e 10
e 2
y 2x 4
y=±3x
xy
______________________________ ____________________
(0,±5)
0, 74
e 74 5
x7 y 5
例2:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫原 双曲线的共轭双曲线,求证:
(1)双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线; (2)双曲线和它的共轭双曲线的四个焦点在同一个圆上.
2、对称性：关于x轴，y轴，原点对称。
3、顶点 A1（-a，0），A2（a，0）
A1
4、轴：实轴 A1A2 虚轴 B1B2
5、渐近线方程：
6、离心率： e= c
a
x y 0 ab
Y
B2
X
A2
B1
______________________________ ____________________
焦点在y轴上的双曲线图像
Y
y2 x2 1
a2 b2
F2
A2
B1
O
B2
X
A1
F1
______________________________ ____________________
焦点在y轴上的双曲线的几何性质
双曲线标准方程：
y2
x2
1
a2 b2
双曲线性质：
1、 范围： y≥a或y≤-a
2、对称性：关于x轴，y轴，原点对称。
解：把方程化为标准方程： y 2
42
x2 32
1
可得:实半轴长a=4
虚半轴长b=3
半焦距c= 42 32 5 焦点坐标是(0,-5),(0,5)
离心率:
e c a
5 4
渐近线方程:
x 3 y, 即
4
y 4x 3
______________________________ ____________________
Y
F1
B2
F’1 A1 o
B1
X
A2 F’2
F2
______________________________ ____________________
证明:(1)设已知双曲线的方程是:
x2 a2
y2
b2
1
渐近线为： x y 0
ab
则它的共轭双曲线方程是: y 2 x 2 1
b2
a2
渐近线为:
标准 方程
x2 y2 1
a2 b2
范 围 |x|a,|y|≤b
对称性
顶点 焦点
对称轴 离心率 准线
关于X,Y轴, 原点对称
(±a,0),(0,±b)
(±c,0)
A1A2 ; B1B2
e c a
x a2 c
椭圆的图像与性质
Y
B2
A1
F1
o
A2
F2

x a2
B1
c
______________________________ ____________________
yx ba
0 可化为：x y 0
ab
故双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线
(2)设已知双曲线的焦点为F(c,0),F(-c,0) 它的共轭双曲线的焦点为F1’(0,c’), F2’(0,-c’),
∵ c a2 b2 c a2 b2 ∴c=c' 所以四个焦点F1, F2, F3, F4在同一个圆 x2y2a2b2上 .
3、顶点 B1（0，-a），B2（0，a）
A1
4、轴：实轴 B1B2 ; 虚轴 A1A2
5、渐近线方程： x y 0 ab
6、离心率： e=c/a
Y
F2 B2
o
B1
F2
A2 X
______________________________ ____________________
例题1:求双曲线 9x2 16y2 144的实半轴长,虚半轴长, 焦点坐标,离心率.渐近线方程。
问:有相同渐近线_的___双____曲___线___方____程___一____定___是__ 共轭双曲线吗？
____________________
x a2 c
焦点在x轴上的双曲线图像
Y
x2 a2
y2 b2
1
B2
F1
A1
A2 F2 X
B1
______________________________ ____________________
焦点在x轴上的双曲线的几何性质
双曲线标准方程： x 2 y 2 1 a2 b2
双曲线性质：
1、 范围： x≥a或x≤-a
练习题:填表
标 准 方 x 2 8 y 2 32
程
2a
9 x 2 y 2 81 x 2 y 2 4
6
4
x2 y 2 1 49 25
10
42 82
2b
4
18
4
14
范围
|x|≥
|x|≥3
|y|≥2
|y|≥5
顶点 焦点
离心率 渐进线
4 2,0
6,0
e 3 2 2
(±3,0)
(0,±2)
31,00 0,2 2