基本不等式题型总结 2020.9.13（周日）➢ 课前10分钟小测1、解一元二次方程（1）0322=--x x （2）0622=--x x 【解析】 【解析】0)3)(1(=-+x x 0)2)(32(=-+x x1-=x 或3=x 23-=x 或2=x2、解一元二次不等式（1）0322≤--x x （2）0622>--x x 【解析】 【解析】0)3)(1(≤-+x x 0)2)(32(>-+x x31≤≤-x 23-<x 或2>x一、知识点总结与讲解公式一：ab b a 2≥+公式二：4)(2b a ab +≤公式一推导过程：0)(2≥-b a即0222≥+-b ab a 即ab b a 222≥+用a 替代2a ，用b 替代2b ，则上式可变为如下：ab b a 2≥+公式二推导过程：ab b a 2≥+ b a ab +≤∴2即2ba ab +≤即4)(2b a ab +≤公式说明：“一正二定三相等”即： ①b a ,必须是正数②当ab 是定值时，b a +有最小值为ab 2；当b a +是定值时，ab 有最大值为4)(2b a +；（即“积定和最小，和定积最大”）③当且仅当b a =时，不等式取得等号。

二、题型分析与讲解1、已知x,y 都是正实数，且5=xy ，求y x +的最小值。

【解析】522,0,0=≥+∴>>xy y x y x ， 当且仅当5==y x 时，取得等号，所以y x +的最小值为52。

2、已知x,y 都是正实数，且5=+y x ，求xy 的最大值。

【解析】4254)(,0,02=+≤∴>>y x xy y x ， 当且仅当25==y x 时，取得等号，所以xy 的最大值为425。

3、已知x,y 都是负实数，且5=xy ，求y x +的最大值。

【解析】52))((2)]()[(,0,0,0,0-=---≤-+--=+∴>->-∴<<y x y x y x y x y x ， 当且仅当5=-=-y x 时，即5-==y x 时取得等号，所以y x +的最大值为52-。

4、已知x,y 都是负实数，且5-=+y x ，求xy 的最大值。

【解析】4254)]()[())((,0,0,0,02=-+-≤--=∴>->-∴<<y x y x xy y x y x ，当且仅当25=-=-y x 时，即25-==y x 取得等号，所以y x +的最大值为425。

试一试：（1）已知x,y 都是正实数，且21=+y x ，求yx的最大值； 【解析】14)1(1,01,0,02=+≤⋅=∴>∴>>yx y x y x y y x ， 当且仅当1==y x 时，取得等号，yx的最大值为1。

（2）已知x,y 都是负实数，且8-=+y x ，求xy 的最大值；【解析】164][))((,0,0,0,02=--≤--=∴>->-∴<<y x y x xy y x y x 当且仅当4=-=-y x 时，即4-==y x 时取得等号，xy 的最大值为16。

（3）已知a,b 都是负实数，且2=ab ，求b a +的最大值；【解析】22))((2)]()[(,0,0,0,0-=---≤-+--=+∴>->-∴<<b a b a b a b a b a 当且仅当2=-=-b a ，即2-==b a 时取得等号，b a +的最大值为22-。

（4）已知0<x ，求xx 1+的最大值。

【解析】212)1(1,0,0-=-⋅--≤-+--=+∴>-∴<xx x x x x x x 当且仅当x x 1-=-，即1-=x 时取得等号，xx 1+的最大值为2-。

题型2、通过凑项求最值，注意“一正二定三相等”中的“二定”1、已知1>x ，求11-+=x x y 的最值。

【解析】3111)1(2111)1(11,01,1=+-⋅-≥+-+-=-+=∴>-∴>x x x x x x y x x 当且仅当111-=-x x 时，即2=x 时，取得等号，函数有最小值为3。

2、已知1>x ，求112-+=x x y 的最值。

【解析】222211)1(22211)1(2112,01,1+=+-⋅-≥+-+-=-+=∴>-∴>x x x x x x y x x 当且仅当11)1(2-=-x x 时，即122+=x 时，取得等号，函数有最小值为222+。

3、已知0,0>>y x ，且52=+y x ，求xy 的最值。

【解析】已知52=+y x ，所以x y 25-=，8254)25(2)25(2)25(2=-+⋅≤-=-=∴x x x x x x xy 当且仅当x x -=25时，即25,45==y x 时，取得等号，xy 有最大值为825。

4、已知0,0>>y x ，且523=+y x ，求xy 的最值。

【解析】xy y x y x y x 6223223,523=⋅≥+∴=+ 即xy 625≥，xy 2425≥∴，即2425≤xy 当且仅当y x 23=时，即45,65==y x 时取得等号，xy 的有最大值为2425。

5、已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

【解析】045,054,45>-∴<-∴<x x x1323]451)45[(54124=+-≤+-+--=-+-=∴xx x x y当且仅当xx 45145-=-时，即1=x 时取得等号，函数有最大值为1。

试一试：（1）、已知1->x ，求11++=x x y 的最值。

【解析】11)11)(1(2111111=-++≥-+++=++=x x x x x x y 当且仅当111+=+x x 时，即0=x 时取得等号，函数有最小值1。

（2）、已知21>x ，求1212-+=x x y 的最值。

【解析】31)121)(12(21121121212=+--≥+-+-=-+=x x x x x x y 当且仅当12112-=-x x 时，即1=x 时取得等号，函数有最小值3。

（3）、已知0,0>>y x ，且42=+y x ，求xy 的最值。

【解析】24)2(2)2(2)24(,24,422=+-≤-=-=∴-=∴=+y y y y y y xy y x y x 当且仅当y y =-2，即1,2==y x 时取得等号，xy 有最大值为2。

（4）、已知0,0>>y x ，且2223=+yx ，求xy 的最值。

【解析】43,2223=+∴=+y x y x ，即x y 34-=，344)34(3)34(3)34(2=-+≤-=-=∴x x x x x x xy 当且仅当x x -=34，即2,32==y x 时取得等号，xy 有最大值为34。

（5）、已知5>x ，求函数594-+=x x y 的最小值。

【解析】3220122059)5(4594=+≥+-+-=-+=x x x x y当且仅当9)5(4=-x 时，即13=x 时，取得等号，函数有最小值为32。

1、求函数2y =的最值。

【解析】414414)4(41)4(4522222222222+++=++++=+++=++=x x x x x x x x x y令242≥+=x t ，则2121=⋅≥+=tt t t y ，当且仅当tt 1=时，即1=t 时取等号，但2≥t ，故取不到等号。

因为t t t f 1)(+=在2≥t 时随t 的增大而增大，所以当2=t 时，函数有最小值25212)2(=+=f 。

试一试： （1）求函数3522++=x x y 的最值。

【解析】323323)3(32)3(3522222222222+++=++++=+++=++=x x x x x x x x x y令332≥+=x t ，则22222=⋅≥+=tt t t y ， 当且仅当tt 2=时，即2=t 时，取得等号，但3≥t ，故取不到等号。

因为t t t f 2)(+=在3≥t 上单调递增，所以当3=t 时，函数有最小值334313)3(=+=f 。

题型4、注意“1”的灵活运用。

1、已知y x ,都是正实数，且123=+yx ，求y x +的最值。

【解析】5625232523)23()(1)(+=+⋅≥++=+⨯+=⨯+=+yx x y y x x y y x y x y x y x当且仅当yx x y 23=时，即时取得等号，y x +的有最小值为562+。

2、已知y x ,都是正实数，且211=+yx ，求y x +的最值。

【解析】21222122)2121()(1)(=+⋅≥++=+⨯+=⨯+=+yx x y y x x y y x y x y x y x 当且仅当yxx y 22=时，即时取得等号，y x +的有最小值为2。

3、已知x,y 都是正实数，且12=+y x ，求yx 11+的最小值。

【解析】32232232)2)(11(11+=+⋅≥++=++=+yx x y y x x y y x y x y x 当且仅当y x x y 2=时，即取得等号，yx 11+的最小值为322+。

4、（2019•包河区校级月考）已知正数a,b 满足a+b=3，则141++b a 的最小值为（ ） A 、49 B 、1534 C 、37 D 、29 【解析】49141141)41)(141(141≥+++++=++++=++b a a b b a b a b a ，选A试一试：（1）、已知a,b 都是正实数，且131=+ba ，求b a +的最值。

【解析】43243243)31()(1)(+=+⋅≥++=+⨯+=⨯+=+ba ab b a a b bab a b a b a 当且仅当baa b 3=时，即时取得等号，b a +的有最小值为432+。

（2）、已知y x ,都是正实数，且xy y x 632=+，求y x +的最值。

【解析】12131,632=+∴=+xy xy y x 6562653226532)3121()(1)(+=+⋅≥++=+⨯+=⨯+=+y x x y y x x y y x y x y x y x当且仅当yxx y 32=时，即时取得等号，y x +的有最小值为6562+。

（3）、已知x,y 都是正实数，且224=+y x ，求yx 91+的最小值。

【解析】1126111821118)2)(91(91+=+⋅≥++=++=+yx x y y x x y y x y x y x 当且仅当y x x y 18=时，即取得等号，yx 91+的最小值为1126+。