以d 22y dx 2C 2 sin x 为方程的解． 5)C1sin xC2cosC12cosC 2 2 sin2y ，d 2y所以 d2ydx20 ，故 y C 1 cos x C 2 sin x 为方程的解．6)cos( x B) , yA 2 sin( x B)2y ，故ddx22y0，因此 y A sin( x B) 为方程的解．8) yg(x) ，y f (x) y 2 g (x) ．f (x)g (x) f (x)2 2Cx 2(1 x )y xy (1 x ) x(2 C 1 x ) 2 x ． 1 x 25）因为 y cosx ，所以4．给定一阶微分方程 dy 2x ， dx1）求出它的通解；2）求通过点 （1, 4） 的特解； （ 3）求出与直线 y 2x 3相切的解；1（ 4）求出满足条件 ydx 2 的解；（ 5）绘出（ 2），（3），（4） 中的解的图形． 解 （ 1）通解 y 2 xdx x 2C ．（2）由 y x 1 4，得到 C 3，所以过点 （1, 4）的特解为 y x 23． （3）这时 2x 2 x 1，切点坐标为 （1, 5），由 y x 1 5，得到 C 4 ，所以与直Ce x ，于 是y 2yyx2 x x xy2 ye e e3）由于 y Ce x， y 4）由 y e x，因此 yCe x 2Ce x Ce x0 ．x 2 x x 2 x(e ) 2e e 1e ．证明 1）因为 y x cosx sin x ，所以 xyx cos x sin x sin xy cosx ．xx2）由于 yCx 1 x 2，故 y y 2 2ysin x sin 2 x cos x cosx12 2 (6)从y 2 ，得 x 2 y 1 x 2x( 7)由 y 2x ，得到2 sin x 2 sin x sin x sin 2 x cos x 0 21 122x1 xy xy 1．xx2 2 2 22x (x 2 1)2 (x 2 1)( x 2 1) 2x22y 2 (x 2 1) y 2x ． 8) yf (x)g(x) f (x)g (x) f 2( x) f(x) g(x) 2 g (x) g (x) f (x) f (x) f (x) y 2 g(x) g ( x) f (x)线y 2x 3 相切的解为y x2 44) 1 12由0 ydx 0(x2C)dx (1x33Cx)113C 2，得到5，3，故满足条ydx 22 的解为y x25) 如图 1-1 所示．x5．求下列两个微分方程的公共解：1) y y2 2x2 2) y 2x x22 y．公共解必须满足2x 2x ，即得到y x2或y x2公共解．6．求微分方程y2y22x4x2 0，1是微分方程22x x4和2x y y2的xy 2 y 0 的直线积分曲线．设直线积分曲线为Ax By C 0 ，两边对x 求导得，By 0，则A 0 ，得到C 0，不可能．故必有B 0 ，则y 代入原方程有0，或(A22B2B A)x C A0 ，BBA2 A 所以， B BCA BB0,，得到AC 0,或 A C B ． 0所求直线积分曲线为y0 和yx 1．7．微分方程 4x 2y 22 y3 xy ，证明其积分曲线关于坐标原点 (0,0) 成中心对称的曲线，也是此微分方程的积分曲线．证明设 F(x, y) 0是微分方程 4x 2 y 2 y 2 xy 3的积分曲线，则与其关于坐标原点 (0, 0) 成 中 心 对 称 的 曲 线 是 F( x, y) 0 ． 由 于 F(x, y) 0 适 合微 分 方 程22 2 24 x y y3 xy ，故 4x 2F x (x, y) F y (x, y)2 y xy3，分别以 x, y 代 x, y ，亦有4( x) 2 F x ( x, y) F y ( x, y)2( y)2 ( x)( y)3， 而由 F( x ,y) 0 ，得到 y F x ( x , y) ，从而 F ( x, y) 0 也是此微分方程的F y ( x, y)积分曲线．8．物体在空气中的冷却速度与物体和空气的温差成比例，如果物体在 20 分钟内由100 C 冷至 60 C ，那么，在多久的时间内，这个物体的温度达到 30 C ？假设空气的温度为20 C ．解 设物体在时刻 t 的温度为 u u(t) ，u a 20 ，微分方程为 duk(u u a )，解dt得 u u a Ce kt，根据初始条件 u t 0 u 0 100，得 C u 0 u a 80 ，因此ktu u a (u 0 u a )e ，根据 t 20, u u 1 60，得到u 1 u a (u 0 u a )e 20k，由此k1lnu0 u a ln 2，20 u 1 u a 20ln2t所以得到 u 20 80e 20，当 u 30时，解出 t 60 (分钟) 1(小时)．在 1 小时的时间内，这个物体的温度达到 30 C ． 9．试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程： ( 1)曲线上任一点的切线与该点的向径夹角为 ；(0 ,2）曲线上任一点的切线介于两坐标轴之间的部分等于定长l；3）曲线上任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积都等于常数4）曲线上任一点的切线介于两坐标轴之间的部分被切点等分；5）曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方；6）曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项；7）曲线上任一点的切线的斜率与切点的横坐标成正比．2a；（提示：过点（ x , y） d 的横截距和纵截距分别为x y y 和yxy ）．解（1）曲线上任一点为( x, y) ，则tanyyx，即y y x tan1，即y yxy ，即xx y tan（ 2 ）曲线上任一点（ x , y）处的切线方程为yX Y xy y ，与两坐标轴交点为2y xy ) 和(xyyy, 0），两点间距离为xy yy2( y xy ) 2l ，即3）4）5）由（ 2），y6）同样由（ 2），7）易得y kx(x y)y由（ 2），有由（ 2），有 2 x或xy y 0 ．xyxy2 2 2( y xy ) l ．xy a2，或(xy y)22a2y ．y，或y 2 xyx ．k 为常数且k0 ）．。