通信网理论基础第二章习题求M/M/m （n ）中，等待时间w 的概率密度函数。

解：M/M/m （n ）的概率分布为：假定n>m ，n ≥0，现在来计算概率P{w>x}，既等待时间大于x 的概率。

其中，P j {w>x}的概率为：可得：特别的，新到顾客需等待的概率为：求M/D/1排队问题中等待时间W 的一、二、三阶矩m 1、m 2、m 3，D 表示服务时间为定值b ，到达率为λ。

解：)()1()(S B s s s G λλρ+--=其中 sb st e dt e b t s B -∞-=-=⎰0)()(δ从而 sbe s s s G -+--=λλρ)1()( 又 ∑∞==0)(i ii s g s G求M/B/1，B/M/1和B/B/1排队问题的平均等待时间W ，其中B 是二阶指数分布：100,)1()(212121<<>-+=--αλλλααλλλtt e e t f解：M/B/1 B/M/1 B/B/1设到达的概率密度函数为t t e e t f 2121)1()(λλλααλ---+=设离去的概率密度函数为t t e e t f 4343)1()(λλλααλ---+=假设423121λλλλααα====()[][]212222122212221212121'021210212121214222121422212221221122112211)1(2)2()1())1(()()()())(()()()()(lim))(()()())(()()())()()(())()()(()1(1)1()1(1)()()1()()(λλααλααλαλααλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλααλλλλλαλαλλλαλαλλλαλαλ---+-=-+-+=+-=-=+++=Φ==Φ=---=Φ+++=Φ++---=++----+-+=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=--+-++===++→-+t 其中tts S w s t s s k s S s k s w ts s k s s s t s s s s s t s s 取s s s s s s t s s s s s s s s s s s B s A ss s B s A s w w s 在D/D/1排队问题中，顾客到达的时间间隔为a ，服务时间为b ，均为恒定值，且a>b ，求：稳定状态时系统的队列长度为k 的概率p k ，顾客到达时队列的长度为k 的概率v k ，顾客离去时队列的长度d k ，以及平均等待时间，并用G/G/1上界公式求出此时的平均等待时间，评论计算结果，并讨论a ≤b 的情况。

解： 由于是D/D/1问题，故子系统运行情况完全确定，第一个顾客到达后，系统无顾客，经过b 后，服务完毕，顾客离去，再经过a-b 后，下一个顾客到达。

此时有：顾客不等待时0=wG/G/1上界公式)1(20)()()()()1(2222222=∴=-+≤∴==∴-=-=-+≤w t w b t t p a p t w t t t r ρσσσσδτδτρσσττΘ当a<b 时系统将不稳定,以恒定的速率增加顾客，即每隔ba ab-时间后，系统队列长度增长1。

求M/E 2/1即时拒绝系统的呼损，其中E2是二阶爱尔兰分布，μττμτ22)2()(-=e b解：设相邻呼叫到达间隔为t ，如果服务时间t >τ，将造成呼损，t ≤τ时无呼损。

在优先级别队列中，A 队为优先级，不拒绝，B 队为非优先级，只准一人排队等待（不计在服务中的），且当A 队无人时才能被服务，求各状态概率，A 队的平均等待时间和B 队的拒绝概率。

解：说明：0状态代表系统中无顾客状态；i ，j 状态代表系统中正在服务且A 队中有i 个顾客，B 队列中有j 个顾客排队的状态。

状态转移图如右，A 队到达率为1λ，B 队到达率为2λ，服务率μ，系统稳定时，应有111<=μλρ可得到特征方程如下:由于4是差分方程，不妨设其通解为：ii x p p 000= 代入有： 由于5是非齐次差分方程：0)1(0,21,111,11,1=+++--+i i i i p p p p p ρρ 其特征根为：1ρ=a假设其通解为：iii Bx A p 011,+=ρ代入前式得：解之，得：ii i x p A p p B 00011,00-=-=ρΘ代入3式得：()110020111p p p +=+ρρ 即：由正则条件：排队系统中有三个队列,其到达率分别为c b a λλλ,,公用同一出线路，其中a 类最优先，即线路有空闲就发送；b 类次之，即a 无排队时可以发送，c 类最低，即a ，b 类均无排队时可以发送，不计正在传送的业务，各个队列的截至队长为n a ＝2，n b =1，n c ＝0，试列出稳定状态下的状态方程，并计算c b a λλλ==时，各状态的概率和三类呼叫的呼损。

解：r ，s ，k 分别表示a ，b ，c 三队中等待的呼叫数，状态以（r ，s ，k ）表示。

稳态方程：归一条件1,,0=+∑k j i p p 若 c b a λλλ== 令μλρa=C 类呼损为：Λ=-=01p p cB 类呼损为：210110010p p p p B ++=A 类呼损为：200210p p p A +=有一个三端网络，端点为321,,v v v ，边为),(211v v e 及),(322v v e ，v1到v3的业务由v2转接，设所有的端之间的业务到达率为λ，线路的服务率为?的?????问题，当采用即时拒绝的方式时，求：1) 各个端的业务呼损。

2) 网络的总通过量。

3) 线路的利用率。

解： 令：00表示e1,e2均空闲。

10表示e1忙,e2闲（即e1由v1,v2间业务占用）。

01表示e1闲,e2忙（即e2由v2,v3间业务占用）。

11表示e1,e2均忙，且分别由v1v2,v2v3间业务占用。

★表示e1,e2均忙，且由v1，v3间业务占用。

状态转移图如右： 当λλλλ===231312时 有下列关系:又1=∑p 解之得: 20000211001001*311ρρρρ++=⎩⎨⎧====p 这里p p p p p p呼损2200133131ρρρρ+++=-=p p 而22010*********ρρρρ+++=--==p p p p通过量222313123123)1()1()1(ρρρρρρρ+++=-+-+-=p p p T线路利用率22011011*3122/)(ρρρρη+++=+++=p p p p上题中的网若用于传送数据包,到达率仍为λ每秒，平均包长为b 比特,边的容量为c 比特/秒,采用不拒绝的方式,并设各端的存储容量足够大,求:1) 稳定条件。

2) 网络的平均时延。

3) 总的通过量。

4) 线路的平均利用率。

解：这是一个无损但有时延的系统。

两条线路上到达率为：2?，而服务率为：c/b 的M/M/1系统。

1) 稳定条件为： 2?b/c<1。

2) 网络的平均时延：对v1v2和v2v3间的业务：λρμ21)1(11-=-=bc w对v1v3间的业务：λ22212-==bc w w3) 系统稳定时，总的通过量为：3?b/c 。

4) 线路的平均利用率?=?=2?b/c 。

一般来说，通过率与利用率均有增加，这是以稳定性和时延为代价换来的。

在分组交换系统中，设信息包以泊松率到达，平均到达率为?，但信息包的长度为固定b 比特，信道容量为c 比特/秒。

由于端内存储量的限制，设除了在传送的包外，只允许有两个信息包等待传送，试：1) 列出关于d r (顾客离去时的队长)的系统方程 2) 解出个d r . 3) 求平均时延。

4) 求信息包被拒绝的概率。

解：其中p0是第4个顾客被拒绝离去之后，第3个顾客的残余寿命中无顾客到达的概率。

这里到达是随机的，可知：b c e dt e bc p c b t cb λλλ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=--⎰1/00 设ρλ=cb 则平均时延：拒绝概率：3d p C =有四个端三条边组成的数据网，如图所示。

端间的信息包分别为和每秒，信息包长度为负指数分布，平均包长为k 比特，各信道容量分别为c 1，c 2和c 3，和一起排队，和一起排队，和一起排队，均不拒绝，求1) 各种业务的平均时延。

2) 网络的平均时延。

3) 各信道的平均利用率。

解:由于均不拒绝且到达和离去均随机，故3个信道均等效于3个M/M/1系统，其中：C 1：到达为1312λλ+。

服务为：c 1/b C 2：到达为4212λλ+。

服务为：c 2/bC 3：到达为4313λλ+。

服务为：c 3/bC1的平均迟延为13121111)1(1λλρμ--=-bcC1的平均迟延为42122221)1(1λλρμ--=-bcC1的平均迟延为43133331)1(1λλρμ--=-bc网络的平均时延为：434213124343424213131212λλλλλλλλ++++++=s s s s s各信道利用率为：总线上有4个用户v1,v2,v3和v4，它们之间以Alopha 方式互相通信，信包到达率均为每秒，信息包的长度为b 比特；总线上的传输速率为c 比特/秒，试求通过率r ，并大致画出r 与b 的曲线关系。

解：r 与b 的曲线关系如右图，从直观上来看，这也是显然的。

总线上一个包的服务时间c b=τ秒，总的呼叫量为：c ba λ12=，通过量为：a e a r 2-⋅=通过率：a e cbrr212-==λ 第3章习题习题 总线上有4个用户v1,v2,v3和v4，它们之间以Alopha 方式互相通信，信包到达率均为每秒，信息包的长度为b 比特；总线上的传输速率为c 比特/秒，试求通过率r ，并大致画出r 与b 的曲线关系。

解：r 与b 的曲线关系如右图，从直观上来看，这也是显然的。

总线上一个包的服务时间c b =τ秒，总的呼叫量为：cb a λ12=，通过量为：ae a r 2-⋅=通过率：a e cbrr 212-==λ 习题 设在一个纯ALOHA 系统中，分组长度20=τms ，总业务到达率10=t λ pkt/s ，试求一个消息成功传输的概率。

解：由题意，20=τms ，10=t λpkt/s ，则系统的总业务量为 纯ALOHA 系统吞吐量满足P P p 2e -=，一个消息成功传输的概率为 若系统改为S-ALOHA 系统，试求这时消息成功传输的概率。

解：S-ALOHA 系统的吞吐量满足P P p -=e ，这时消息成功传输的概率为 在S-ALOHA 系统中，试求一个消息分组传输时和另一个分组碰撞的概率。