第十章圆锥曲线本章知识结构图第一节椭圆及其性质考纲解读1.了解圆锥曲线的实际背景及其在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义，标准方程，几何图形及其简单性质3.了解椭圆的简单应用4.理解数形结合的思想命题趋势研究椭圆是圆锥曲线的重要内容，高考主要考查椭圆的基本性质，椭圆方程的求法，椭圆定义的运用和椭圆中各个量的计算，尤其是对离心率的求解，更是高考的热点问题，在各种题型中均有题型预测2019年高考对本节考查内容为：（1）利用标准方程研究几何性质，尤其是离心率的求值及取值范围问题.（2）利用已知条件求出椭圆的方程，特别是与向量结合求方程更是重点.椭圆的定义，标准方程和几何性质及直线相交问题的考查以中档题目为主，每年高考分值大多保持在5分.知识点精讲一、椭圆的定义平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数2a （122||a F F >）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作2c ，定义用集合语言表示为：{}1212|||||2(2||20)P PF PF a a F F c +=>=> 注明：当22a c =时，点的轨迹是线段；当22a c <时，点的轨迹不存在. 二、椭圆的方程、图形与性质椭圆的方程、图形与性质所示.（如下表10-1） 焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程()222210x y a b a b +=>> ()222210y x a b a b+=>> 统一方程221(m 0,n 0,)mx ny m n +=>>≠参数方程 cos ,[0,2]sin x a y b θθθπθ=⎧∈⎨=⎩为参数（） cos ,[0,2]sin x a y b θθθπθ=⎧∈⎨=⎩为参数（）第一定义 到两定点21F F 、的距离之和等于常数2a ，即21||||2MF MF a +=（212||a F F >） 范围a x a -≤≤且b y b -≤≤b x b -≤≤且a y a -≤≤顶点()1,0a A -、()2,0a A()10,b B -、()20,b B()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B轴长 长轴长2a = 短轴长2b = 长轴长2a = 短轴长2b =对称性 关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称焦点()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c焦距222122()F F c c a b ==-离心率22222221(01)c c a b b e e a a a a-====-<<准线方程2a x c=±（不考）点和椭圆 的关系 2200002211(,)1x y x y a b >⎧⎧⎪⎪+=⇔⎨⎨⎪⎪<⎩⎩外点在椭圆上内2200002211(,)1y x x y a b >⎧⎧⎪⎪+=⇔⎨⎨⎪⎪<⎩⎩外点在椭圆上内切线方程0000221((,)x x y yx y a b+=为切点） 0000221((,)y y x xx y a b+=为切点） 对于过椭圆上一点00(,)x y 的切线方程，只需将椭圆方程中2x 换为0x x ，2y 换为0y y 便得切点弦所在 的直线方程0000221((,)x x y yx y a b +=点在椭圆外） 0000221((,)y y x xx y a b+=点在椭圆外） 焦点三角形面积①2max 12122cos 1,,(b F BF B r r θθ=-=∠为短轴的端点）②121201022||,1tan ()22||,sin PF F c y x S r r b F PF c x y θθθ∆⎧⎪===∠⎨=⎪⎩焦点在轴上焦点在轴上③212212min =max =P r r b P r r a ⎧⎪⎨⎪⎩当点在长轴端点时,（）当点在短轴端点时,（）焦点三角形中一般要用到的关系是12121222212211212121||||)||||222si 2||||||2||n ||cos PF F MF MF a a S PF PF F PF F F PF PF PF PF F PF c ∆+=>=∠=⎧⎪⎪⎨⎪+-∠⎪⎩（）题型归纳及思路提示题型136 椭圆的定义与标准方程思路提示（1）定义法：根据椭圆定义，确定22,a b 的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程. （2）待定系数法：根据椭圆焦点是在x 轴还是y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件列出,,a b c 的方程组，解出22,a b ，从而求得标准方程. 注意：①如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为221(0,0,)Ax By A B A B +=>>≠.②与椭圆221x y m n +=共焦点的椭圆可设为221(,,)x y k m k n m n m k n k +=>->-≠++. ③与椭圆22221(0)x y a b a b +=>>有相同离心率的椭圆，可设为22122x y k a b+=（10k >，焦点在x 轴上）或22222x y k a b+=（20k >，焦点在y 轴上）.一．椭圆的定义与标准方程的求解例10.1 动点P 到两定点12(4,0),(4,0)F F -的距离之和为10，则动点P 的轨迹方程是（ ）A.221169x y += B. 221259x y += C. 2212516x y += D. 22110036x y +=变式1 求焦点的坐标分别为12(4,0),(4,0)F F -，且过点16(,3)5P 的椭圆的方程.变式2 已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点PP 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程.例10.2 在△ABC ，已知(2,0),(2,0)A B -，动点C 使得△ABC 的周长为10，则动点C 的轨迹方程为_________.变式1 已知动圆P 过定点(3,0)A -，且与圆22:(3)64B x y -+=相切，求动圆圆心P 的轨迹方程.变式2 已知一动圆与圆221:(3)1O x y ++=外切，与圆222:(3)81O x y -+=内切，试求动圆圆心的轨迹方程.变式3 已知圆221:(2)16O x y ++=，圆圆222:(2)4O x y -+=，动圆P 与圆1O 内切，与圆2O 外切，求动圆圆心P 的轨迹方程.例10.3 已知椭圆的长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是（ ） A.221169x y += B. 221167x y +=或221716x y += C.2211625x y += D. 2211625x y +=或2212516x y +=变式1 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心.过1F 的直线l 交C 于,A B 两点，且△2ABF 的周长为16，那么C 的方程为__________.变式2 已知椭圆的中心在原点，焦点在x (5,4)P ，则椭圆的方程为_________.变式3 经过3(2A B 两点的椭圆的标准方程是________________.二．椭圆方程的充要条件例10.3 若方程22153x y k k +=--表示椭圆，则k 的取值范围是__________.变式1 如果222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是___________.变式2 “0m n >>”是“方程221mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件变式3 若方程22(5)(2)8m x m y -+-=表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是____________.题型137 离心率的值及取值范围思路提示求离心率的本质就是探究,a c 之间的数量关系，知道,,a b c 中任意两者间的等式关系或不等关系便可求解出e 的值或其范围.具体方法为方程法、不等式法和定义法.例10.4 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>(1)若长轴长，短轴长，焦距成等差数列，则该椭圆的离心率为__________. (2)若长轴长，短轴长，焦距成等比数列，则该椭圆的离心率为__________.变式1 椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右顶点分别是,A B ，左右焦点分别是12,F F .若1121||,||,||AF F F BF 成等差数列，则此椭圆的离心率为____________.变式2 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，左焦点为F ，上顶点为B ，若090BAO BFO ∠+∠=，则该椭圆的离心率是___________.例10.6 过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若012=60F PF ∠，则椭圆的离心率为( )A.2 B.3 C. 12D. 13变式1 已知正方形ABCD ，以,A B 为焦点，且过,C D 两点的椭圆的离心率为______.变式2 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，且122F F c =，点A 在椭圆上，且1AF 垂直于x 轴，212AF AF c ⋅=，则椭圆的离心率e 等于（ ）A.B. C. D. 2变式3 已知椭圆221(0)a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，焦距122F F c =，若直线)y x c =+与椭圆的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠，则椭圆的离心率e 等于_________.变式4 设1F ，2F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两焦点，以2F 为圆心，且过椭圆中心的圆与椭圆的一个交点为M ，若直线1F M 与圆2F 相切，则椭圆的离心率为（ ）A.1 B. 2- C. D.例10.7椭圆22:1(0)G a b a b+=>>的左右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，椭圆上存在点M 使120FM F M ⋅=，则椭圆的离心率e 的取值范围为_________.变式1 已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两焦点，满足120FM F M ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆的离心（ ）A. (0,1)B. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D. 2⎫⎪⎪⎣⎭例10.8 椭圆221(0)a b a b+=>>的两个焦点1F ，2F ，若P 为其上一点，且12||2||PF PF =，2F ，则此椭圆离心率的取值范围为____________变式1椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点1F ，2F ，椭圆上存在P 使得12||3||PF PF =椭圆方程可以是（ ） A. 2213635x y += B. 2211615x y += C. 2212524x y += D. 22143x y +=变式2 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，若椭圆上存在一点P 使1221sin sin PF F c PF F a∠=∠，则椭圆的离心率e 的取值范围为_________.题型138 焦点三角形思路提示焦点三角形的问题常用定义与解三角形的知识来解决，对于涉及椭圆上点到椭圆两焦点将距离问题常用定义，即12||||2PF PF a +=.例10.9已知1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点， P 为椭圆C 上一点，且12PF PF ⊥，若12PF F ∆的面积为9，则b =_________.变式 1 已知21,F F 是椭圆191622=+y x 的两个焦点，P 为该椭圆上一点，且135cos 21=∠PF F ，求21PF F ∆的面积.变式 2 已知21,F F 是椭圆14:22=+y x E 的左、右焦点，P 为椭圆E 上一点，且︒=∠6021PF F ，则点P 到x 轴的距离为____________.例10.10 已知椭圆13422=+y x 的左、右焦点分别为21,F F ，P 是椭圆上的一动点. （1）求的21PF PF ⋅取值范围；（2）求的21PF PF ⋅取值范围；变式1 椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x M 的左、右焦点分别为21,F F ，P 为椭圆上任一点，且21PF PF ⋅的最大值的取值范围是[]223,cc ，其中22b a c -=，则椭圆M 的离心率e 的取值范围（ ） A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,41 B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡22,21 C. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1,22 D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21变式2 设P 是椭圆14922=+y x 上一动点，21,F F 分别是左、右两个焦点，则21cos PF F ∠的最小值是（ ） A.21 B. 91 C. 91- D. 95-变式3 设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的焦点为21F F 和，P 是椭圆上任一点，若21PF F ∠的最大值为32π，则此椭圆的离心率为____________.最有效训练题42（限时45分钟）1. 已知点)0,3(M ，椭圆1422=+y x 与直线())0(3≠+=k x k y 交于B A ,，则ABM ∆的周长（ ）A. 4B. 8C. 12D. 162.已知P 为椭圆1162522=+y x 上的一点，N M ,分别为圆()1322=++y x 和圆()4322=+-y x 上的点，则PN PM +的最小值为（ ） A. 21 B. 91 C. 91- D. 95-3. 椭圆16410022=+y x 的焦点为21,F F ，椭圆上的点P 满足︒=∠6021PF F ，则21PF F ∆的面积是（ ） A. 3364 B. 3391 C. 3316 D. 3644. 如图10-4所示，椭圆中心在原点，F 是左焦点，直线AC 与BF 交于D ，且︒=∠90BDC ，则椭圆的离心率为（ ） A. 213- B. 215- C. 215- D. 235. 若椭圆1522=+my x 的离心率510=e ，则m 的值为（ ） A. 3 B. 315515或 C. 15 D. 3253或 6. 若点O 和点F 分别为椭圆13422=+y x 的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则FP OP ⋅的最大值为（ ）A.2B.3C. 6D. 87. 已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，若线段BF 的延长线交C 于点D ，且FD BF 2=，则C 的离心率为__________.8. 椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左，右顶点分别是B A ,，左、右焦点分别是21,F F ，若B F F F AF 1211,,成等比数列，则此椭圆的离心率为____________.9.椭圆125922=+y x 上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m ，则m 当取最大值时，点P 的坐标是___________.10. 已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为21，经过点)23,1(P ， （1）求椭圆C 的方程；（2）设F 是椭圆C 的左焦点，判断以PF 为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由.11. 已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的长、短轴端点分别为B A ,，从此椭圆上一点M ，（在x 轴上方）向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点1F ，OM AB //.（1）求椭圆的离心率e ；（2）设Q 是椭圆上任意一点，21,F F 分别是左、右焦点，求21QF F ∠的取值范围.12. 已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点)0,2(-F ，且长轴长与短轴长的比是3:2，（1）求椭圆C 的方程；（2）设点)0,(m M 在椭圆C 的长轴上，点P 是椭圆上任意一点，最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，求实数m 的取值范围.。